学年高中数学北师大版必修二练习：2章解析几何初步综合能力检测.docx

20142015学年高中数学北师大版必修二练习：2章解析几何初步综合能力检测
20142015学年高中数学北师大版必修二练习：2章解析几何初步综合能力检测

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第二章综合能力检测
本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共50分）
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． 若直线l的倾斜角是直线y＝x－3的倾斜角的两倍，且经过点(2,4）,则直线l的方程为（　　)
A．y＝2x　　　　　　　 B．x＝4
C．x＝2 D．y＝2x－3
［答案]　C
[解析］　直线y＝x－3的斜率为1，其倾斜角等于45°，于是直线l的倾斜角等于90°，其斜率不存在,又因为它过点（2，4），故l的方程为x＝2。
2．若点P（3，4）和点Q(a,b)关于直线x－y－1＝0对称，则(　　）
A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1
C．a＝4，b＝3 D．a＝5，b＝2
[答案］　D
[解析］　由解得
3．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)
A．a〈－2 B．－<a<0
C．－2<a<0 D．－2<a<
［答案］　D
[解析］　由D2＋E2－4F>0,得
a2＋（2a）2－4(2a2＋a－1）>0,
解得－2<a<。
4．若直线（1＋a）x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为(　　）
A．1，－1 B．2，－2
C．1 D．－1
[答案］　D
[解析］　将圆x2＋y2－2x＝0的方程化为标准式
(x－1)2＋y2＝1，∴其圆心为（1,0)，半径为1.
若直线（1＋a）x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d等于圆的半径r，
∴＝1，∴a＝－1。
5．已知A（2，5,－6),点P在y轴上,|PA|＝7，则点P的坐标是(　　）
A．（0，8，0） B．(0,2,0）
C．（0,8，0)或(0,2，0) D．(0，－8,0)
[答案］　C
［解析]　点P在y轴上，可设为(0，y,0），
因为|PA｜＝7，A（2,5，－6)，
所以＝7，
解得y＝2或8。故选C。
6．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于(　　)
A．3 B．2
C． D．1
[答案]　B
[解析］　本题考查了直线与圆位置关系处理方法，弦长等知识，如图所示．

设AB的中点为D,则OD⊥AB,由点到直线距离公式得|OD｜＝＝1。
∴AD2＝OA2－OD2＝4－1＝3，∴|AD｜＝，
∴弦长｜AB|＝2。
7． 已知A＝｛（x,y）｜x2＋y2＝1｝，B＝｛(x，y)｜（x－5）2＋（y－5）2＝4}，则A∩B等于（　　）
A．∅ B．｛（0,0）}
C．｛（5,5)｝ D．｛(0,0），（5，5)｝
［答案]　A
［解析］　集合A是圆O：x2＋y2＝1上所有点组成的，集合B是圆C：（x－5)2＋（y－5）2＝4上所有点组成的．又O(0,0)，r1＝1,C（5，5），r2＝2，|OC|＝5，
∴|OC｜>r1＋r2＝3.
∴圆O和圆C相离，无公共点．∴A∩B＝∅。
8．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k＝(　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案］　A
[解析］　由得（1＋k2）x2＋2kx＝0,
∵两交点恰好关于y轴对称，∴－＝0，∴k＝0.
9．从原点向圆x2＋y2－6x＋＝0作两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为(　　)
A．π B．π
C．π D．π
[答案]　B
[解析]　如图所示，数形结合，圆心C（3,0)

