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2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题五 概率与统计 第三讲 随机变量及其分布列学案

2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题五 概率与统计 第三讲 随机变量及其分布列学案

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第三讲　随机变量及其分布列

1．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.
解析：依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.
答案：1.96
2．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Cp2·(1－p)18.
因此f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp·(1－p)17(1－10p)．
令f′(p)＝0，得p＝0.1.
当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；
当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.所以f(p)的极大值点为0.1，且为f(p)唯一的极大值点，所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.
(2)由(1)知，p＝0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，则E(Y)＝180×0.1＝18，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.
所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.
②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．
由于E(X)>400，故应该对余下的产品作检验．
3．(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
解：(1)X的所有可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)．
所以X的分布列为
X
－1
0
1
P
(1－α)β
αβ＋(1－α)(1－β)
α(1－β)
(2)①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，
因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，
故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，
即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．
又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．
②由①可得
p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0
＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝p1.
由于p8＝1，故p1＝，
所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝p1＝.
p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.
 明 考 情 
1．对概率的考查既有大题也有小题，选择题或填空题出现在第3～8题或第13题的位置，主要考查几何概率，难度一般．
2．概率统计的解答题多在第18题或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与随机变量的分布列、数学期望、方差相交汇考查；二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与回归分析或独立性检验相交汇考查.

考点一　离散型随机变量的均值与方差
|析典例|
【例】　(2019·辽宁五校联考)某商场销售某种品牌的空调，每周周初购进一定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则多余的每台空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调仅获利200元．
(1)若该商场周初购进20台空调，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n(单位：台，n∈N)的函数解析式f(n)；
(2)该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n(单位：台)，整理得下表：
周需求量n
18
19
20
21
22
频数
1
2
3
3
1
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调，X表示当周的利润(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
[思路分析]　第(1)问：
求什么，如何想
求f(n)想到依据题意确定解析式
给什么，如何用
给出以20台为分界点，列出分段函数解析式
第(2)问：
求什么，如何想
求当周的利润的分布列与期望，想到分析利润的取值及发生的概率
给什么，如何用
根据条件求出X各个取值的概率，写出分布列，再利用期望的定义求X的数学期望
[规范解答]　(1)当n≥20时，f(n)＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6 000；
当n≤19时，f(n)＝500×n－100×(20－n)＝600n－2 000，
∴f(n)＝(n∈N)．
(2)由(1)得f(18)＝8 800，f(19)＝9 400，
f(20)＝10 000，f(21)＝10 200，f(22)＝10 400，
∴P(X＝8 800)＝0.1，P(X＝9 400)＝0.2，P(X＝10 000)＝0.3，P(X＝10 200)＝0.3，P(X＝10 400)＝0.1，
X的分布列为
X
8 800
9 400
10 000
10 200
10 400
P
0.1
0.2
0.3
0.3
0.1
∴E(X)＝8 800×0.1＋9 400×0.2＋10 000×0.3＋10 200×0.3＋10 400×0.1＝9 860.
| 规 律 方 法 |
1．求离散型随机变量X的分布列的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验．
2．期望与方差的一般计算步骤
(1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值；
(2)求X取各个值的概率，写出分布列；
(3)根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算．
|练题点|
1．(2019·唐山市高三摸底)甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在[223,228](单位：mm)内的零件为一等品，其余为二等品．甲、乙两位工人当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：

(1)从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件，求抽取的2个零件等级互不相同的概率；
(2)从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件，记这3个零件中一等品数量为X，求X的分布列和数学期望．
解：(1)由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品．
所以抽取的2个零件等级互不相同的概率P＝＝.
(2)X可取0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
X的分布列为
X
0
1
2
3
P

所以随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
2．(2019·洛阳市第二次联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市：
投资结果
获利40%
不赔不赚
亏损20%
概率

购买基金：
投资结果
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概率
p

q
(1)当p＝时，求q的值；
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；
(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p＝，q＝，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由．
解：(1)∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
∴p＋＋q＝1.又p＝，∴q＝.
(2)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，
则C＝A∪B∪AB，且A，B独立．
由题意可知，P(A)＝，P(B)＝p，
∴P(C)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)
＝(1－p)＋p＋p＝＋p.
∵P(C)＝＋p>，∴p>.
又p＋＋q＝1，q≥0，∴p≤，
∴p的取值范围为.
(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，
∴随机变量X的分布列为
X
4
0
－2
P

则E(X)＝4×＋0×＋(－2)×＝.
假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记Y为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，
∴随机变量Y的分布列为
Y
2
0
－1
P

则E(Y)＝2×＋0×＋(－1)×＝.
∵E(X)>E(Y)，
∴丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．
考点二　二项分布
|析典例|
【例】　(2019·河北承德市第一中学模拟)某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4.
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2)(一题多解)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列、均值与方差．

