2022版高考数学一轮复习-练案51-第八章-解析几何-第三讲-圆的方程新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 练案51 第八章 解析几何 第三讲 圆的方程新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案51 第八章 解析几何 第三讲 圆的方程新人教版

年级：
姓名：

第三讲　圆的方程
A组基础巩固
一、单选题
1．(2021·衡水中学月考)若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)与圆x2＋y2＝1的关系为(　B　)
A．在圆上　　 B．在圆外
C．在圆内　　 D．以上都有可能
[解析]　∵<1，∴a2＋b2>1，
∴P(a，b)在圆外．
2．(2016·课标全国Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　A　)
A．－　　 B．－　　
C．　　 D．2
[解析]　x2＋y2－2x－8y＋13＝0可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，∴圆心为(1,4)．由1＝，得a＝－.
3．(2021·北京延庆统测)圆(x－3)2＋(y－4)2＝1上一点到原点的距离的最大值为(　C　)
A．4　　 B．5　　
C．6　　 D．7
[解析]　显然圆心(3,4)到原点的距离为5，圆的半径为1，故所求最大值为6.
4．(2020·3月份北京市高考适应性考试)圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是(　A　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1　　 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－2)2＋(y－1)2＝5　　 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
[解析]　由题意知圆的半径r＝1，∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
5．(2021·河北保定模拟)过点P(－1,0)作圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的两条切线，设两切点分别为A，B，则过点A，B，C的圆的方程是(　A　)
A．x2＋(y－1)2＝2　　 B．x2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋y2＝4　　 D．(x－1)2＋y2＝1
[解析]　P，A，B，C四点共圆，圆心为PC的中点(0,1)，半径为|PC|＝＝，则过点A，B，C的圆的方程是x2＋(y－1)2＝2.
6．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的和是(　C　)
A．30　　 B．18　　
C．10　　 D．5
[解析]　由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为＋3＝8，最小距离为－3＝2，故最大距离与最小距离的和为10.
7．(2021·江苏如皋镇江联考)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，双曲线x2－＝1的右焦点为F，则以F为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为(　D　)
A．x2＋y2＋4x＋1＝0　　 B．x2＋y2＋4x＋3＝0
C．x2＋y2－4x－1＝0　　 D．x2＋y2－4x＋1＝0
[解析]　∵c＝＝2，∴F(2,0)，点F到渐近线x－y＝0的距离r＝＝，∴所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝3，即x2＋y2－4x＋1＝0，故选D.
8．(2021·福建厦门)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为(　A　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1　　 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4　　 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
[解析]　设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B′(x′，y′)，由题意得，则故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得，(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.
9．(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　A　)
A．[2,6]　　 B．[4,8]
C．[，3]　　 D．[2，3]
[解析]　由题意|AB|＝2，又圆心(2,0)到直线x＋y＋2＝0的距离为2，∴P到直线距离的取值范围为[，3]，∴S△ABP∈[2,6]，故选A.
二、多选题
10．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值可以为(　AB　)
A．－5　　 B．－3　　
C．－2　　 D．－1
[解析]　曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a)，半径等于2的圆，因为圆上的点均在第四象限内，所以，即a<－2.故选AB.
11．已知直线x－y＋m＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且△OAB为正三角形，则实数m的值可能为(　BD　)
A．　　 B．　　
C．－　　 D．－
[解析]　∵△AOB为正三角形，∴圆心O到直线x－y＋m＝0的距离为，即＝，∴m＝±，故选BD.
三、填空题
12．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为 (x－2)2＋y2＝10 .
[解析]　依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程，得解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
另解：kAB＝＝－，
∴AB中垂线的方程为y－2＝2(x－3)，即2x－y－4＝0，
由得圆心坐标(2,0)，
∴r2＝(3－0)2＋(1－2)2＝10，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
13．(2021·天津河东区一模)已知圆O过点A(0,0)、B(0,4)、C(1,1)，点D(3,4)到圆O上的点最小距离为　　.
[解析]　设圆O的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵圆O过点A(0,0)、B(0,4)、C(1,1)，
∴求得
故圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＝0，
即(x＋1)2＋(y－2)2＝5，表示圆心为O(－1,2)、半径为的圆．
∵|OD|＝＝2，
故点D(3,4)到圆O上的点最小距离为2－＝，故答案为.
14．(2017·天津)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为　(x＋1)2＋(y－)2＝1　.
[解析]　如图，由题意易知F(1,0)，

l：x＝－1，∠OAF＝30°，
∴OA＝，∴C(－1，)，又|CA|＝1，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
四、解答题
15．(2021·洛阳统考)已知圆S经过点A(7,8)和点B(8,7)，圆心S在直线2x－y－4＝0上．
(1)求圆S的方程；
(2)若直线x＋y－m＝0与圆S相交于C，D两点，若∠COD为钝角(O为坐标原点)，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)线段AB的中垂线方程为y＝x，
由得所以圆S的圆心为S(4,4)，
圆S的半径为|SA|＝5，故圆S的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝25.
(2)由x＋y－m＝0变形得y＝－x＋m，代入圆S的方程，消去y并整理得2x2－2mx＋m2－8m＋7＝0.
令Δ＝(－2m)2－8(m2－8m＋7)>0，得
8－5<m<8＋5.
设C，D的横坐标分别为x1，x2，
则x1＋x2＝m，x1x2＝.
依题意，得·<0，即x1x2＋(－x1＋m)(－x2＋m)<0，即m2－8m＋7<0，解得1<m<7.
故实数m的取值范围是{m|8－5<m<8＋5}∩{m|1<m<7}＝{m|1<m<7}．
B组能力提升
1．(2021·广州调研)圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　D　)
A．(x－)2＋(y－1)2＝4
B．(x－)2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4
D．(x－1)2＋(y－)2＝4
[解析]　设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)，则有解得a＝1，b＝，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.故选D.
2．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，则的最大值为(　D　)
A．3＋　　 B．1＋
C．1＋　　 D．2＋
[解析]　由题可知表示直线MQ(Q(－2,3))的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，其中＝k，将圆C的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，C(2,7)，半径r＝2，由直线MQ与圆C有交点，得≤2，解得2－≤k≤2＋，∴的最大值为2＋，故选D.
3．圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是(　C　)
A．2　　 B．　　
C．　　 D．
[解析]　由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a－6b＋6＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，∴＋＝(a＋3b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选 C．
4．(2020·高考北京)已知半径为1的圆经过点(3 ,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　A　)
A．4　　 B．5　　
C．6　　 D．7
[解析]　由题意知圆心在以(3,4)为圆心，1为半径的圆上，所以圆心到原点的距离的最小值为－1＝4，故选A.
5．(2021·四川巴中市诊断)已知P为圆(x＋1)2＋y2＝1上任意一点，点A，B在直线3x＋4y－7＝0上移动且|AB|＝3，则△PAB的面积的最大值为(　C　)
A．　　 B．3　　
C．　　 D．9
[解析]　P到直线3x＋4y－7＝0的距离的最大值为＋1＝3.
∴S△PAB的最大值为×3×3＝.故选 C．