半径r＝，在Rt△OCA中，OC＝3,CA＝，
∴∠OCA＝60°
从而∠ACB＝120°，劣弧AB长l＝×＝π。
10．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　）
A．10 B．20
C．30 D．40
［答案］　B
［解析］　考题分析：本题考查圆的相关知识．
圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0得圆心（3，4),半径为5。
由题意知，AC为圆的直径且BD⊥AC，
∴|BD|＝2＝4，|AC｜＝10.
∴S四边形ABCD＝×4×10＝20,故选B.
第Ⅱ卷(非选择题　共100分）
二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)
11．直线l过点(－5，－10)且在圆x2＋y2＝25上截得的弦长为5，则直线l的方程为________________．
[答案］　x－y－5＝0或7x－y＋25＝0
［解析]　若直线l的斜率不存在，则其直线方程为x＝－5，此时直线l与圆相切,不符合题意．
故设直线l的斜率为k，
其方程为y＋10＝k(x＋5）,即kx－y＋5k－10＝0
由（)2＋（)2＝25可得k＝1或k＝7。
即x－y－5＝0或7x－y＋25＝0为所求．
12．光线从点M(3，－2)照射到y轴上一点P（0，1）后，被y轴反射，则反射光线所在的直线方程为________．
[答案]　x－y＋1＝0
［解析]　点M(3，－2）关于y轴的对称点为M′（－3，－2），故反射光线所在的直线方程为直线M′P，其方程为y－1＝x＝x,即x－y＋1＝0。
13．若圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心C到直线l的距离为2，且l与直线3x＋4y－1＝0平行,则直线l的方程为________．
［答案]　3x＋4y＋5＝0或3x＋4y－15＝0
[解析]　圆心为（－1,2)．设所求的直线方程为3x＋4y＋D＝0（D≠－1)，由点到直线的距离公式，得＝2,即＝2,解得D＝5或－15.故所求的直线方程为3x＋4y＋5＝0或3x＋4y－15＝0。
14．以点A（2，－1)为圆心，在直线3x－4y＋10＝0上截得的弦长为6的圆的一般方程是________．
[答案]　x2＋y2－4x＋2y－20＝0
［解析］　点A到直线的距离d＝＝4。
又弦长为6，∴圆的半径为5。
故所求圆的方程为（x－2）2＋(y＋1)2＝25，
即x2＋y2－4x＋2y－20＝0。
15．已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上,直线l∶y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为________．
[答案］　(x－3)2＋y2＝4
［解析］　设圆心C(a,0），由已知a>0作CD⊥AB，则由｜AB｜＝2⇒AD＝，｜CD|＝。

|CA|＝｜a－1|，
由勾股定理得:()2＋（)2＝(｜a－1｜）2
⇒a＝3或a＝－1，
又a〉0，∴a＝3,∴r＝3－1＝2，
∴⊙C的方程为(x－3）2＋y2＝4。
三、解答题(本大题共6个小题,满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．(本小题满分12分）设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0（a∈R）．
(1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围．
［解析］　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，当然相等．
则（a＋1)×0＋0＋2－a＝0，
∴a＝2，方程即3x＋y＝0;
若a≠2，由题设l在两轴上的截距存在，
∴＝a－2，即a＋1＝1，
∴a＝0,方程即x＋y＋2＝0。
∴l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0。
（2）将l的方程化为y＝－（a＋1）x＋a－2，
∴欲使l不经过第二象限,当且仅当
，∴a≤－1。
综上可知，a的取值范围是a≤－1.
17．(本小题满分12分)一束光线l自A(－3，3)发出,射到x轴上，被x轴反射后与圆C:x2＋y2－4x－4y＋7＝0有公共点．求：
（1）反射光线通过圆心C时,光线l所在直线的方程;
（2）在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围．
[解析］　圆C的方程可化为（x－2)2＋(y－2）2＝1。
（1)圆心C关于x轴的对称点为C′(2，－2)，过点A,C′的直线方程为x＋y＝0，此即为光线l所在直线的方程．
(2)点A关于x轴的对称点为A′（－3，－3),设过点A′的直线为y＋3＝k（x＋3)．当该直线与圆C相切时，有＝1，解得k＝或k＝。所以过点A′的圆C的两条切线方程分别为y＋3＝（x＋3），y＋3＝(x＋3)．分别令y＝0,得x1＝－，x2＝1，所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[－,1]．
18．（本小题满分12分）已知圆C的圆心在直线x－3y＝0上,且圆C与y轴相切，若圆C截直线y＝x得弦长为2,求圆C的方程．
[解析]　设C(a，b）,半径为r>0,点C在x－3y＝0上，
∴a－3b＝0，
又C与y轴相切,
∴r＝|a｜，
又圆C在y＝x上截弦长为2，
则圆心到y＝x的距离d＝,
∴
∴或
∴圆C方程为（x－3）2＋（y－1）2＝9，
或(x＋3)2＋（y＋1）2＝9.
19．(本小题满分12分)(1）已知直线l：x－y＋1＝0,求l关于x轴对称的直线方程;
（2）已知圆M：x2＋y2＝4,求过点P(2,4）与圆M相切的切线方程．
［解析]　（1）方法一：∵所求直线与l关于x轴对称,
又k1＝，
∴所求直线斜率为－.
∵直线l与x轴交于点，
∴所求直线为y＝－，
即x＋y＋1＝0。
方法二：在直线l上取两点（0，1），（，4)，
∵所求直线与l关于x轴对称，
∴点(0，－1)和(，－4）在所求直线上．
∴所求直线的斜率为k＝－,
∴所求直线为y＋1＝－x,
即x＋y＋1＝0。
（2)∵点P（2,4）不在圆O上，
∴可设切线PT为y＝k(x－2）＋4，
∵d＝r，∴＝2,解得k＝.
∴y＝（x－2)＋4，即3x－4y＋10＝0.
∵过圆外一点作圆的切线应该有两条，
∴另一条直线的斜率不存在，易求另一条切线为x＝2.
20．(本小题满分13分)直线y＝kx与圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0相交于两个不同点A，B，当k取不同的实数值时,求AB中点的轨迹．
[解析］　方法一：联立方程，得

