近世代数复习题(1).doc

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近世代数复习思考题
一、基本概念与基本常识的记忆
（一）填空题
1.剩余类加群Z12有_________个生成元.
2、设群G的元a的阶是n，则ak的阶是________.
3. 6阶循环群有_________个子群.
4、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为———。
5. 模8的剩余类环Z8的子环有_________个.
6.整数环Z的理想有_________个.
7、n次对称群Sn的阶是——————。
8、9-置换分解为互不相交的循环之积是————。
9.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________.
10. 中的所有可逆元是：__________________________.
11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。
12. 设为循环群，那么（1）若的阶为无限，则同构于___________，（2）若的阶为n，则同构于____________。
13. 在整数环中，=__________________；
14、n次对称群Sn的阶是_____.
15. 设为群的子群，则是群的子群的充分必要条件为___________。
16、除环的理想共有____________个。
17. 剩余类环Z5的零因子个数等于__________.
18、在整数环Z中，由｛2，3｝生成的理想是_________.
19. 剩余类环Z7的可逆元有__________个.
20、设Z11是整数模11的剩余类环，则Z11的特征是_________.
21. 整环I={所有复数a+bi(a,b是整数)}，则I的单位是__________.
22. 剩余类环Zn是域n是_________.
23、设Z7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________.
24. 设为群，，若，则_______________。
25、设群G=｛e，a1，a2，…，an-1｝，运算为乘法，e为G的单位元，则a1n =___.
26. 设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个.
27、整数环Z的商域是________.
28. 整数加群Z有__________个生成元.
29、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是————————。
30. 已知为上的元素，则＝__________。31. 每一个有限群都与一个__________群同构。
32、设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是——————。
二、基本概念的理解与掌握。
（二）选择题
1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ ）个元素。
A.2 B.5 C.7 D.10
2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射
：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ ）
A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射
3.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ ）个。
A.2 B.4 C.6 D.8
4、G是12阶的有限群，H是G的子群，则H的阶可能是( )
A 5； B 6； C 7； D 9.
5、下面的集合与运算构成群的是 ( )
A {0，1}，运算为普通的乘法；B {0，1}，运算为普通的加法;
C {-1，1}，运算为普通的乘法； D {-1，1}，运算为普通的加法;
6、关于整环的叙述，下列正确的是 ( )
A 左、右消去律都成立； B 左、右消去律都不成立;
C 每个非零元都有逆元； D 每个非零元都没有逆元;
7、关于理想的叙述，下列不正确的是 ( )
A 在环的同态满射下，理想的象是理想;B 在环的同态满射下，理想的逆象是理想;C 除环只有两个理想，即零理想和单位理想D 环的最大理想就是该环本身.
8.整数环Z中，可逆元的个数是( )。
A.1个 B.2个 C.4个 D.无限个
9. 设M2(R)= a,b,c,d∈R，R为实数域按矩阵的加法和
乘法构成R上的二阶方阵环，那么这个方阵环是( )。
A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环
C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环
10. 设Z是整数集，σ(a)= ，，则σ是R的( ).
A. 满射变换 B. 单射变换 C. 一一变换 D. 不是R的变换
11、设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集 的同态满射的是(       ).
A、x→10x B、x→2x C、x→|x| D、x→-x .
12、设是正整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（ ）
A、不适合交换律 B、不适合结合律 C、存在单位元 D、每个元都有逆元.
13.设={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则 中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是(       )
A、1  B、2   C、3 D、4.
14、设为群，其中G是实数集，而乘法，这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是（ ）
A、0和； B、1和0； C、和； D、和
15、设是有限群的子群，且有左陪集分类。如果6,那么的阶（ ）
A、6 B、24 C、10 D、12
16.整数环Z中，可逆元的个数是(      ).
