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2022届高考数学一轮复习 第七章 7.6 直接证明与间接证明学案

2022届高考数学一轮复习 第七章 7.6 直接证明与间接证明学案

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第六节　直接证明与间接证明

【知识重温】
一、必记3个知识点
1．综合法
一般地，利用①______________________，经过一系列的②________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
―→―→―→…―→
2．分析法
一般地，从要③________出发，逐步寻求使它成立的④________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明的方法叫做分析法．
用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
―→―→―→…―→
3．反证法
一般地，假设⑤____________，经过正确的推理，最后得出⑥________，因此说明⑦________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
二、必明2个易误点
1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．
2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)分析法必须是从结论推向已知．(　　)
(2)分析法的推理过程要比综合法优越．(　　)
(3)综合法的过程是演绎推理．(　　)
(4)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理．(　　)
(5)反证法的实质是否定结论导出矛盾．(　　)
二、教材改编
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用(　　)
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①②　　　B．②③ C．①②③　　D．①②④
3.－2与－的大小关系是________．
三、易错易混
4．以下命题中正确的是(　　)
A．综合法是执果索因的逆推法
B．综合法是由因导果的顺推法
C．综合法是因果互推的两头凑法
D．综合法就是举反例
5．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里②是①的(　　)
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
四、走进高考
6．[2017·北京卷]能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．

　综合法[自主练透型]
1．设a，b，c成等比数列，而x，y分别是a，b和b，c的等差中项，求证：＋＝2.

2．设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.
悟·技法

考点二　分析法[自主练透型]
3．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.

4．[易错题]已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：＋＝.

悟·技法
1.利用分析法证明问题的思路
分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．
2．分析法证明问题的适用范围
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法.

考点三　反证法[互动讲练型]
[例]　已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．

悟·技法
反证法证明问题的一般步骤
　(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立．(否定结论)
(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．(推导矛盾)
(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)

[变式练]——(着眼于举一反三)
　若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与中至少有一个小于2.

第六节　直接证明与间接证明
【知识重温】
①已知条件和某些数学定义、公理、定理等　②推理论证　③证明的结论　④充分条件　⑤原命题不成立　⑥矛盾　⑦假设错误
【小题热身】
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
2．解析：根据反证法的定义，推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以．
答案：C
3．解析：假设－2>－，由分析法可得，要证－2>－，只需证＋>＋2，即证13＋2>13＋4，即>2.因为42>40，所以－2>－成立．
答案：－2>－
4．解析：综合法就是从已知条件(因)出发，利用已有知识进行证明结论(果)的方法．
答案：B
5．解析：∵②⇒①，∴②是①的充分条件．
答案：A
6．解析：只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．
答案：－1，－2，－3(答案不唯一)
课堂考点突破
考点一
1．证明：由题知c＝，x＝，y＝，
则＋＝＋＝＋
＝＋
＝＋＝2，
即＋＝2.
2．证明：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＝a＋b≥2.
所以≤，所以≥4.
所以＋＋＝(a＋b)＋≥2 ＋2＋4＝8.所以＋＋≥8.
考点二
3．证明：要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，
只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，
即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.
∵a≥b>0，
∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，
从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，
∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
4．证明：要证＋＝，
即证＋＝3，也就是＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得
b2＝c2＋a2－2accos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立．
考点三
例　证明：假设a、b、c、d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1.
又因为(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1.
这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以a、b、c、d中至少有一个是负数．
变式练
证明：假设与都大于等于2，
即≥2，≥2.
因为x>0，y>0，
所以1＋y≥2x　①，1＋x≥2y　②.
①＋②得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2矛盾，所以假设不成立，所以与中至少有一个小于2.