初高中数学衔接(1)一元二次方程.doc

初高中数学衔接（1）一元二次方程预热：1.方程的定义：含有未知数的等式。2.使等式成立的未知数的值称的“解”或“根”。（解一定满足方程）3.求方程的解的过程称为“解方程”。正题：解法有：1. 直接开平方法2.配方法3.分解因式法（包括提取公因式、平方差、“十字相乘法”）4.公式法。一般先用十字相乘法，若失败，再用求根公式法。本文重点介绍十字相乘法。 一.十字相乘法： 简单来讲就是：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘再相加，使其等于一次项系数。 注意事项：多观察，多尝试，务必注意各项系数的符号，横向水平书写。 难点：灵活运用十字相乘法分解因式。分解过程中可有N种不同的排列方法，而正确的只有其中的一种。多练习，我亦无他唯手熟尔。 x2+3x-4=0 x2-7x+10=0 (2x-1)2-3(2x-1)+2=0附：求根公式（可解全部一元二次方程）首先要通过=b-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当=b-4ac0时 ，x有两个不相等的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x=-b（b4ac）/（2a）来求得方程的根课外阅读：一.塔尔塔利亚与特殊的一元三次方程x3+px+q=0（一般三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a0),可通过换元消去二次项，变成x3+px+q=0的形式。） 塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。这时，意大利数学家卡丹出场，请求塔尔塔利把解方程的方法告诉他，可是遭到了拒绝。后来卡丹对塔尔塔利亚假装说要推荐他去西班牙当炮兵顾问，并称自己有许多发明，唯独无法解三次方程而内心痛苦，还发誓，永远不泄漏塔尔塔利亚解一元三次方程式的秘密。塔尔塔利亚这才把解一元三次方程的秘密告诉了卡丹。六年以后，卡丹不顾原来的信约，在他的著作关于代数的大法中，将经过改进的三次方程的解法公开发表。后人就把这个方法叫作卡丹公式，塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。 一元三次方程应有三个根。塔尔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后，随着人们对虚数认识的加深，到了1732年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式，具体如下： 二.费拉里与一元四次方程x4+bx3+cx2+dx+e=0。 卡丹在重要的艺术一书中公布了塔尔塔利亚发现的一元三次方程求根公式之后，塔尔塔利亚谴责卡丹背信弃义，提出要与卡丹进行辩论与比赛。这场辩论与比赛在米兰市的教堂进行，代表卡丹出场的是卡丹的学生费拉里。 费拉里(Ferrari L.,15221565)出身贫苦，少年时代曾作为卡丹的仆人。卡丹的数学研究引起了他对数学的热爱，当其数学才能被卡丹发现后，卡丹就收他作了学生。 费拉里代替卡丹与塔尔塔利亚辩论并比赛时，风华正茂，他不仅掌握了一元三次方程的解法，而且掌握了一元四次方程的解法，因而在辩论与比赛中取得了胜利，并由此当上了波伦亚大学的数学教授。 一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。一元三次方程是在进行了巧妙的换元之后，把问题归结成了一元二次方程从而得解的。于是，如果能够巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。 费拉里的方法是这样的：方程两边同时除以最高次项的系数可得 x4+bx3+cx2+dx+e=0 (1)移项可得 x4+bx3=-cx2-dx-e (2) 两边同时加上(1/2bx)2 ，可将（2）式左边配成完全平方，方程成为 (x2+1/2bx)2=(1/4b2-c)x2-dx-e (3) 在（3）式两边同时加上(x2+1/2bx)y+1/4y2 可得 (x2+1/2bx)+1/2y2= (1/4b2-c+y)x2+(1/2by-d)x+1/4y2-e (4) （4）式中的y是一个参数。当（4）式中的x为原方程的根时，不论y取什么值，（4）式都应成立。特别，如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程。 为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，只需使它的判别式变成0，即 (1/2by-d)2-4(1/4b2-c+y)(1/4y2-e)=0 (5) 这是关于y的一元三次方程，可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。 把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边开方，可以得到两个关于x的一元二次方程。解这两个一元二次方程，就可以得出原方程的四个根。 费拉里发现的上述解法的创造性及巧妙之处在于：第一次配方得到（3）式后引进参数y，并再次配方把（3）式的左边配成含有参数y的完全平方，即得到（4）式，再利用（5）式使（4）的右边也成为完全平方，从而把一个一元四次方程的求解问题化成了一个一元三次方程及两个一元二次方程的求解问题。具体公式因其复杂而省略。三.一元五次方程x5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0，有没有求根公式？ 一元三次、四次方程求根公式找到后，人们在努力寻找一元五次方程求根公式，三百年过去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得到结果的人当中，不乏有大数学家。后来年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实， n次方程(n5)没有公式解。