A、1个 B、2个 C、4个  D、无限个。
17、设是环同态满射，，那么下列错误的结论为（ ）
A、若是零元，则是零元 B、若是单位元，则是单位元
C、若不是零因子，则不是零因子 D、若是不交换的，则不交换
18、下列正确的命题是（ ）
A、欧氏环一定是唯一分解环 B、主理想环必是欧氏环
C、唯一分解环必是主理想环 D、唯一分解环必是欧氏环
19. 下列法则，哪个是集A的代数运算( ).
A. A=N, ab=a+b-2 B. A=Z,ab=
C. A=Q, ab= D. A=R, ab=a+b+ab
20. 设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是( ).
A. x→-x B. x→ C. x→ D. x→5x
21. 在3次对称群S3中，阶为3的元有( ).
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
22．剩余类环Z6的子环有( ).
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
23、设和都是群中的元素且，那么（ ）
A.； B.； C.； D.。
24、设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）
A.的同态核是的不变子群;
B.的不变子群的象是的不变子群。
C.的子群的象是的子群；
D.的不变子群的逆象是的不变子群；
25、设是群的子群，且有左陪集分类。如果6，那么的阶（ ）
A.6； B.24； C.10； D.12。
（三）判断题（每小题2分，共12分）
1、设、、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。（ ）
2、除环中的每一个元都有逆元。（ ）
3、如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。（ ）
4、如果群的子群是循环群，那么也是循环群。（ ）
5、域是交换的除环。（ ）
6、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子。（ ）
7、设f：是群到群的同态满射，a∈，则a与f (a)的阶相同。（ ）
8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。（ ）
9、循环群的子群也是循环群。（ ）
10、整环I中的两个元素a，b满足a整除b且b整除a，则a＝b。（ ）
11、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。（ ）
12、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。（ ）
13、如果环的阶，那么的单位元。（ ）
14、指数为2的子群不是不变子群。（ ）
15、在整数环中，只有±1才是单位，因此在整数环中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。（ ）
16、两个单位和的乘积也是一个单位。（ ）
17、环中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元。（ ）
18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元和单位都不能唯一分解。（ ）
19、整环必是唯一分解环。（ ）
20、在唯一分解环中，是中的素元当且仅当是中的不可约元。（ ）
21、设是唯一分解环，则中任意二个元素的最大公因子都存在，且任意二个最大公因子相伴。（ ）
22、整数环和环都是主理想环。（ ）
23、是主理想环当且仅当是唯一分解环。（ ）
24、整数环、数域上的一元多项式环和Gauss整环都是欧氏环。（ ）
25、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。反之亦然。（ ）
26、欧氏环主理想环唯一分解环有单位元的整环。（ ）
27、设环的加法群是循环群,那么环R必是交换环. （ ）
28、对于环R,若是的左零因子,则必同时是的右零因子. （ ）
29、剩余类是无零因子环的充分必要条件是为素数. （ ）
30、整数环是无零因子环，但它不是除环。（ ）
31、是的子域. （ ）
32、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。（ ）
33、理想必是子环,但子环未必是理想. （ ）
34、群的一个子群元素个数与的每一个左陪集的个数相等. （ ）
35、有限群中每个元素的阶都整除群的阶。（ ）
三、基本方法与技能掌握。
（四）计算题
1．设 为整数加群, ,求
解     在 Z中的陪集有:
, , ,
, ,
所以, .
2、找出的所有子群。
解：S3显然有以下子群：
本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}；
（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}；
（（123））={（123），（132），（1）}
若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。这个子群也必然是S3。
用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。
3．求 的所有子群。
解 的子群有
       ;
       ;
       ;
       ;
       ;
       .
4． 将 表为对换的乘积.
解 .
   容易验证: (4 2)(2 6)(1 2)(1 3)(2 7)(1 2).
5． 设按顺序排列的13张红心纸牌
A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K
经一次洗牌后牌的顺序变为
3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9
问: 再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?
解 每洗一次牌, 就相当于对牌的顺序进行一次新的置换. 由题意知, 第一次洗牌所对应的置换为

