2022版高考数学一轮复习-课时规范练26-平面向量的数量积与平面向量的应用新人教A版.docx

2022版高考数学一轮复习 课时规范练26 平面向量的数量积与平面向量的应用新人教A版

2022版高考数学一轮复习 课时规范练26 平面向量的数量积与平面向量的应用新人教A版

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姓名：

课时规范练26　平面向量的数量积与平面向量的应用
基础巩固组
1.(2020山东鄄城一中高三月考)在梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥AB,AD=2,则BC·AD=(　　)

A.-1 B.1 C.2 D.2
2.(2019四川广元高三期末)在△ABC中,若(CA+CB)·BA=0,则△ABC是(　　)
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.钝角三角形
3.(2020黑龙江哈师大附中高三调研)已知向量a=(-2,m),b=(1,-2),c=(m+1,5),若a⊥b,则a与b+c的夹角为(　　)
A.π4 B.π3 C.2π3 D.3π4
4.(2020河南南阳中学高三月考)已知向量a=(1,2),A(6,4),B(4,3),b为向量AB在向量a上的投影向量,则|b|=(　　)
A.455 B.1 C.5 D.4
5.在△ABC中,若AB=(1,2),AC=(-x,2x)(x>0),则当BC最小时,∠ACB=(　　)
A.90° B.60°
C.45° D.30°
6.(多选)(2020山东高考预测卷)已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m<0),且向量b满足b·(a+b)=3,则(　　)
A.|b|=2
B.(2a+b)∥(a+2b)
C.向量2a-b与a-2b的夹角为π4
D.向量a在向量b上的投影向量的模为55
7.(多选)(2020海南中学高三期中)若△ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且3OA+4OB+5OC=0,则下列结论正确的是(　　)
A.∠BOC=90°
B.∠AOB=90°
C.OB·CA=-45
D.OC·AB=-15
8.在直角三角形ABC中,∠C=π2,AC=4,取点D,E,使BD=3DA,AB=4BE,那么CD·CA+CE·CA=　　　　　. 
9.(2020浙江舟山高三期中)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,|a-2b|=13,则a与b的夹角为　　　;a在b上的投影向量的模是　　　. 
10.(2020河南中原名校质检)在△ABC中,AB⊥AC,M是BC的中点.
(1)若|AB|=|AC|,求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值;
(2)若O是线段AM上任意一点,且|AB|=|AC|=2,求OA·OB+OC·OA的最小值.

11.(2020山东齐鲁备考联盟校阶段检测)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),c=(-1,0).
(1)求向量b+c的模的最大值;
(2)设α=π4,且a⊥(b+c),求cos β的值.

综合提升组
12.(多选)(2020湖北孝感一中考前诊测)已知e1,e2是两个单位向量,λ∈R,|e1+λe2|的最小值为32,则下列结论正确的是(　　)
A.e1,e2的夹角是π3
B.e1,e2的夹角是π3或2π3
C.|e1+e2|=1或3
D.|e1+e2|=1或32
13.(多选)(2020山东济南历城第二中学高三开学考试)点O在△ABC所在的平面内,则以下说法正确的有(　　)
A.若OA+OB+OC=0,则O为△ABC的重心
B.若OA·AC|AC|-AB|AB|=OB·BC|BC|-BA|BA|=0,则O为△ABC的垂心
C.若(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=0,则O为△ABC的外心
D.若OA·OB=OB·OC=OC·OA,则O为△ABC的内心
14.已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A,B两点,O为坐标原点,若AO·AB=32,则实数m=(　　)
A.±1 B.±32
C.±22 D.±12
15.(2020上海复兴高级中学高三调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AH为边BC上的高,有以下结论:①AC·AH|AH|=csin B;②BC·(AC-AB)=b2+c2-2bccos A;③AH·AC=AH2;④AH·(AB+BC)=AH·AB.其中结论正确的序号是　　　　. 
16.(2020甘肃武威第六中学高三段考)已知△ABC为等腰直角三角形,OA=1,OC为斜边上的高.

若P为线段OC的中点,则AP·OP=　　　　;若P为线段OC上的动点,则AP·OP的取值范围为　　　　. 
创新应用组
17.(2020重庆巴蜀中学高三月考)已知向量a=(2,0),向量b=(1,3),向量c满足|c-a-b|=3,则|c|的最大值为(　　)
A.233 B.23
C.3 D.33
18.(2020山东济南一中二模)已知向量a=(cos x,-1),b=3sin x,-12,函数f(x)=(a+b)·a-2.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知函数f(x)的图象经过点A,12,b,a,c成等差数列,且AB·AC=9,求a的值.

