2022高考数学一轮复习-第九章-解析几何-9.6-双曲线学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线学案北师大版2022高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线学案北师大版年级：姓名：9.6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数.(1)若ac,则点M的轨迹是双曲线;(2)若ac,则点M的轨迹是两条射线;(3)若ac,则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0).3.双曲线的性质标准方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)图形续表标准方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)性质范围xa或x-a,yRy-a或ya,xR对称性对称轴:,对称中心:顶点A1,A2A1,A2渐近线y=baxy=abx离心率e=ca,e(1,+)a,b,c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.2.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)为双曲线上任意一点,且不与点F1,F2共线,F1PF2=,则F1PF2的面积为b2tan2.3.若点P(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)内,则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2-y0yb2=x02a2-y02b2.4.双曲线中点弦的斜率公式设点M(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的弦AB(不平行y轴)的中点,则kABkOM=b2a2,即kAB=b2x0a2y0.5.双曲线的焦半径公式双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),当点M(x0,y0)在双曲线右支上时,|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;当点M(x0,y0)在双曲线左支上时,|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.6.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.7.双曲线的同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴所在直线的弦),其长为2b2a;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)双曲线x2m2-y2n2=(m0,n0,0)的渐近线方程是x2m2-y2n2=0,即xmyn=0.()(3)关于x,y的方程x2m-y2n=1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)与双曲线x2m-y2n=1(其中mn0)共渐近线的双曲线方程可设为x2m-y2n=(0).()(5)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与x2b2-y2a2=1(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1.()2.(2020山东济南期末)方程x2m-2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A.-3m0B.-3m2C.-3m4D.-1m0,b0)的一条渐近线为y=2x,则C的离心率为.关键能力学案突破考点双曲线的定义【例1】(1)(2020全国1,文11)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则PF1F2的面积为()A.72B.3C.52D.2(2)已知点F2为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若AF2B=23,SAF2B=23,则双曲线C的虚轴长为.思考如何灵活运用双曲线的定义或如何解焦点三角形?解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF2|的联系.对点训练1(1)已知(x-2)2+y2=9的圆心为C.过点M(-2,0)且与x轴不重合的直线l交圆C于A,B两点,点A在点M与点B之间.过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P,则点P的轨迹为()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分(2)(2020河北廊坊省级示范学校联考)设F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过点F1的直线交双曲线C的左支于A,B两点,且|AF2|=3,|BF2|=5,|AB|=4,则BF1F2的面积为.考点双曲线的标准方程【例2】(1)已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x22-y214=1(x2)B.x22-y214=1(x-2)C.x22+y214=1(x2)D.x22+y214=1(x-2)(2)(2020云南大理月考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线均与圆C:x2+y2-8x+12=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则双曲线的方程为.思考双曲线的标准方程的求解方法是什么?解题心得1.待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数a,b,c的方程并求出a,b,c的值.与双曲线x2a2-y2b2=1有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为x2a2-y2b2=(0).2.定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点位置确定c的值.