则3次同样方式的洗牌所对应的置换为

6． 在 中, 计算:(1) ;(2) ; (3) ; (4) .
解 (1) ;
    (2) ;
   (3) ;
    (4) .
7．试求高斯整环 的单位。
解 设 () 为 的单位, 则存在 , 使得 , 于是

因为 , 所以 . 从而 , , 或 . 因此可能的单位只有

显然它们都是 的单位. 所以 恰有四个单位:
8． 试求中的所有零因子与可逆元, 并确定每个可逆元的逆元素.
解 由定理可知:
    (1) 为 的全部零因子.
    (2) 为 的全部可逆元. 直接计算可知, 相应的逆元为
,  ,  ,  .
9、找出模6的剩余类环的所有理想。
解：R={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}。
若I是R的一个理想，那么I一定是加群R的一个子群。但加群R是循环群，所以它的子群一定也是循环群，
我们有
G1=（[0]）={[0]}
G2=（[1]）=（[5]）=R
G3=（[2]）=（[4]）={[0]，[2]，[4]}
G4=（[3]）={[0]，[3]}
易见，G1，G2，G3，G4都是R的理想，因而是R的所有理想。
10． 在 中, 解下列线性方程组:

解:

即 , .
11．求 的所有子环.
解 设 为 的任一子环, 则 是 的子加群, 而 为有限阶循环群, 从而 也是循环群, 且存在 , , 使得 . 的可能取值为1, 2, 3, 6, 9, 12。相应的子加群为
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    .
直接验证可知, 以上六个子加群都关于剩余类的乘法封闭, 所以它们都是 的子环. 于是 恰有6个子环:

12. 试求 的所有理想.
解 设 为 的任意理想, 则 为 的子环， 则
,  ,  且 .
    对任意的 , , 有
,    
从而由理想的定义知, 为 的理想. 由此知, 的全部理想为
且 .
13、数域上的多项式环的理想是怎样的一个主理想。
解 由于，所以，于是得
。
14、在 中, 求 的全部根.
解 共有16个元素: , , , , 将它们分别代入 ,可知共有下列4个元素
, , ,
为 的根.
15．试举例说明，环中的m次与n次多项式的乘积可能不是一个
m+n次多项式.
解 例如，环中多项式
与
的乘积就不是3+2次多项式.
16.求出域上的所有2次不可约多项式.
解 经验算得知，上的2次不可约多项式有三个，它们是：

17、指出下列哪些元素是给定的环的零因子.
(1) 在中.设.
(2) 在中,它的全部零因子是哪些.
(3) 中有零因子吗?
解 (1) 是零因子,但不是.
(2) 中的零因子为
(3) 中没有零因子.
18.求二阶方阵环的中心.
解 高等代数已经证明，n阶方阵A与任何n阶方阵可交换A是纯量矩阵.因此的中心
19．举例说明，非零因子的象可能会是零因子.
解：设 是环同态满射,其中:.则显然是整环， 所以中没有零因子。但在 中, 和 、 都是零因子.即 2显然不是中的零因子,但却是中的零因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.
20.设R为偶数环.证明：

问：是否成立？N是由哪个偶数生成的主理想？
解： ：
故另外

故总之有另方面，由于

且而且实际上N是偶数环中由8生成的主理想，即
，但是

因此，.实际上是
21、举例说明，素理想不一定是极大理想。
解 例如是有单位元的交换环，容易证明是它的一个素理想.而理想真包含且.从而知是的素理想但不是极大理想.
22、设,求关于的所有左陪集以及右陪集.
解 ,
的所有左陪集为:;
;．
的所有右陪集为:;
;.

四、综合应用能力。
（五）证明题
1．在群 中, 对任意 , 方程 与 都有唯一解.
证明 令 , 那么 , 故 为方程 的解。 又如 为 的任一解, 即 ,则
.
这就证明了唯一性.
   同理可证另一方程也有唯一解.
2．全体可逆的  阶方阵的集合 ()关于矩阵的乘法构成一个非交换群. 这个群的单位元是单位矩阵
.
每个元素(即可逆矩阵) 的逆元是 的逆矩阵 .
证明 
  (1) 设 都是 阶可逆矩阵, 则 , , 从而 . 所以  也是 阶可逆矩阵. 这说明矩阵的乘法是 的代数运算;
    (2) 因为矩阵的乘法满足结合律, 所以 的乘法也满足结合律;
    (3) 设 为 阶单位矩阵, 则 , 故 , 且对任意的 , 有

