2022高考数学一轮复习-课时规范练61-离散型随机变量及其分布列北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 课时规范练61 离散型随机变量及其分布列北师大版

2022高考数学一轮复习 课时规范练61 离散型随机变量及其分布列北师大版

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课时规范练61　离散型随机变量及其分布列
基础巩固组
1.一串钥匙有5把,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数ξ的最大值为(　　)
A.5 B.2 C.3 D.4
2.(2020山东菏泽一中高三月考)一工厂生产的100个产品中有90个一等品,10个二等品,现从这批产品中抽取4个,则其中恰好有一个二等品的概率为(　　)
A.1-C904C1004 B.C100C904+C101C903C1004
C.C101C1004 D.C101C903C1004
3.已知随机变量X的分布列为
X
-2
-1
0
1
2
3
P
112
312
412
112
212
112

若P(X2<x)=1112,则实数x的取值范围是(　　)
A.4≤x≤9 B.4<x≤9
C.4≤x<9 D.4<x<9
4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数,则P(ξ≤1)等于(　　)
A.15 B.25 C.35 D.45
5.

(2020河南洛阳高三模拟)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某地一景区2020年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示.
(1)求这组数据的平均数,并求从这10天中随机抽取一天,空气质量为超标的概率;
(2)环保部门计划从这10天中随机选取3天,作为该市空气质量的参考指标,记X表示抽到“空气质量超标”的天数,求X的分布列及数学期望.

综合提升组
6.一只袋内装有m个白球、n-m个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了ξ个白球,下列概率等于(n-m)Am2An3的是(　　)
A.P(ξ=3) B.P(ξ≥2)
C.P(ξ≤3) D.P(ξ=2)
7.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设ξ为取出的4个球中红球的个数,则P(ξ=2)=　　　　　. 
8.(2020北京房山高三期末)某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下,充分利用自身资源,大力发展种茶业.该县农科所为了对比A,B两种不同品种茶树的产量,在试验田上分别种植了A,B两种茶树各20亩,所得亩产数据(单位:千克)如下:
A:41.3,47.3,48.1,49.2,51.2,51.3,52.7,53.3,54.2,55.3,56.4,57.6,58.9,59.3,59.6,59.7,60.6,60.7,61.1,62.2;
B:46.3,48.2,48.3,48.9,49.2,50.1,50.2,50.3,50.7,51.5,52.3,52.5,52.6,52.7,53.4,54.9,55.6,56.7,56.9,58.7.
(1)从A,B两种茶树亩产数据中各任取1个,求这两个数据都不低于55的概率;
(2)从B品种茶树的亩产数据中任取2个,记这两个数据中不低于55的个数为X,求X的分布列及数学期望.

9.某中学校本课程开设了A,B,C,D共4门选修课,每个学生必须且只能选修1门选修课,现有该校的甲、乙、丙3名学生:
(1)求这3名学生选修课所有选法的总数;
(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率;
(3)求A选修课被这3名学生选择的人数ξ的分布列.

创新应用组
10.(2020广东佛山高三检测)某商场为回馈消费者,将对单次消费满100元的顾客进行抽奖活动.为了增加抽奖的趣味性,按如下的游戏规则进行,在如图所示的数轴上,点O处有一个棋子,顾客有两次游戏机会,在每次游戏中,顾客可抛掷两粒骰子,若两粒骰子的点数之和超过9时,棋子向前(右)进一位;若两粒骰子的点数之和小于5时,棋子向后(左)走一位;若两粒骰子点数之和为5到9时,则原地不动,设棋子经过两次游戏后所在的位置为X,若|X|=2,则该顾客获得价值100元的一等奖;若|X|=1,则该顾客获得价值10元的二等奖;若|X|=0,则该顾客不得奖.

(1)分别求在一次游戏中棋子前进、后退以及原地不动时的概率;
(2)求参与游戏的顾客能够获得的奖品价值的分布列以及数学期望.

11.某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50,100)内,设考试分数x的分布频率是f(x)且f(x)=n10-0.4,10n≤x<10(n+1),n=5,6,7,-n5+b,10n≤x<10(n+1),n=8,9.考试成绩采用“5分制”,规定:考试分数在[50,60)内的成绩记为1分,考试分数在[60,70)内的成绩记为2分,考试分数在[70,80)内的成绩记为3分,考试分数在[80,90)内的成绩记为4分,考试分数在[90,100)内的成绩记为5分.在50名学生中用分层抽样的方法,从成绩为1分、2分及3分的学生中随机抽出6人,再从这6人中随机抽出3人,记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).
(1)求b的值,并估计该班的考试平均分数;
(2)求P(ξ=7);
(3)求ξ的分布列.

