2022高考数学一轮复习-第九章-解析几何-9.3-圆的方程学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.3 圆的方程学案北师大版2022高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.3 圆的方程学案北师大版年级：姓名：9.3圆的方程必备知识预案自诊知识梳理1.圆的定义及方程定义平面上到的距离等于的点的集合(轨迹)叫作圆标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)圆心:半径:一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)圆心:-D2,-E2半径:注意:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点-D2,-E2;当D2+E2-4F0),点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2点M在圆上;(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2点M在圆外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2r2点M在圆内.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(公式推导:设圆上任一点P(x,y),则有kPAkPB=-1,由斜率公式代入整理即可).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.()(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(tR)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.()(3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为-a2,-a,半径为12-3a2-4a+4的圆.()(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.()(5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x02+y02+Dx0+Ey0+F0.()2.已知圆C经过点A(1,5),且圆心为C(-2,1),则圆C的方程为()A.(x-2)2+(y+1)2=5B.(x+2)2+(y-1)2=5C.(x-2)2+(y+1)2=25D.(x+2)2+(y-1)2=253.(2020山东聊城模拟)圆x2+y2-6x-2y+3=0的圆心到直线x+ay-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.3D.24.(2020山东青岛实验高中测试)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是()A.a-2B.-23a0C.-2a0D.-2a0,1)的点M的轨迹是圆.若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹围成区域的面积为()A.B.2C.3D.4考点与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助目标函数的几何意义求最值【例3】已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;(2)求n-3m+2的最大值和最小值.解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.(1)形如u=y-bx-a形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.对点训练3已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z=y+1x的最大值与最小值分别为和.考向2借助圆的几何性质求最值【例4】已知点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上运动,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上运动,则|PA|+|PQ|的最小值是.思考如何求解折线段和长的最值问题?解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.对点训练4(2020山东济宁模拟)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则ABP的面积的最小值为.考向3建立函数关系求最值【例5】(2020江苏,14)在平面直角坐标系xOy中,已知P32,0,A,B是圆C:x2+y-122=36上的两个动点,满足PA=PB,则PAB面积的最大值是.解题心得利用函数关系求最值时,先根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求最值.对点训练5(2020宁夏银川模拟)设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|PA+PB|的最大值为.求半径常有以下方法:(1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(或切线)的距离等于半径;(2)若已知弦长、弦心距,则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得.1.求圆的方程需要三个独立条件,因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式.2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质.3.解决与圆有关的轨迹问题,一定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹.9.3圆的方程必备知识预案自诊知识梳理1.定点定长(a,b)rD2+E2-4F22.(1)=(2)(3)0,所以3a2+4a-40,所以(a+2)(3a-2)0,即-2a23.5.(x-1)2+(y-2)2=5方法1由题知OAOB,故ABO外接圆的圆心为AB的中点(1,2),半径为12|AB|=5,所以ABO外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.方法2设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为过A(2,0),B(0,4),O(0,0)三点,所以4+2D+F=0,16+4E+F=0,F=0,解得D=-2,E=-4,F=0,则ABO外接圆的方程是x2+y2-2x-4y=0,即ABO外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.关键能力学案突破例1(1)A(2)(x-1)2+(y+1)2=2(1)因为圆心(2,-1)到直线x-y-1=0的距离d=|2+1-1|2=2,弦长为22,所以圆的半径r=(2)2+2222=2,则圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.