 所以, 是 的单位元.
     (4) 设 , 则 . 从而 可逆, 设 为 的逆矩阵, 则 , 故 , 且 .. 所以 的逆矩阵 为 在 中的逆元. 因此, 构成群. 由矩阵的乘法易知, 当 时 是非交换群.
3．  ，。那么H是的一个子群。
   证明  I.H对于G的乘法来说是闭的，
        (1)(1)=(1)，(1)(12)=(12)，(12)(1)=(12)，(12)(12)=(1)；
    II.结合律对于所有G的元都对，对于H的元也对；
    IV.；
    V.(1)(1)=(1)，(12)(12)=(1)。
4．一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：
证明 必要性。H是G的非空子集且H的每一个元素的阶都有限。若H是子群，则由子群的条件必有
充分性。由于H是G的非空子集，若又H的每一个元素的阶都有限
，
综上知H是G的子群。
5． 设 是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群. 是所有行列式等于1的 阶矩阵所组成的集合. 则 是 的子群.
证明 首先, 单位矩阵 的行列式为 1, 所以 非空. 又对任一 阶方阵 , 如果 , 则 , 所以  可逆, 故 是 的子集. 又对任意的 , 有 , 所以 .
这说明 . 从而由定理知, 是 的子群.
6．群 的任何两个子群的交集也是 的子群.
证明  
   设 为   的两个子群, 则
    (1) , 所以 , 即 ;
    (2) 任给 , 则 , 因此 ;
    (3) 任给 , 那么 , 因此 , 所以 . 从而由定理2知, 是  的子群.
7． 设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同.
证明 设 , 分别表示 在 中的左、右陪集所组成的集合. 令

                        ,  .
则 是 到 的双射.    事实上   
 (1) 如果 , 那么 , 故 , 所以, . 于是, 为 到 的映射.
     (2) 任给 , 有 , 因此, 为满射.
     (3) 如果 , 那么 , 因此 , 从而得 为双射.即在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同.
8．有限群 的任一元素的阶都是群 的阶数的因子.
证明 设G的元a的阶为n, 则a生成一个阶是n的子群，由以上定理，n整除G的阶。
9． 设 与 为群, 是 与 的同构映射, 则
    (1) 如果 为 的单位元, 则 为 的单位元;
    (2) 任给 , 为 的逆元, 即
证明 (1) 因为 由消去律知, 为 的单位元.
    (2) 任给 ,
从而知 为 的逆元. 所以, .
10．如果 是交换群, 则 的每个子群 都是 的正规子群.  
  证明 因为 为交换群, 所以 的每个左陪集 也就是右陪集 .
11． 设 为群 的子群. 若 , 那么 .
证明 任给 , 如果 , 那么 . 如果 , 那么 与 是 在 中的两个不同的左陪集, 所以,
同理,.因为 , 而 , 所以 . 同理可证: . 从而 . 由此知 .
12． 设 , , 则 .    
证明 (1) , , , 则所以, 为 的子群.
    (2) 任给 , , 则

所以, , 从而 .
13．群 的任何两个正规子群的交还是 的正规子群.
证明 设 与 为 的两个正规子群, , 则 为 的子群. 又任给 , , 则因为 与 都是 的正规子群, 所以
所以, . 故 .
14． 设 与 是群, 是 到 的同态映射.
    (1) 如果 是 的单位元, 则 是 的单位元;
    (2) 对于任意的 , 是 在 中的逆元. 即

证明 (1) 因为 是 的单位元, 设 是 的单位元, 则

从而有消去律得: .
    (2) 因为
从而可知, .
15．  设 与 是群, 是 到 的满同态.如果 是 的正规子群, 则 是 的正规子群.
证明 由定理知, 是 的子群. 又对任意的 , 因为 是满同态, 所以存在 , 使得 . 从而

所以, 是 的正规子群.
16．  设，的阶为，证明的阶是，其中。
    证明：首先，；    其次，若，即，
因为的阶为，所以 ，而   ，故的阶是。
17． 设是循环群，G与同态，证明是循环群。
    证明：设G＝()，，下证。
    ，存在，使，
    又，
    所以。
   18．  证明循环群的子群也是循环群。
    证明：设，H是G的子群，又设是属于H且指数最小的正整数，下证。
    ，设，
则　，若
    ，这与的取法矛盾，
故　。
19． 假定和是一个群G的两个元，并且，又假定的阶是，的阶是，，证明：的阶是。
    证明：一方面，；    另一方面，若，则 ；
    同理，；于是由   ，有，故，的阶是。
20．假定H是G的子群，N是G的不变子群，证明HN是G的子群。
    证明：，，
    ，
    。
21．设 是一个环, 如果 有单位元, 则 的单位元是唯一的. 的单位元常记作 .      
证明
    设 都是 的单位元, 则

所以, .
22、设为实数集，，令，将的所有这样的变换构成一个集合，试证明：对于变换普通的乘法，作成一个群。
证明 (1)(封闭性) 我们有:

