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2022届高考数学一轮复习 第二章 2.8 函数与方程学案

2022届高考数学一轮复习 第二章 2.8 函数与方程学案

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第八节　函数与方程

【知识重温】
一、必记4个知识点
1．函数的零点的概念
对于函数y＝f(x)，x∈D，我们把使①________的实数x叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点．
2．方程的根与函数的零点的关系
由函数的零点的概念可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与②________的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根⇔③________________________⇔函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是④__________的一条曲线，并且⑤________________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得⑥________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
4．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在的区间⑦______，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到⑧__________的方法叫做二分法．
二、必明2个易误点
1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是函数图象与x轴交点的横坐标，是一个实数，易误认为是一个点而写成坐标形式．
2.

由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)
(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)
二、教材改编
2．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(，1)和(3,4) D．(4，＋∞)
3．若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是________．
三、易错易混
4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)

5．设f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内(　　)
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根

四、走进高考
6．[2019·全国卷Ⅲ]函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5

　函数零点的区间[自主练透型]
1．[2021·湖北襄阳七校联考]设a是方程2ln x－3＝－x的解，则a在下列哪个区间内(　　)

A．(0,1) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2)
2．[2021·河北石家庄检测]已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
3．函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

　悟·技法
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．
(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.

考点二　判断函数零点个数[互动讲练型]
[例1]　(1)函数f(x)＝的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)[2021·广西宜州联考]若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2

悟·技法
判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·山西临汾质检]若函数y＝f(x)的图象是连续不断的，且部分数据的对应值如表所示．

x
1
2
3
4
5
6
y
－5
2
8
12
－5
－10
函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点三　函数零点的应用[分层深化型]
考向一：根据函数零点个数或存在情况求参数范围
[例2]　[2020·天津卷]已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是(　　)
A.∪(2，＋∞)
B.∪(0,2)
C．(－∞，0)∪(0,2)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
考向二：求函数各个零点(方程根)的和(范围)
[例3]　[2021·天津南开检测]设函数f(x)＝若函数g(x)＝x＋a－f(x)有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是________．
悟·技法
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3种方法
直接法
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
分离参
数法
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决
数形结
合法
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解

[变式练]——(着眼于举一反三)
3．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝
g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
4．[2021·河北衡水中学调考]已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)总有零点时，a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．[－1,2)
C．[－1,0]∪(1,2] D．[0,1]

第八节　函数与方程
【知识重温】
①f(x)＝0　②x轴　③函数y＝f(x)的图象与x轴有交点　④连续不断　⑤f(a)·f(b)<0　⑥f(c)＝0　⑦一分为二　⑧零点近似值
【小题热身】
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
(5)√
2．解析：∵f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0，且函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(x)为增函数，∴f(x)的零点在区间(2,3)内．
答案：B
3．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝4x－1.令f(x)＝0，得4x－1＝0，x＝∈(－1,1)．
∴当a＝0时，f(x)在(－1,1)内恰有一个零点．
(2)当a≠0时，Δ＝42－4×24a×(－1)＝16＋96a.
①若Δ＝0，即a＝－，
则函数f(x)的图象与x轴交于点(，0)，
x＝是(－1,1)内的唯一零点．
②若Δ>0，
即a>－，
则
⇔－<a<.
综上可得，a的取值范围是∪.
答案：∪
4．解析：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有A不满足此条件．故选A.
答案：A
5．解析：由函数零点存在定理知，函数f(x)的图象在[a，b]内与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝0在[a，b]内只有一个实根．
答案：D
6．解析：由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x(1－cos x)＝0得sin x＝0或cos x＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π.即零点有3个．故选B.
答案：B
课堂考点突破
考点一
1．解析：令f(x)＝2ln x－3＋x，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－2<0，f(2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函数f(x)在(1,2)内有零点，即a在区间(1,2)内．
答案：D
2．解析：因为a>1,0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，所以f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，所以f(x)的零点在区间(－1,0)内．故选B项．
答案：B
3．解析：解法一(定理法)　函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内．
解法二(图象法)　函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.

答案：B
例1　解析：(1)当x<0时，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2，或x＝0(舍去)．所以当x<0时，只有一个零点；当x≥0时，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，显然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝e0－0－2＝－1<0，f(2)＝e2－4>0，所以当x≥0时，函数f(x)有且只有一个零点．综上，函数f(x)只有两个零点．
(2)∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B项．

答案：(1)C　(2)B
变式练
1．解析：由题中表格得f(1)f(2)<0，f(4)f(5)<0，因为函数的图象是连续不断的，所以函数在(1,2)内至少有一个零点，在(4,5)内至少有一个零点，所以函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有两个．故选C项．
答案：C

2．解析：函数y＝f(x)＋x－4的零点，即函数y＝－x＋4与y＝f(x)的交点的横坐标．如图所示，函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象有两个交点，故函数y＝f(x)＋x－4的零点有2个．故选B项．
答案：B
例2　解析：由题意知函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|恰有4个零点等价于方程f(x)－|kx2－2x|＝0，即f(x)＝|kx2－2x|有4个不同的根，即函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象有4个不同的公共点．

图1
当k＝0时，在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝f(x)与y＝|2x|的图象如图1所示，由图1知两图象只有2个不同的公共点，不满足题意．
当k<0时，y＝|kx2－2x|＝，其图象的对称轴为直线x＝<0，直线x＝与y＝|kx2－2x|的图象的交点为，点在直线y＝－x上，在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象如图2所示，由图2易知函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象有4个不同的公共点，满足题意．

图2
当k>0时，函数y＝|kx2－2x|的图象与x轴的2个交点分别为原点(0,0)与，则当x>时，由kx2－2x＝x3，得x2－kx＋2＝0，令Δ＝k2－8＝0，得k＝2，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象如图3所示，由图3知两图象有3个不同的公共点，不满足题意．令Δ＝k2－8>0，得k>2，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象如图4所示，由图4知两图象有4个不同的公共点，满足题意．令Δ＝k2－8<0，得0<k<2，易知此时不满足题意．

图3　　　　　　　　　图4
综上可知，实数k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)，故选D.
答案：D
例3　解析：函数f(x)＝
函数g(x)＝x＋a－f(x)有三个零点，即方程a＝f(x)－x有三个根，f(x)－x＝所以函数y＝a和y＝f(x)－x的图象有三个交点．在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示．

设三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1<x2<x3.易知x2－6x＋6的最小值为－3，由3x＋4＝－3，得x＝－，所以x1∈.根据二次函数图象的对称性得到x2＋x3＝6，所以x1＋x2＋x3∈.
答案：
变式练
3．解析：令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝f(x)－h(x)．

在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，
此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．
故选C.
答案：C
4．解析：由F(x)＝0，得f(x)＝a2－a－1，因为函数f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a2－a－1>－1，解得a<0或a>1.故选A项．
答案：A