2019年高考数学总复习：反证法.doc

2019年高考数学总复习：反证法
1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<a”“索”的“因”应是(　　)
A．a－b>0　　　　　　　 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
答案　C
解析　<a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2
⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0
⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.
2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0只要证明(　　)
A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0
答案　D
3．下列不等式不成立的是(　　)
A.<ln2 B.＋1>2
C．233<322 D．sin1>cos1
答案　B
4．若实数a，b满足a＋b<0，则(　　)
A．a，b都小于0 B．a，b都大于0
C．a，b中至少有一个大于0 D．a，b中至少有一个小于0
答案　D
解析　假设a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，则a＋b≥0，这与a＋b<0相矛盾，因此假设错误，即a，b中至少有一个小于0.
5．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)
A．P>Q B．P＝Q
C．P<Q D．由a的取值确定
答案　C
解析　要比较P，Q的大小关系，只要比较P2，Q2的大小关系，只要比较2a＋7＋2与2a＋7＋2的大小，
只要比较与的大小，
即比较a2＋7a与a2＋7a＋12的大小，
只要比较0与12的大小，∵0<12，∴P<Q.
6．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是(　　)
A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角
C．假设没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
答案　B
解析　注意到：“至多有一个”的否定应为“至少有两个”知需选B.
7．若a>0，b>0，a＋b＝1，则下列不等式不成立的是(　　)
A．a2＋b2≥ B．ab≤
C.＋≥4 D.＋≤1
答案　D
解析　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2·()2＝，∴A成立；
ab≤()2＝，∴B成立；
＋＝＝≥＝4，∴C成立；
(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2>1，∴＋>1，故D不成立．
8．(2018·广东模拟)设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
答案　C
解析　假设a，b，c三个数都小于2.
则6>a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，
即6>6，矛盾．
所以a，b，c三个数中至少有一个不小于2.
9．设a>0，b>0，求证：lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
答案　略
证明　要证lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]，
只需证1＋≤，
即证：(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，
即证：2≤a＋b，而2≤a＋b成立，
∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
10．(2017·江苏盐城一模)已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：＋＋≥1.
答案　略
解析　∵＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2(x1＋x2＋x3)＝2，∴＋＋≥1.
11．(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3.
(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．
答案　(1)略　(2)成立，证明略
解析　(1)证明：x是正实数，由均值不等式，得
x＋1≥2，x2＋1≥2x，x3＋1≥2.
故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．
(2)解：若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．
由(1)知，当x>0时，不等式成立；
当x≤0时，8x3≤0，
而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－)2＋]≥0，
此时不等式仍然成立．
12．(2017·湖北武汉调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝5，S8＝64.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：＋>(n≥2，n∈N*)．
答案　(1)an＝2n－1　(2)略
解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，
则解得a1＝1，d＝2.
故所求的通项公式为an＝2n－1.
(2)证明：由(1)可知Sn＝n2，要证原不等式成立，只需证＋>，
只需证[(n＋1)2＋(n－1)2]n2>2(n2－1)2.
只需证(n2＋1)n2>(n2－1)2.
只需证3n2>1.
而3n2>1在n≥1时恒成立，
从而不等式＋>(n≥2，n∈N*)恒成立．
13．(2015·湖南，理)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
答案　(1)略　(2)略
解析　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
14．已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)证明：当x>0，且x≠1时，f(x)>.
答案　(1)a＝1，b＝1　(2)略
解析　(1)f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，1)，
故即
解得a＝1，b＝1.
(2)由(1)知f(x)＝＋，所以
f(x)－＝(2lnx－)．
考虑函数h(x)＝2lnx－(x>0)，则
h′(x)＝－＝－.
所以当x≠1时，h′(x)<0.而h(1)＝0，故
当x∈(0，1)时，h(x)>0，可得h(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，可得h(x)>0.
从而当x>0，且x≠1时，f(x)－>0，
即f(x)>.

1．(2017·安徽毛坦厂中学月考)若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
证明过程如下：
因为a，b，c∈R，
所以a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
又因为a，b，c不全相等，
所以以上三式至少有一个等号不成立，
所以将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
此证法是(　　)
A．分析法 B．综合法
C．分析法与综合法并用 D．反证法
答案　B
解析　由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．故选B.
2．已知M＝(－1，1)，求证：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
答案　略
证明　∵a，b∈M，即－1<a<1，－1<b<1.
∴要证|a＋b|<|1＋ab|
只需证|a＋b|2<|1＋ab|2
即证a2＋b2<1＋a2b2
只需证1－a2－b2＋a2b2>0
即证(1－a2)(1－b2)>0
∵－1<a<1，－1<b<1，∴a2<1，b2<1
即1－a2>0，1－b2>0，∴(1－a2)·(1－b2)>0
∴原不等式成立．

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