[解]　(1)由频率分布直方图，知成绩在[9.9,11.4)的频率为1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1.
因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4，故抽取的总人数为＝40.
又成绩在6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为40－0.05×1.5×40＝37.
(2)解法一：ξ的所有可能取值为0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为，成绩不合格的概率为1－＝，可判断ξ～B.
P(ξ＝0)＝C×2＝，
P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C×2＝，
故所求分布列为
X
0
1
2
P

ξ的均值为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，
ξ的方差为D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.
解法二：求ξ的分布列同解法一．
ξ的均值为E(ξ)＝2×＝，
ξ的方差为D(ξ)＝2××＝.
| 规 律 方 法 |
1．求解二项分布问题的“四关”
一是“判断关”，即判断离散型随机变量X是否服从二项分布B(n，p)．
二是“公式关”，即利用P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，求出X取各个值时的概率．
三是“分布列关”，列出表格，得离散型随机变量的分布列．
四是“结论关”，利用公式E(X)＝np求期望，D(X)＝np·(1－p)求方差．
熟记二项分布的概率、期望与方差公式，可以避免繁琐的运算过程．
2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以应用均值与方差的性质E(ax＋b)＝aE(x)＋b，D(ax＋b)＝a2D(x)求解．
|练题点|
(2019·河南洛阳三模)某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能答对其中的4个，而乙能答对每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立的．
(1)求甲、乙两位同学总共答对3题的概率；
(2)若甲、乙两位同学答对题目的个数分别是m，n，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲、乙两人得分之和X的期望．
解：(1)由题意可知，甲、乙两位同学总共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题．
故所求的概率P＝×C2×＋×C××2＋×C3＝.
(2)m的所有可能取值有1,2,3.
P(m＝1)＝＝，P(m＝2)＝＝，P(m＝3)＝＝，
故E(m)＝1×＋2×＋3×＝2.
由题意可知n～B，故E(n)＝3×＝2.
而X＝15m＋10n，所以E(X)＝15E(m)＋10E(n)＝50.
考点三　正态分布
|析典例|
【例】　(2018·广西三市联考)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1 000 人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示.
组别
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
25
150
200
250
225
100
50
(1)已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ，210)，μ近似为这1 000人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，请利用正态分布的知识求P(36<Z≤79.5)；
(2)在(1)的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案．
①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；
②每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
赠送的随机话费/元
20
40
概率

现市民甲要参加此次问卷调查，记X为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望．
附：≈14.5，
若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 3.
[解]　(1)由题易得E(Z)＝35×0.025＋45×0.15＋55×0.2＋65×0.25＋75×0.225＋85×0.1＋95×0.05＝65，所以μ＝65，所以得分Z服从正态分布N(65,210)，又σ＝≈14.5，所以P(50.5<Z≤79.5)＝0.682 7，P(36<Z≤94)＝0.954 5，所以P(36<Z≤50.5)＝(0.954 5－0.682 7)×＝0.135 9，
所以P(36<Z≤79.5)＝P(36<Z≤50.5)＋P(50.5<Z≤79.5)＝0.135 9＋0.682 7＝0.818 6.
(2)易知P(Z<μ)＝P(Z≥μ)＝，X的所有可能取值为20,40,60,80.
则P(X＝20)＝×＝，
P(X＝40)＝×＋××＝，
P(X＝60)＝××＋××＝，
P(X＝80)＝××＝.
所以X的分布列为
X
20
40
60
80
P

所以X的数学期望E(X)＝20×＋40×＋60×＋80×＝.
| 规 律 方 法 |
服从N(μ，σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法
(1)利用P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值直接求．
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解．
|练题点|
(一题多解)(2018·四川德阳二诊)为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了成语听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布N(78,16)．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩大于90分的学生所占的百分比为(　　)
A．0.135% B．1.35%
C．3% D．3.3%
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 3.
解析：选A　解法一：由题意可知，测试成绩X～N(78,16)，所以σ＝＝4.
而90＝78＋12＝μ＋3σ，故所求的百分比的实质就是求P(X>μ＋3σ)．
由正态曲线的对称性可得P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5，
又P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 3，
所以P(μ<X≤μ＋3σ)＝×0.997 3＝0.498 65，
故P(X>μ＋3σ)＝P(X≥μ)－P(μ<X≤μ＋3σ)－P(X＝μ)＝0.5－0.498 65＝0.001 35＝0.135%.故选A．
解法二：由题意可知，测试成绩X～N(78,16)，
所以σ＝＝4.
而90＝78＋12＝μ＋3σ，故所求百分比实质就是求P(X>μ＋3σ)．
由已知P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 3，
所以P(X≤μ－3σ)＋P(X>μ＋3σ)＝1－P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝1－0.997 3＝0.002 7，
由正态曲线的对称性可得，P(X>μ＋3σ)＝[P(X≤μ－3σ)＋P(X>μ＋3σ)]＝×0.002 7＝0.001 35＝0.135%.故选A．