参考答案

课时规范练26　平面向量的数量
积与平面向量的应用
1.D　由题可知,因为四边形ABCD为直角梯形,所以BC在AD上的投影向量的模为2,
由数量积的几何意义可知BC·AD=(2)2=2,故选D.
2.C　设D为AB的中点,则CA+CB=2CD,∴2CD·BA=0,即CD·BA=0,
∴CD⊥AB,∴直线CD是线段AB的中垂线,∴△ABC为等腰三角形.故选C.
3.D　因为a⊥b,a=(-2,m),b=(1,-2),所以-2×1+(-2)×m=0,解得m=-1.
所以a=(-2,-1),c=(0,5),所以b+c=(1,3).设a与b+c的夹角为θ,则
cosθ=a·(b+c)|a||b+c|
=-2×1+(-1)×3(-2)2+(-1)2·12+32=-552=-22,因为θ∈[0,π],所以θ=3π4,故选D.
4.A　AB=(-2,-1),由题意知|b|=AB·a|a|=-2×1+(-1)×25=455.故选A.
5.A　∵BC=AC-AB=(-x-1,2x-2),
∴|BC|=(-x-1)2+(2x-2)2=5x2-6x+5.令y=5x2-6x+5,x>0,当x=35时,ymin=165,此时BC最小,
∴CA=35,-65,CB=85,45,CA·CB=35×85-65×45=0,
∴CA⊥CB,即∠ACB=90°,故选A.
6.AC　将a=(1,2),b=(m,1)代入b·(a+b)=3,得(m,1)·(1+m,3)=3,得m2+m=0,解得m=-1或m=0(舍去),所以b=(-1,1),所以|b|=(-1)2+12=2,故A正确;因为2a+b=(1,5),a+2b=(-1,4),1×4-(-1)×5=9≠0,所以2a+b与a+2b不平行,故B错误;设向量2a-b与a-2b的夹角为θ,因为2a-b=(3,3),a-2b=(3,0),所以cosθ=(2a-b)·(a-2b)|2a-b||a-2b|=22,所以θ=π4,故C正确;向量a在向量b上的投影向量的模为a·b|b|=12=22,故D错误.故选AC.
7.BD　由于△ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且3OA+4OB+5OC=0,
所以3OA+4OB=-5OC,两边平方并化简得25+24OA·OB=25,解得OA·OB=0;
3OA+5OC=-4OB,两边平方并化简得34+30OA·OC=16,解得OA·OC=-35;
4OB+5OC=-3OA,两边平方并化简得41+40OB·OC=9,解得OB·OC=-45.
所以∠BOC≠90°,故A错误;∠AOB=90°,故B正确;
OB·CA=OB·(OA-OC)=OB·OA-OB·OC=45,故C错误;
OC·AB=OC·(OB-OA)=OC·OB-OC·OA=-45--35=-15,故D正确.故选BD.
8.8　∵BD=3DA,∴CD-CB=3(CA-CD),化简得CD=34CA+14CB.
同理可得CE=-14CA+54CB.
∵∠C=π2,∴CA·CB=0,
∴CD·CA+CE·CA=CA·(CD+CE)=CA·12CA+32CB=12CA2+32CA·CB=12|CA|2=8.
9.3π4　22　设a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],则
|a-2b|=(a-2b)2=|a|2-2|a||2b|cosθ+|2b|2=13,
将|a|=1,|b|=2代入上式,化简可得1-42cosθ+8=13,解得cosθ=-22.∵θ∈[0,π],∴θ=3π4,即a与b的夹角为3π4.根据向量投影的定义可得,a在b上的投影向量的模为||a|cosθ|=22.
10.解(1)设向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角为θ,则cosθ=(AB+2AC)·(2AB+AC)|AB+2AC||2AB+AC|,
令|AB|=|AC|=a,则cosθ=2a2+2a25a·5a=45.
(2)∵|AB|=|AC|=2,∴|AM|=1.
设|OA|=x(0≤x≤1),
则|OM|=1-x.而OB+OC=2OM,
∴OA·OB+OC·OA=OA·(OB+OC)=2OA·OM=2|OA|·|OM|cosπ=2x2-2x=2x-122-12.
∴当x=12时,OA·OB+OC·OA取得最小值,最小值是-12.
11.解(1)b+c=(cosβ-1,sinβ),
则|b+c|2=(cosβ-1)2+sin2β=2(1-cosβ).
因为-1≤cosβ≤1,
所以0≤|b+c|2≤4,
即0≤|b+c|≤2.
当cosβ=-1时,有|b+c|=2,
所以向量b+c的模的最大值为2.
(2)若α=π4,则a=22,22.
又由b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0)得
a·(b+c)=22,22·(cosβ-1,sinβ)=22cosβ+22sinβ-22.
因为a⊥(b+c),所以a·(b+c)=0,
即cosβ+sinβ=1,所以sinβ=1-cosβ,
