2022版高考数学一轮复习-44-两条直线的位置关系训练新人教B版.doc

2022版高考数学一轮复习 44 两条直线的位置关系训练新人教B版

2022版高考数学一轮复习 44 两条直线的位置关系训练新人教B版

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四十四　两条直线的位置关系
(建议用时：45分钟)
A组　全考点巩固练
1．点P在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为(　　)
A． B．2
C． D．2
B　解析：点O到x＋y－4＝0的距离d＝＝2，所以|OP|的最小值为2.
2．(2020·蚌埠高三期末)过直线x＋y－3＝0和2x－y＝0的交点，且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程为(　　)
A．4x＋2y－3＝0 B．4x－2y＋3＝0
C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0
D　解析：联立方程组解得因为直线2x＋y－5＝0的斜率为－2，
故其垂线的斜率为，所以所求直线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.故选D.
3．经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　　)
A．x＋y＋1＝0
B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0
D．x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0
C　解析：设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝.
由＝，得λ＝或λ＝.
所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.
4．(多选题)(2020·江苏南京期末)下列说法正确的是(　　)
A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
BD　解析：对于A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程＋＝1表示，所以A不正确；
对于B，当m＝0时，平行于y轴的直线方程形式为x＝2，所以B正确；
对于C，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tan θ(x－1)表示，所以C不正确；
对于D，设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据∥可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正确．故选BD.
5．(多选题)已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论错误的是(　　)
A．不存在k，使得l2的倾斜角为90°
B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合
D．对任意的k，l1与l2都不垂直
AC　解析：对于选项A，存在k＝0，使得l2的方程为x＝0，其倾斜角为90°，故选项A错误．
对于选项B，直线l1：x－y－1＝0过定点(0，－1)，直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)⇒k(x＋y＋1)＋x＝0过定点(0，－1)，故选项B正确．
对于选项C，当k＝－时，直线l2的方程为x－y－＝0，即x－y－1＝0，l1与l2重合，故选项C错误．
对于选项D，若两直线垂直，则1×(k＋1)＋(－1)×k＝0，此方程无解，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故选项D正确．故选AC.
6．过点(－1,2)且与直线2x－3y＋9＝0垂直的直线方程为_____________．
3x＋2y－1＝0　解析：因为直线2x－3y＋9＝0的斜率为，所以直线l的斜率为－，
则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，化简得3x＋2y－1＝0.
7．已知点P(0，－1)，点Q在直线x－y＋1＝0上．若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，则点Q的坐标是________．
(2,3)　解析：因为点Q在直线x－y＋1＝0上，故设Q(x，x＋1)．
因为直线x＋2y－5＝0的斜率为－，且与直线PQ垂直，
所以kPQ＝2＝，解得x＝2.所以Q(2,3)．
8．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,4)，B(1,2)，C(－2,3)，则BC边上的高AD所在直线的斜率为________．
3　解析：直线BC的斜率为k＝＝－. 因为BC⊥AD，所以kBC·kAD＝－1，则kAD＝3.
9．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y－＝0，求分别满足下列条件的实数a，b的值．
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到直线l2的距离为1.
解：(1)因为l1⊥l2，
所以a(a－1)＋(－b)×1＝0，即a2－a－b＝0.①
又l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0.②
由①②得a＝2，b＝2.
(2)因为原点到l2：(a－1)x＋y－＝0的距离为1，所以d＝＝1，
解得a＝2或a＝0.
由l1∥l2，得a＝－b(a－1)．
当a＝0时，解得b＝0，此时直线l1不存在，不符合题意；
当a＝2时，解得b＝－2，所以a＝2，b＝－2.
10．直线l1：y＝mx＋1，l2：x＝－my＋1相交于点P，其中|m|≤1.
(1)求证：l1，l2分别过定点A，B，并求点A，B的坐标；
(2)求△ABP的面积S；
(3)m为何值时，S最大？
(1)证明：在直线l1的方程中，令x＝0，可得y＝1，则直线l1过定点A(0,1)；
在直线l2的方程中令y＝0，可得x＝1，则直线l2过定点B(1,0)．
(2)解：联立直线l1，l2的方程
解得
即点P.
|AP|＝
＝，
|BP|＝＝.
由题意可知l1⊥l2，所AP⊥BP.
因为－1≤m≤1，所以S＝|AP|·|BP|＝＝＝.
(3)解：因为S＝且－1≤m≤1，
因此，当m＝0时，S取得最大值，即Smax＝.

B组　新高考培优练
11．(多选题)如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．下列四个命题中正确的是(　　)

A．若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个
B．若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有无数个
C．若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有无数个
D．若p＝q，则点M的轨迹是一条过O点的直线
ABC　解析：若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，A正确．
若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(0，q)(q≠0)或(p,0)(p≠0)，因此l1，l2上除O的点都符合题意，因此满足条件的点有无数个，B正确．
若pq≠0，l1和l2所在平面内不在l1，l2上的点都符合题意，则“距离坐标”为(p，q)的点有无数个，C正确．
若p＝q，则点M的轨迹是两条过O点的直线，分别为交角的平分线所在直线，因此D不正确．
12．已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3，则＋的最小值为(　　)
A． B．
C．1 D．9
B　解析：因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0.设点Q(4,0)到动直线l的距离为d，当d＝|PQ|时取最大值，所以＝3，解得m＝0.所以a＋c＝2.则＋＝(a＋c)·＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时取等号．
13．若△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为______．
6x－5y－9＝0　解析：由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，可得kAC＝－2.
又A(5,1)，所以AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0.联立直线AC与直线CM的方程得解得所以顶点C的坐标为C(4,3)．
设B(x0，y0)，则AB的中点M为.
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0.
由B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0.
联立解得
所以顶点B的坐标为(－1，－3)．
于是直线BC的方程为y＋3＝(x＋1)，即6x－5y－9＝0.
14．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是________________．
6x－8y＋1＝0　解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b.将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b.所以b＝3－4k＋b，解得k＝.所以直线l的方程为y＝x＋b，直线l1的方程为y＝x＋＋b.取直线l上的一点P，则点P关于点(2,3)的对称点为，所以6－b－＝(4－m)＋b＋，解得b＝.
所以直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋1＝0.
15．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.
证明：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．
方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
所以解得
故直线经过的定点为M(2，－2)．
(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
所以M与Q不可能重合，即|PM|＝4，
所以|PQ|<4.