由于
中元素是封闭的.
(2)(结合律)凡是映射的合成都满足结合律.故
中的元素也满足结合律.
(3)(单位元)显然是的恒等变换,由定
义2知必是的单位元.
(4)(左逆元) 那么
故 并且 .
(这个等式可以验证)故知
.
由上述是一个的变换群.
23．全体偶数 关于通常的数的加法与乘法构成一个没有单位元的交换环.
证明 (1) 任给 , 则

所以, 数的加法与乘法是 的代数运算.
(2) 因为数的加法与乘法满足交换律, 结合律, 且乘法对加法满足分配律, 所以 的加法与乘法也满足这些运算律.
    (3) 因为 , 且对任意的 , 有

所以数零是 的加法零元.
    (4) 任给 , ,

所以 的每个元都有负元, 且 .
    从而由环的定义知, 构成交换环, 显然 无单位元.    
事实上， 如果 有单位元 , 则 , , 且对任意的 , 有 ，即 , 所以 , , 矛盾.
24、设群G的每个元素x都适合方程x2= e，这里e是G的单位元，求证：G是交换群。
证明：任意x、y∈G，由x2= e，y2= e有x-1= x，y-1= y。又由(xy)2= e有(xy)-1= xy。从而yx= y-1 x-1= (xy)-1= xy．即G是交换群．
25． 证明数集 关于数的加法与乘法构
成一个有单位元的交换环.
证明 (1) 任给 , , 则

所以, 数的加法与乘法是 的代数运算.
(2) 因为数的加法与乘法满足交换律, 结合律, 且乘法对加法有分配律, 所以 的加法与乘法也满足这些运算律.
(3) 因为 , 且对任意的 , 有

所以数零为 的零元.
(4) 任给 , , 且所以, 的负元为
.
    (5) 因为 , 且对任意的 , 有

所以数1为 的单位元.
26． 在一个无零因子环中, 两个消去律成立. 即设 , , 如果 , 或 , 则 .
证明 设 , 则 . 因为 无零因子, 且 , 所以 , 从而 . 同理可证另一个消去律成立.
27、群G的两个子群的交集还是G的子群。
证明：设H1、H2为G之子群，a、b∈H1∩H2，则a、b∈H1，且a、b∈H2．
又H1、H2为子群，故ab-1∈H1，ab-1∈H2，从而ab-1∈H1∩H2．又显然e∈H1∩H2，即H1∩H2非空，故H1∩H2是G之子群．
28． 证明 为域.
证明 可先证 是有单位元的交换环. 下证, 的每个非零元都可逆.
设 , , 则 . 令 , 则 , 且 . 故为域.
29、设R是阶大于1的交换环。证明：当R不含零因子时，R[x]亦然。
证明：因为 R >1，故R[x]有非零多项式。
设R[x]有零因子，即存在非零多项式
f(x)，g(x)，f(x)g(x) g(x)，使f(x)g(x)=0。 (*)
令a0，b0分别是f(x)，g(x)的最高次项系数，则ab为f(x)g(x)的最高次项系数。从而由(*)知，ab0即是R的零因子，这R与无零因子矛盾。
因此，当R无零因子时，R[x]也没有零因子。
30． 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。    
证明：如果的每一个不等于零的元的阶都是无限大，那么定理是对的。假定的某一个元的阶是有限整数，而是的
另一个不等于零的元。由 ，可得　，所以 的阶的阶；同样可得，的阶的阶。所以的阶的阶。
31、设f：是环到环的同态满射，求证：f是到的同构当且仅当f的核是的零理想。
证明：由于f为同态满射，故f为同构当且仅当f为单射，从而只须证明f为单射当且仅当f的核是的零理想．
若f单射，则由f(0)＝0知f的核是{0}。
反之，若f的核是{0}，对任意x、y∈G，若f(x)＝f (y)，则f(x-y)＝0即x-y∈Kerf={0}，故x-y＝0即x= y，f为单射。
32． 如果无零因子环的特征是有限整数，那么是一个素数。
证明：假设n不是素数，
　　，但
这与环R无零因子矛盾。
33、求证：若a生成一个n阶循环群G，k与n互素，则ak也生成G。
证明：只须证明ak的阶是n．
设ak的阶是r，e是G的单位元。由于a的阶是n，故 (ak)n=ak n =e，知r整除n。
又由ak的阶是r知ak r =(ak)r =e，而a的阶是n，故n整除kr．但k与n互素，故n整除r，从而n等于r，即ak的阶是n．
34． 设 为 的非空子集. 证明: 为 的子环的充分必要条件时, 存在非负整数 , 使得