参考答案

课时规范练61　离散型随
机变量及其分布列
1.D　由于不能打开的钥匙会扔掉,故扔掉4把打不开的钥匙后,第5把钥匙就是能开锁的钥匙,ξ的最大值为4,故选D.
2.D　由超几何分布的概率公式可知,所求概率为C903C101C1004.
3.B　由随机变量X的分布列知X2的可能取值为0,1,4,9,
且P(X2=0)=412,
P(X2=1)=312+112=412,
P(X2=4)=112+212=312,
P(X2=9)=112,
∵P(X2<x)=1112=412+412+312,
∴实数x的取值范围是4<x≤9.故选B.
4.D　P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-C41C22C63=45.
5.解(1)这组数据的平均数为22+23+30+43+62+65+76+78+79+8210=56.
由茎叶图得10天中,“空气质量超标”的天数有4天,
从这10天中随机抽取一天,空气质量超标的概率为410=25;
(2)“空气质量超标”的天数有4天,从这10天中随机选取3天,记X表示抽到“空气质量超标”的天数,则X的可能取值为0,1,2,3,则
P(X=0)=C63C103=16,
P(X=1)=C41C62C103=12,
P(X=2)=C42C61C103=310,
P(X=3)=C43C103=130,
所以,随机变量X的分布列如下表所示:
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130

随机变量X的数学期望为EX=0×16+1×12+2×310+3×130=65.
6.D　依题意知,(n-m)Am2An3是取了3次,所以取出白球应为两个.故选D.
7.310　P(ξ=2)=C32·C22+C31·C21·C41C42·C62=2790=310.
8.解(1)从A种茶树亩产数据中任取一个,不低于55的有11个,从B种茶树亩产数据中任取一个,不低于55的有4个,
设“所取两个数据都不低于55”为事件A,则P(A)=1120×420=11100.
(2)X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=C162C40C202=6095=1219,
P(X=1)=C161C41C202=3295,
P(X=2)=C160C42C202=395,
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
1219
3295
395

∴期望EX=0×1219+1×3295+2×395=25.
9.解(1)每个学生有四个不同选择,根据乘法法则,选法总数N=4×4×4=64.
(2)恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为P2=C42C32A2243=2×3×3×24×4×4=916.
(3)设A选修课被这3名学生选择的人数为ξ,则ξ=0,1,2,3,P(ξ=0)=3343=2764,P(ξ=1)=C31·3243=2764,P(ξ=2)=3·C3143=964,P(ξ=3)=C3343=164,所以A选修课被这3名学生选择的人数ξ的分布列为
X
0
1
2
3
P
2764
2764
964
164
10.解(1)如图,

1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12

抛掷两粒骰子所产生的结果共有36种;其中点数之和小于5的结果共有6种;
点数之和为5到9的结果共有24种;其中点数之和超过9的结果共有6种;
记前进一格为事件A,后退一格为事件B,原地不动为事件C,根据古典概型的定义可得P(A)=636=16,P(B)=636=16,P(C)=2436=23;
(2)设顾客获得奖品的价值为Y,据题意可得:
当两次游戏均前进或均后退时,|X|=2,即可知P(Y=100)=P(|X|=2)=P(A)P(A)+P(B)P(B)=118;
当两次游戏均原地不动或前后移动各一次时,|X|=0,即可知P(Y=0)=P(|X|=0)=P(C)P(C)+2P(A)P(B)=12;
根据对立事件可得P(Y=10)=P(|X|=1)=1-P(|X|=0)-P(|X|=2)=49.
由上可得Y的分布列如下表:
Y
0
10
100
P
12
49
118

由此可得,Y的数学期望为EY=0×12+10×49+100×118=10.
11.解(1)因为f(x)=
n10-0.4,10n≤x<10(n+1),n=5,6,7,-n5+b,10n≤x<10(n+1),n=8,9,
所以510-0.4+610-0.4+710-0.4+-85+b+-95+b=1,所以b=1.9.
估计该班的考试平均分数为
510-0.4×55+610-0.4×65+710-0.4×75+-85+1.9×85+-95+1.9×95=76.
(2)按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分,2分,3分的学生中抽出1人,2人,3人,再从这6人中抽出3人,所以P(ξ=7)=C32C11+C31C22C63=310.
(3)因为ξ的可能取值为5,6,7,8,9,所以P(ξ=5)=C11C22C63=120,P(ξ=6)=C11C21C31C63=310,P(ξ=7)=310,
P(ξ=8)=C32C21C63=310,P(ξ=9)=C33C63=120.故ξ的分布列为
ξ
5
6
7
8
9
P
120
310
310
310
120