对点训练2(1)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若(F2F1+F2A)F1A=0,则双曲线的标准方程可能为()A.x24-y23=1B.x23-y24=1C.x216-y29=1D.x29-y216=1(2)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为32,过右焦点F作渐近线的垂线,垂足为M,若FOM的面积为5,其中O为坐标原点,则双曲线的标准方程为()A.x2-4y25=1B.x22-2y25=1C.x24-y25=1D.x216-y220=1考点双曲线的几何性质(多考向探究)考向1求双曲线的渐近线方程【例3】(2020福建厦门一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点为F,点A,B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB为直径的圆过点F且交双曲线C的左支于M,N两点,若|MN|=2,ABF的面积为8,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=3xB.y=33xC.y=2xD.y=12x解题心得求双曲线的渐近线方程的方法依据题设条件,求出双曲线方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)中a,b的值或a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.对点训练3(1)(2020山东德州高三第二次模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线x2a2-y2b2=12的焦点相同,则双曲线渐近线方程为()A.y=33xB.y=3xC.y=22xD.y=2x(2)椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线:x2m2-y2n2=1(m0,n0)焦点相同,F为左焦点,曲线与在第一象限、第三象限的交点分别为A,B,且AFB=23,则当这两条曲线的离心率之积最小时,双曲线的一条渐近线的方程是()A.x-2y=0B.2x+y=0C.x-2y=0D.2x+y=0考向2求双曲线的离心率【例4】(2020福建福州三模,理16)已知梯形ABCD满足ABCD,BAD=45,以A,D为焦点的双曲线经过B,C两点.若|CD|=7|AB|,则的离心率为.解题心得求双曲线离心率的值或取值范围的方法(1)求a,b,c的值,由e=ca=1+b2a2直接求出e.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化为关于e的方程(或不等式)求解.对点训练4(1)(2020山东潍坊二模,8)已知O为坐标原点,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A(点A在第一象限),点B在双曲线C的渐近线上,且BFOA.若ABOB=0,则双曲线C的离心率为()A.233B.2C.3D.2(2)(2020山东济宁三模,16)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,过F2作x轴的垂线,与双曲线在第一象限的交点为A,点Q坐标为c,3a2,且满足|F2Q|F2A|.若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|0,b0)上一点,F1,F2为双曲线C的左、右焦点,若|PF1|=|F1F2|,且直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=43xB.y=34xC.y=35xD.y=53x思考如何解答双曲线与圆的综合问题?解题心得解答双曲线与圆的综合问题一般要画出几何图形,多借助圆的几何性质,挖掘出隐含条件,如垂直关系、线段或角的等量关系等.对点训练5(2019全国2,理11)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.51.双曲线中的参数a,b,c三者之间的关系为a2+b2=c2.2.与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x2a2-y2b2=(0).3.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程x2a2-y2b2=0就是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线方程.4.双曲线中的焦点三角形的面积公式为SPF1F2=b2tan2.(其中P为双曲线上任意一点,但不能与点F1,F2共线,F1,F2是双曲线的左、右焦点,为F1PF2的大小)1.双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x2,y2前系数的正负.2.关于双曲线离心率的取值范围问题,不要忘记双曲线离心率的取值范围是(1,+).3.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程是y=bax,y2a2-x2b2=1(a0,b0)的渐近线方程是y=abx.4.若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.5.当直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.9.6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距(1)3.坐标轴原点(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)a2+b22a2b考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.A方程x2m-2+y2m+3=1表示双曲线,则有(m-2)(m+3)0,解得-3m2.由题意,所给集合必须是m|-3m2的非空真子集,只有A符合条件.3.B由题意,双曲线的一条渐近线的斜率为232-22=25.由双曲线x25-y2a=1,得实半轴长为5,虚半轴长为a.故a5=25,解得a=4.4.x28-y22=1双曲线的渐近线方程为y=12x,可设双曲线方程为4y2-x2=m.双曲线经过点A(4,2),可得8-16=m,m=-8.故所求双曲线方程为x28-y22=1.5.3由题意得ba=2,即b=2a.所以c2=a2+b2=3a2,即c=3a,所以e=ca=3.关键能力学案突破例1(1)B(2)22(1)由题意知a=1,b=3,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则F1(-2,0),F2(2,0).