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2022版高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第八讲 n次独立重复试验与二项分布学案 新人教版

2022版高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第八讲 n次独立重复试验与二项分布学案 新人教版

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第八讲　n次独立重复试验与二项分布

知识梳理·双基自测

知识点一　条件概率及其性质
条件概率的定义
条件概率的性质
设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
(1)0≤P(B|A)≤1
(2)若B、C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝_P(B|A)＋P(C|A)__　
知识点二　事件的相互独立性
设A、B为两个事件，如果P(AB)＝_P(A)P(B)__，则称事件A与事件B相互独立．
若事件A、B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与，与B，与都相互独立．
知识点三　独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝_P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)__.
(2)二项分布：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)．
若X～B(n，p)，则E(X)＝_np__，D(X)＝_np(1－p)__.

1．A，B中至少有一个发生的事件为A∪B．
2．A，B都发生的事件为AB．
3．A，B都不发生的事件为.
4．A，B恰有一个发生的事件为(A)∪(B)．
5．A，B至多有一个发生的事件为(B)∪(A)∪()．

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　√　)
(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(BA)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(　×　)
(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　√　)
(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(　×　)
(5)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.(　√　)
(6)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝C·1·3－1＝.(　×　)
题组二　走进教材
2．(P55T3)天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　C　)
A．0.2 B．0.3
C．0.38 D．0.56
[解析]　设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3
＝0.38.
或1－P(A)·P(B)－P()P()＝0.38
题组三　走向高考
3．(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝_1.96__.
[解析]　由题意得X～B(100,0.02)，
∴D(X)＝100×0.02×0.98＝1.96.
4．(2018·课标Ⅲ，8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p＝(　B　)
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
[解析]　由题知X～B(10，p)，则D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或0.6.又∵P(X＝4)<P(X＝6)，即Cp4(1－p)6<Cp6(1－p)4⇒(1－p)2<p2⇒p>0.5，
∴p＝0.6，故选B．
5．(2020·天津，13)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为___；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为___.
[解析]　设“甲、乙两球都落入盒子”为事件A，
则P(A)＝×＝.
设“甲、乙两球至少有一个落入盒子”为事件B，
则P(B)＝1－＝1－＝.
或P(B)＝×＋×＋×＝.

考点突破·互动探究
考点一　条件概率——自主练透
例1 (1)(2021·山东日照一中期中)根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在吹东风的条件下下雨的概率为(　B　)
A． B．
C． D．
(2)(2021·重庆市诊断)某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为(　A　)
A． B．
C． D．
(3)(2021·辽宁沈阳模拟)已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　(1)记“某地四月份吹东风”为事件A，
“某地四月份下雨”为事件B．
则P(A)＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝＝.故选B．
(2)公式法：设事件A为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B为“学生丙第一个出场”
则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
则P(B|A)＝＝＝，本题选A．
直接法：“学生甲不是第一个出场，
学生乙不是最后一个出场”有A＋CCA＝78种；
“学生丙第一个出场，学生乙不最后一个出场”有CA＝18种，
故所求概率为P＝＝.
(3)记“三人中至少有两人解答正确”为事件A；“甲解答不正确”为事件B，
则P(A)＝C2×＋C3＝；
P(AB)＝××＝，
∴P(B|A)＝＝.故选C．

名师点拨
条件概率的求法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.这是通用的求条件概率的方法．
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
〔变式训练1〕
(1)(2021·江苏淮安淮阴中学测试)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P＝(　A　)
A． B．
C． D．
(2)(2021·陕西交大附中、龙岗中学联考)甲、乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率0.6，乙命中目标概率0.5，假设甲、乙两人射击命中率互不影响．射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目标概率为(　B　)
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.48
[解析]　(1)设事件A＝“4个人去的景点不完全相同”，
事件B＝“小赵独自去一个景点”，
则P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(AB)＝＝，
则P(B|A)＝＝，故选A．
(2)设事件A为“目标至少被命中一次”，事件B为“甲命中目标”，
则P(A)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，
P(AB)＝0.6×0.5＋0.6×0.5＝0.6，
∴P(B|A)＝＝0.75，故选B．
考点二　相互独立事件——多维探究
角度1　相互独立事件同时发生的概率
例2 (1)(2021·石家庄质检)甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是(　D　)
A．0.48 B．0.52
C．0.8 D．0.92
(2)(2019·全国)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是_0.18__.
(3)(2019·课标Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
①求P(X＝2)；
②求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
[解析]　(1)1－0.2×0.4＝0.92，选D项．
(2)前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是
0．63×0.5×0.5×2＝0.108，
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，
综上所述，甲队以4∶1获胜的概率是
P＝0.108＋0.072＝0.18.
(3)①X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
②X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
[引申](1)本例(1)中恰有一人解决这个问题的概率为_0.44__，至多有一人解决这个问题的概率为_0.52__.
(2)本例(2)中乙以4∶0获胜的概率为_0.04__，甲以4∶2获胜的概率为_0.171__.
[解析]　(1)记“恰有一人解决这个问题”为事件A，
则P(A)＝0.8×(1－0.6)＋(1－0.8)×0.6＝0.44，
记“至多有一人解决这个问题”为事件B，
则P(B)＝1－ 0.8×0.6＝0.52，
或P(B)＝0.8×(1－0.6)＋(1－0.8)×0.6＋(1－0.8)×(1－0.6)＝0.52.
(2)P1＝0.42×0.52＝0.04；
P2＝(C0.42×0.6×0.52＋0.63×0.52＋C0.4×0.62×C0.52)×0.5＝0.171.
角度2　与相互独立事件相关的数学期望
(4)(2020·陕西西安八校联考)某单位招聘职员，共有三轮考核，每轮考核回答一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知甲选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别是、、.且各轮问题能否正确回答互不影响．
①求该选手被淘汰的概率；
②该选手在被考核中回答问题的个数记为X，求X的分布列和数学期望．
[解析]　①设“该选手能正确回答第i轮问题”为事件Ai，
“该选手被淘汰”为事件M.
则P＝，P＝，P＝.
P＝P
＝P＋PP＋PPP
＝＋×＋××＝
∴该选手被淘汰的概率是.
②X的可能取值为1,2,3.
P＝P＝，
P＝P＝PP＝×＝，
P＝P＝PP＝×＝.
∴X的分布列为
X
1
2
3
P