证明 (充分性) 设 . 则任给 , , 有
    (1) ;
    (2) .
从而由定理知, 为 的子环.
    (必要性) 设 为 的子环, 则 为 的子群. 因 为无限循环群, 所以存在非负整数 , 使得
                             .          
35、求证：一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环 。
证明：不妨设R={0，a1，…，an-1}，a1，…，an-1不为0，R是一个没有零因子的有限环。由于R没有零因子，故a1，，…，是R的n非0元，但R只有n-1个非0元，故必有i<j，使=．对任意的有，，即
，．
又由于R没有零因子，则，，知是R之单位元，且a1是R之单位．同理，对任意的可有s<t，使得是R之单位元，故ak是R之单位．从而R是一个除环．
36． 设 为环. 证明 的中心

是 的子环.
证明 (1) 因为对任意 , , 所以 . 故 .
     (2) 对 , ,

所以, , . 从而由定理2知, 为 的子环.
37、设R是主理想环，a∈R，a≠0且(a)是R的最大理想，求证：a是R的素元。
证明：由于(a)是R的最大理想，故是域．　任意x、y∈R，若a整除xy，则[x][y]=[0]，这里[x]表示x所在的等价类，故[x] =[0]或[y]=[0]，即a整除x或a整除y，故a是R的素元．
38．环 的两个理想 与 的和 与交 都是 的理想.
证明 (1) 设 , , . 则

且对任意的 ,

所以, 为 的理想.
  (2) 设 , 则 , , 从而 , 且 , 所以 . 又对任意的 ,有 , 且 . 故 . 从而知, 为 的理想.
39、证明：是主理想环。
证明 令是的任意一个理想，是中绝对值最小的一个非零元素，下证。
任取，显然

令选取分别最接近的整数，即
（1）
令并由（1）得
（2）
现在令显然于是由（2）得

但是中绝对值最小的非零元，故从而
，因此。
40、证明：整数环上的多项式环是一个唯一分解环。
证明 的单位显然只有。又其不可约元为全体（正、负）素数以及次数大于零的本原不可约（在上）多项式。今在中任取，显然可唯一表示成
为本原多项式），（1）
其中的最高系数为正整数。
若为本原的，则由高等代数知，可唯一分解成不可约多项式之积；若不是本原的，则由（1），可唯一分解成素数之积，而可唯一分解为上不可约多项式之积（最多有符号差异）。从而可唯一分解成内不可约元之积。因此，是唯一分解成整环。
41、试证在整环中4不能唯一分解。
证明　为了证明4不是的唯一分解元，先证明两个事实。
（1）的一个元是单位当且仅当。
设是的一个单位，那么
，，
而是一个正整数，亦为正整数，所以。
反之，假定，则有，，即，故为单位。
（2）适合条件的元一定是不可约元。
当时，，且由（1）知也不是单位。设为的任一因子，则有，，，，那么，这只有。但不论是什么整数，都有，
因此只有或4。
若，则为单位；
若，，则为单位，因而，即为的相伴元。
故只有平凡因子，所以为不可约元。
现在我们看4在里的分解式
，
因
，，，
由（2）知2，，都是的不可约元。而且，都不是2的相伴元，因此4有两种不同的分解式。
所以4在里的分解不唯一，不是唯一分解环。
42、数域上的一元多项式环是一个欧氏环。
证明：显然是一个有单位元的整环。
（1）令的次数，则是非零多项式集到非负整数集的一个映射。
（2）由高等代数知在中任取及，存在满足 ，其中或的次数的次数。
因此关于作成一个欧氏环。
43、证明　若为欧氏环，则对任意，存在最大公因子且有，使得。
证明 设均为0，则它们的最大公因子为0。
若中至少有一个不为0，在欧氏环中，每一个非零元素都有一个非负整数，令d是集中对应的非负整数最小元素，因此d能够写成（对某个），因此。
因为d是N中元素对应的非负整数最小的元素，因此，从而同理。如果
，即d为的最大公因子。
44、若R环的特征为素数,且R可交换,则有
.
证明 因R是交换环, 所以

显然,当时,我们有(!,)=,又因
!!,进而
所以
于是
45、证明是主理想环。
证明　设是的任意理想，若，则。若，则在中取一个次数最低的多项式，对，有，使得 ，其中或。因， ，所以，故。从而 ，
即，因此是主理想环。

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