因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,故PF1PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4,所以|PF1|PF2|=6,所以PF1F2的面积为12|PF1|PF2|=3.(2)设双曲线C的左焦点为F1,连接AF1,BF1,由对称性可知四边形AF1BF2为平行四边形,因为AF2B=23,SAF2B=23,所以SAF1F2=23,F1AF2=3.设|AF1|=r1,|AF2|=r2,则4c2=r12+r22-2r1r2cos3,又|r1-r2|=2a,故r1r2=4b2.又SAF1F2=12r1r2sin3=23,所以b2=2,所以该双曲线的虚轴长为22.对点训练1(1)C(2)92(1)圆(x-2)2+y2=9的圆心为C(2,0),半径为R=3.如图,|CB|=|CA|=R=3,CBA=CAB.ACMP,CAB=PMA,CBA=PMA,|PM|=|PB|=|PC|+|BC|,|PM|-|PC|=|BC|=3(定值),且3|MC|.点P的轨迹是双曲线的一部分,故选C.(2)因为|AF2|=3,|BF2|=5,|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|-|AB|=3+5-4=4=4a,所以a=1,所以|BF1|=3.又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,所以F2AB=90,所以SBF1F2=12|BF1|AF2|=1233=92.例2(1)A(2)x212-y24=1(1)设动圆M的半径为r,由题意可得|MC1|=r+2,|MC2|=r-2,|C1C2|=8,所以|MC1|-|MC2|=22b0)与双曲线x2a2-y2b2=12,即x2a22-y2b22=1的焦点相同,可得a2-b2=a22+b22,即a2=3b2,所以ba=33.所以双曲线的渐近线方程为y=33x.故选A.(2)设双曲线的右焦点为F1,由题意点A与点B关于原点对称,因此|AF1|=|BF|,又AFB=23,所以FAF1=3.由椭圆与双曲线定义可得|AF|+|AF1|=2a,|AF|-|AF1|=2m,所以|AF|=a+m,|AF1|=a-m,根据余弦定理可得|FF1|2=|AF|2+|AF1|2-2|AF|AF1|cosFAF1,即4c2=(a+m)2+(a-m)2-2(a+m)(a-m)cos3,化简得4c2=3m2+a223m2a2=23ma,当且仅当3m2=a2时,取等号.所以离心率乘积为cacm=c2am32,由a2-b2=m2+n2,所以4c2-3m2-b2=m2+n2,所以b2=3n2,再将代入a2-b2=m2+n2可得m2=2n2,所以双曲线的渐近线方程为x-2y=0或x+2y=0,故选C.例4324(方法1)如图所示,以AD的中点O为原点,以AD为x轴,建立平面直角坐标系.设点C关于点O对称的点为C,由对称性知,B,A,C三点共线.设的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),A(-c,0),B(x1,y1),C(x2,y2),则直线BC的方程为y=x+c.由y=x+c,x2a2-y2b2=1得(b2-a2)y2-2b2cy+b4=0,所以=4b4c2-4b4(b2-a2)0,y1+y2=2b2cb2-a2,y1y2=b4b2-a2.因为|CD|=7|AB|,所以|y2|=7|y1|.因为y1,y2异号,所以y2=-7y1.由y2=-7y1,y1+y2=2b2cb2-a2,解得y1=-b2c3(b2-a2),y2=7b2c3(b2-a2),代入y1y2=b4b2-a2,得-7c2=9(b2-a2),因为b2=c2-a2,所以9a2=8c2.所以的离心率e=ca=324.(方法2)如图,连接AC,BD.设该双曲线的焦距AD=2c,实轴长为2a,则|BD|-|AB|=|AC|-|CD|=2a.设AB=m,则CD=7m,BD=2a+m,AC=2a+7m.依题意,BAD=45,ADC=135,在ABD中,由余弦定理及题设得(2a+m)2=m2+4c2-22mc,在ACD中,由余弦定理及题设得(2a+7m)2=49m2+4c2+142mc,整理得2(c2-a2)=m(2a+c),2(c2-a2)=7m(2a-c),两式相除得1=2a+c7(2a-c),即62a=8c,故的离心率e=ca=324.对点训练4(1)A(2)32,102(1)如图所示,设双曲线的焦距为2c,渐近线方程为y=bax,则点F(c,0),Ac,bca.设点Bx0,-bx0a.BFOA,kOA=kBF,即ba=-bx0ax0-c,解得x0=c2,Bc2,-bc2a.AB=-c2,-3bc2a,OB=c2,-bc2a.又ABOB=0,-c24+3b2c24a2=0,即a2=3b2.c2=a2+b2,a2=3(c2-a2),即3c2=4a2,离心率e=ca=233.故选A.(2)将x=c代入双曲线的方程,得y=bc2a2-1=b2a,所以Ac,b2a.又因为|F2Q|F2A|,所以3a2b2a,所以ba232,所以e=ca=1+ba21+32=102.因为|PF1|+|PQ|=2a+|PF2|+|PQ|2a+|F2Q|,又在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|76|F1F2|成立,所以有2a+|F2Q|76|F1F2|,即2a+32a32.又因为e1,所以32e102.例5A如图.由已知得|PF1|=|F1F2|=2c.因为直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,设切点为M,所以|OM|=a,OMPF2,所以|MF2|=c2-a2=b.由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a,所以|PF2|=2a+2c,所以cosOF2M=bc=(2c)2+(2a+2c)2-(2c)222c(2a+2c),整理得c=2b-a.又c2=a2+b2,解得ba=43.所以双曲线C的渐近线方程为y=43x.故选A.对点训练5A如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQx轴.|PQ|=|OF|=c,|PA|=c2.PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,|OA|=c2.Pc2,c2.又点P在圆x2+y2=a2上,c24+c24=a2,即c22=a2,e2=c2a2=2,e=2.故选A.