平方后化简得cosβ(cosβ-1)=0,
解得cosβ=0或cosβ=1.
经检验cosβ=0或cosβ=1即为所求.
12.BC　由题可知,(e1+λe2)2=λ2+2λe1·e2+1=(λ+e1·e2)2+1-(e1·e2)2≥1-(e1·e2)2.∵e1,e2是两个单位向量,且|e1+λe2|的最小值为32,∴(e1+λe2)2的最小值为34,则1-(e1·e2)2=34,解得cos<e1,e2>=±12,∴e1与e2的夹角为π3或2π3,∴|e1+e2|2=1+2e1·e2+1=2±2×12=1或3,∴|e1+e2|=1或3.故选BC.
13.AC　对于A,设D为BC的中点,由于OA=-(OB+OC)=-2OD,所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D),所以O为△ABC的重心,故A正确;
对于B,向量AC|AC|,AB|AB|分别表示与AC,AB方向相同的单位向量,设为AC'和AB',则它们的差是向量B'C',则当OA·AC|AC|-AB|AB|=0,即OA⊥B'C'时,点O在∠BAC的平分线上,同理由OB·BC|BC|-BA|BA|=0,知点O在∠ABC的平分线上,故O为△ABC的内心,故B错误;
对于C,OA+OB是以OA,OB为邻边的平行四边形的一条对角线,而AB是该平行四边形的另一条对角线,AB·(OA+OB)=0表示这个平行四边形是菱形,即OA=OB,同理有OB=OC,于是O为△ABC的外心,故C正确;
对于D,由OA·OB=OB·OC得OA·OB-OB·OC=0,
∴OB·(OA-OC)=0,即OB·CA=0,∴OB⊥CA.同理可证OA⊥CB,OC⊥AB.
∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即O是△ABC的垂心,故D错误.故选AC.
14.C　联立y=x+m,x2+y2=1,消y可得2x2+2mx+m2-1=0.由题意知Δ=-2m2+8>0,解得-2<m<2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-m,x1x2=m2-12,
y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2,
∴AO=(-x1,-y1),AB=(x2-x1,y2-y1).∵AO·AB=32,
∴AO·AB=x12-x1x2+y12-y1y2=1-m2-12-m2-12+m2-m2=2-m2=32,解得m=±22.故选C.
15.①②③④　∵AH为边BC上的高,∴AB·AH=AC·AH=|AH|2,
∴①AC·AH|AH|=|AH|2|AH|=|AH|=csinB,正确;
②BC·(AC-AB)=BC·BC=a2=b2+c2-2bccosA,正确;
③AH·AC=AH2,正确;
④AH·(AB+BC)=AH·AC=|AH|2=AH·AB,正确.
16.14　[0,1]　△ABC为等腰直角三角形,CO为斜边上的高,
则CO为边AB上的中线,所以AC=BC=2,AO=BO=CO=1.
当P为线段OC的中点时,在△ACO中,AP为边CO上的中线,
则AP=12(AC+AO),
所以AP·OP=12(AC+AO)·OP=12(AC·OP+AO·OP)
=12|AC|·|OP|cos45°+0=12×2×12×22=14.
当P为线段OC上的动点时,设OP=λOC,0≤λ≤1,
AP·OP=(AC+CP)·OP=AC·OP+CP·OP
=λOC·AC-(1-λ)OC·(λOC)
=λ×1×2×22-(1-λ)·λ=λ-λ+λ2=λ2∈[0,1],
所以AP·OP的取值范围为[0,1].
17.D　设c=(x,y),∵a=(2,0),b=(1,3),∴c-a-b=(x-3,y-3),故|c-a-b|=(x-3)2+(y-3)2=3,即(x-3)2+(y-3)2=3,
将c的起点放到坐标原点,则终点在以(3,3)为圆心,3为半径的圆上.
∴|c|的最大值即圆心到原点的距离加半径,即9+3+3=33,故选D.
18.解(1)∵f(x)=(a+b)·a-2=|a|2+a·b-2=cos2x+1+3sinxcosx+12-2=12(cos2x+1)+1+32sin2x-32=12cos2x+32sin2x=sin2x+π6,∴f(x)的最小正周期T=2π2=π.
由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z),
∴f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6(k∈Z).
(2)由f(A)=sin2A+π6=12,
得2A+π6=π6+2kπ或2A+π6=5π6+2kπ(k∈Z),又0<A<π,∴A=π3.
∵b,a,c成等差数列,∴2a=b+c.
∵AB·AC=bccosA=12bc=9,
∴bc=18.
由余弦定理,得cosA=(b+c)2-a22bc-1=4a2-a236-1=a212-1=12,∴a=32(负值舍去).