(2)由圆C的圆心在直线x+y=0上,可设圆心坐标为(a,-a),又圆C与直线x-y=0相切,所以圆的半径r=2|a|.因为圆心到直线x-y-3=0的距离d=2a-32,圆C被直线x-y-3=0截得的弦长为6,所以d2+622=r2,即(2a-3)22+32=2a2,解得a=1,所以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.对点训练1(1)A(2)x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0(1)根据题意,设过A,B,C三点的圆为圆M,其方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,又由A(4,4),B(4,0),C(0,4),则有32+4D+4E+F=0,16+4D+F=0,16+4E+F=0,解得D=-4,E=-4,F=0,即圆M的方程为x2+y2-4x-4y=0,令y=0可得x2-4x=0,解得x1=0,x2=4,即圆与x轴的交点的坐标为(0,0),(4,0),则圆被x轴截得的弦长为4.故选A.(2)方法1所求圆的圆心在直线x-3y=0上,设所求圆的圆心为(3a,a),又所求圆与y轴相切,半径r=3|a|,又所求圆在直线y=x上截得的弦长为27,圆心(3a,a)到直线y=x的距离d=|2a|2,d2+(7)2=r2,即2a2+7=9a2,a=1.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.方法2设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到直线y=x的距离为|a-b|2,r2=(a-b)22+7,即2r2=(a-b)2+14.所求圆与y轴相切,r2=a2,所求圆的圆心在直线x-3y=0上,a-3b=0,联立,解得a=3,b=1,r2=9或a=-3,b=-1,r2=9.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.方法3设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为-D2,-E2,半径r=12D2+E2-4F.在圆的方程中,令x=0,得y2+Ey+F=0.由于所求圆与y轴相切,=0,则E2=4F.圆心-D2,-E2到直线y=x的距离d=|-D2+E2|2,由已知得d2+(7)2=r2,即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F).又圆心-D2,-E2在直线x-3y=0上,D-3E=0.联立,解得D=-6,E=-2,F=1或D=6,E=2,F=1.故所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.例2A设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ中点为M(x,y),根据中点坐标公式,得x0=2x-4,y0=2y+2,因为Q(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化为(x-2)2+(y+1)2=1,故选A.对点训练2D以A为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则B(3,0).设M(x,y),依题意有x2+y2(x-3)2+y2=2,化简整理得x2+y2-8x+12=0,即(x-4)2+y2=4,则圆的面积为4.故选D.例3解(1)(方法1)依题意,圆心C(2,7),半径r=22.设m+2n=t,则点M(m,n)为直线x+2y=t与圆C的公共点,所以圆心C到该直线的距离d=|2+27-t|12+2222,解得16-210t16+210.所以m+2n的最大值为16+210.(方法2)由x2+y2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8.因为点M(m,n)为圆C上任意一点,所以可设m-2=22cos,n-7=22sin,(为参数)即m=2+22cos,n=7+22sin,(为参数)所以m+2n=2+22cos+2(7+22sin)=16+22cos+42sin=16+210sin(+),其中tan=12.因为-1sin(+)1,所以m+2n的最大值为16+210.(2)设点Q(-2,3).则直线MQ的斜率k=n-3m+2.设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.由直线MQ与圆C有公共点,得|2k-7+2k+3|k2+122,解得2-3k2+3,即2-3n-3m+22+3.所以n-3m+2的最大值为2+3,最小值为2-3.对点训练34+734-73由题意,得y+1x表示过点A(0,-1)和圆(x-2)2+(y-1)2=1上的动点P(x,y)的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值与最小值.设切线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则|2k-2|k2+1=1,解得k=473.所以zmax=4+73,zmin=4-73.例425依题意,圆心C(2,1),半径r=5.设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A(m,n),则m+02+n+22+2=0,n-2m-0=1,解得m=-4,n=-2,故A(-4,-2).连接AC交直线x+y+2=0于点P,交圆C于点Q(图略),此时|PA|+|PQ|取得最小值.由对称性可知此时|PA|+|PQ|=|PA|+|PQ|=|AQ|=|AC|-r=25.对点训练4112依题意,圆心C(0,1),半径r=1.如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆C于点P,连接BP,AP,此时ABP的面积最小.因为直线AB的方程为x4+y-3=1,即3x-4y-12=0,所以圆心C到直线AB的距离d=165.又|AB|=32+42=5,所以ABP的面积的最小值为125165-1=112.例5105本题考查圆与直线的位置关系.如图,由已知,得C0,12,CP=1,ABCP.设过点P的直径为EF,AB与EF相交于点D,设CD=d.(1)当点D与P在圆心C的异侧时,SPAB=12236-d2(1+d)=(36-d2)(1+d)2(0d6).设f(d)=(36-d2)(1+d)2,则f(d)=-2d(d+1)2+2(36-d2)(d+1)=-2(d+1)(d-4)(2d+9).所以f(d)在区间0,4)上单调递增,在区间(4,6)上单调递减,所以当d=4时,f(d)取得最大值f(4)=500,此时,SPAB=105.(2)当点D与P在圆心C的同侧时,当点D在点C,P之间时,PAB的高为1-d;当点D在CP的延长线上时,PAB的高为d-1.根据圆的对称性,当AB与(1)中相等时,相应的高都小于(1)中AB对应的高,所以相应PAB的面积也小.综上,PAB面积的最大值是105.对点训练510由题意,知PA=(-x,2-y),PB=(-x,-2-y),所以PA+PB=(-2x,-2y),所以|PA+PB|=2x2+y2.因为点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的点,所以(x-3)2+y2=4,1x5,所以y2=-(x-3)2+4,所以|PA+PB|=2x2-(x-3)2+4=26x-5.因为1x5,所以当x=5时,|PA+PB|的值最大,最大值为265-5=10.