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2021高考数学二轮复习专题练 一、核心素养引领 类型二 用数学的思维分析世界—逻辑推理、数学运算

2021高考数学二轮复习专题练 一、核心素养引领 类型二 用数学的思维分析世界—逻辑推理、数学运算

年级：
姓名：

类型二　用数学的思维分析世界——逻辑推理、数学运算
素养3　逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.具体表现：(1)发现和提出命题；(2)掌握推理的基本形式和规则；(3)探索和表述论证的过程；(4)构建命题体系；(5)表达与交流.
【例3】 (多选题)(2020·新高考山东、海南卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
A.a2＋b2≥ B.2a－b>
C.log2a＋log2b≥－2 D.＋≤
解析　因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤.
对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确；
对于B，2a－b＝22a－1＝×22a，
因为a>0，所以22a>1，即2a－b>，故B正确；
对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2，故C错误；
对于D，由(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，得＋≤，故D正确.
综上可知，正确的选项为ABD.
答案　ABD
【训练3】 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则(　　)
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
解析　由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“一人优秀，一人良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩；丁看甲的成绩，由于乙与丙一人优秀，一人良好，则甲与丁也是一人优秀，一人良好，丁由甲的成绩可判断自身成绩.
答案　D
素养4　数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题.具体表现：(1)理解运算对象；(2)掌握运算法则；(3)探究运算思想；(4)设计运算程序.
【例4】 (2020·浙江卷)已知tan θ＝2，则cos 2θ＝________，tan＝__________.
解析　由题意，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ
＝＝＝＝－.
tan＝＝＝＝.
答案　－　
【训练4】 (2020·武汉模拟)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).

(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值.
证明　(1)依题意可设AB方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，
直线AO的方程为y＝x；BD的方程为x＝x2.
解得交点D的坐标为
注意到x1x2＝－8及x＝4y1，
则有y＝＝＝－2，
因此D点在定直线y＝－2(x≠0)上.
(2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，
即x2－4ax－4b＝0，
由Δ＝0得(－4a)2＋16b＝0，
化简整理得b＝－a2.
故切线l的方程可写为y＝ax－a2.
分别令y＝2、y＝－2得N1、N2的坐标为
N1(＋a，2)，N2(－＋a，－2)，
则|MN2|2－|MN1|2＝(－a)2＋42－(＋a)2＝8，
即|MN2|2－|MN1|2为定值8.