∴E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

名师点拨
利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2020·四川资阳诊断)某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为___.
(2)(角度2)(2021·广东新高考适应性测试)某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分，如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．
①求至少回答对一个问题的概率；
②求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列；
③求这位挑战者闯关成功的概率．
[解析]　(1)因为甲获胜的方式有2∶0和2∶1两种，
所以甲获得冠军的概率
P＝2＋C×××＝.
故答案为：.
(2)①设至少回答对一个问题为事件A，
则P(A)＝1－××＝.
②这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为－10,0,10,20,30,40，
根据题意，P(X＝－10)＝××＝，
P(X＝0)＝×××2＝，
P(X＝10)＝××＝，
P(X＝20)＝××＝，
P(X＝30)＝×××2＝，
P(X＝40)＝××＝.
这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列为
X
－10
0
10
20
30
40
P

③设这位挑战者闯关成功为事件B，
则P(B)＝＋＋＋＝.
考点三　独立重复试验的概率与二项分布——师生共研
例3 (1)(2021·“四省八校”联考)已知随机变量ξ服从二项分布B(n，p)，若E(ξ)＝12，＝3，则n＝_48__.
(2)(2020·山东新高考质量测评联盟联考)甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对的概率分别为和.假定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立．
①用X表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量X的分布列和数学期望；
②设M为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多2”，求事件M发生的概率．
[解析]　(1)，解得n＝48.
(2)①X的所有可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝3＝；
P(X＝1)＝C·×2＝；
P(X＝2)＝C2×＝；
P(X＝3)＝3＝.
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2或E(ξ)＝np＝.
②设Y为乙连续3次答题中答对的次数，
由题意知Y～B，
P(Y＝0)＝3＝，
P(Y＝1)＝C12＝，
所以P(M)＝P(X＝3且Y＝1)＋P(X＝2且Y＝0)
＝×＋×＝.
即事件M发生的概率为.

名师点拨
独立重复试验概率求解的策略
(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且每次试验中发生的概率都是一样的．
(2)二项分布满足的条件：①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②各次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
(3)解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．
〔变式训练3〕
(1)(2021·湖北黄冈模拟)一批产品的二等品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝_2.91__.
(2)(2021·辽宁六校协作体联考)“新高考方案：3＋1＋2”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在物理、历史2门科目中选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为.
①求该校最终选地理的学生概率；
②该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X.求X的概率分布表以及数学期望．
[解析]　(1)由于是有放回的抽样，所以抽到二等品的件数符合二项分布，即X～B，
由二项分布的方差公式可得D＝np＝100×0.03×0.97＝2.91.
(2)①该校最终选地理的学生为事件A，
P＝×＋×＝；
②P＝3＝，
P＝C12＝，
P＝C2＝，
P＝C3＝，
X
0
1
2
3
P

E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
另解：显然X～B，
∴E(X)＝3×＝.

名师讲坛·素养提升
概率中的“停止型”问题
例4 (2020·甘肃天水一中阶段测试)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响且无平局．求：
(1)前三局比赛甲队领先的概率；
(2)设本场比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望．(用分数表示)
[解析]　(1)设“甲队胜三局\”为事件A，“甲队胜二局\”为事件B，则P(A)＝3＝，P(B)＝C2×＝，
所以，前三局比赛甲队领先的概率为
P(A)＋P(B)＝
(2)甲队胜三局或乙胜三局，
P(ξ＝3)＝3＋3＝.
甲队或乙队前三局胜2局，第4局获胜
P(ξ＝4)＝C2××＋C2××＝.
甲队或乙队前四局胜2局，第5局获胜
P(ξ＝5)＝C2×2×＋C2×2×＝.
∴ξ的分布列为：
ξ
3
4
5
P

∴ξ数学期望为
E(ξ)＝3×＋4×＋5×＝.

名师点拨
解决这类终止型问题，一定要弄清终止的条件，根据终止的条件确定各种可能结果，再计算相应概率．
〔变式训练4〕
设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．
(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；
(2)求他所耗用的子弹数X的分布列．
[解析]　记“第k发子弹命中目标”为事件Ak，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)＝，P(k)＝，k＝1,2,3,4,5，
(1)解法一：他前两发子弹只命中一发的概率为
P(A12)＋P(1A2)＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)
＝×＋×＝.
解法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P＝C××＝.
(2)X的所有可能值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(12)
＝×＋×＝，
P(X＝3)＝P(A123)＋P(1A2A3)
＝×2＋×2＝，
P(X＝4)＝P(A12A3A4)＋P(1A234)
＝3×＋3×＝，
P(X＝5)＝P(A12A34)＋P(1A23A4)
＝2×2＋2×2＝.
故X的分布列为
X
2
3
4
5
P