消去y,得(1＋k2）x2－(6＋4k）x＋10＝0.
设此方程的两根为x1，x2，AB的中点坐标为P(x，y），
由根与系数的关系和中点坐标公式得
x＝＝＝，①
又∵P点在直线y＝kx上,
∴y＝kx，即k＝.②
将②代入①，得x＝(x≠0），

整理得x2＋y2－3x－2y＝0.
∵点P始终在圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0的内部，
∴点P的轨迹是圆x2＋y2－3x－2y＝0位于圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0内的部分弧．
方法二：∵直线y＝kx过坐标原点，圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0的圆心为C(3,2），
设AB的中点为M，则MC⊥AB，
∴点M在以OC为直径的圆上，
此圆的圆心为(，1），半径为，
其方程为（x－）2＋(y－1)2＝，
即x2＋y2－3x－2y＝0.
又∵点M在圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0的内部，
∴轨迹是圆x2＋y2－3x－2y＝0位于圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0内的部分弧．
21．（本小题满分14分）已知点P（2，0)及圆C：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0。
（1）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程．
（2)设过点P的直线l1与圆C交于M，N两点,当|MN|＝4时,求以线段MN为直径的圆Q的方程．
（3）设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a,使得过点P（2,0）的直线l2垂直平分弦
AB？若存在,求出实数a的值;若不存在，请说明理由．
［解析］　(1）直线l斜率存在时，设直线l的斜率为k，则方程为y－0＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.
又圆C的圆心为（3，－2),半径r＝3，由＝1，解得k＝－.
所以直线方程为y＝－(x－2）,即3x＋4y－6＝0。
当l的斜率不存在时,l的方程为x＝2，经验证x＝2也满足条件．
即直线l的方程为3x＋4y－6＝0或x＝2.
（2）由于｜CP｜＝,而弦心距d＝＝，
所以d＝｜CP｜＝.
所以P恰为MN的中点．
故以MN为直径的圆Q的方程为（x－2)2＋y2＝4.
（3)把直线y＝ax＋1代入圆C的方程，消去y,整理得(a2＋1）x2＋6(a－1）x＋9＝0.
由于直线ax－y＋1＝0交圆C于A，B两点,
故Δ＝36(a－1）2－36(a2＋1)〉0，
即－2a〉0，解得a<0。
则实数a的取值范围是（－∞,0）．
设符合条件的实数a存在,
由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3，－2）必在l2上．所以l2的斜率kPC＝－2,而kAB＝a＝－，
所以a＝.由于∉（－∞，0)，
故不存在实数a，使得过点P(2，0)的直线l2垂直平分弦AB.