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2022届高考数学一轮复习 选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式学案

2022届高考数学一轮复习 选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式学案

年级：
姓名：

选修4－5 不等式选讲
第一节　绝对值不等式

【知识重温】
一、必记2个知识点
1．含有绝对值的不等式定理
(1)定理：对任意实数a和b，有①____________________，其中等号成立的条件为ab≥0.
(2)定理中的b以－b代替，则有|a－b|≤|a|＋|b|.其中等号成立的条件为②____________.
(3)对任意实数a和b，有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：

不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
③________
④________
⑤________
|x|＞a
⑥________
⑦________
⑧________

(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
(ⅰ)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
(ⅱ)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法．
(ⅰ)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
(ⅱ)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．
(ⅲ)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
二、必明2个易误点
1．利用均值不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个重要不等式的特征．
2．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．

　绝对值三角不等式性质的应用
[互动讲练型]
[例1]　[2016·江苏卷]设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|<a.

悟·技法
对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点
(1)等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时．
(2)该定理可推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推论．
(3)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|；当b(a＋b)≤0时，|a|－|b|＝|a＋b|；当b(a－b)≥0时，|a|－|b|＝|a－b|.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，
求证：|x＋5y|≤1.

考点二　绝对值不等式的解法[自主练透型]
1．不等式|2x－1|>3的解集为________．
2．[2020·江苏卷]设x∈R，解不等式2|x＋1|＋|x|<4.

3．[2020·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；

(2)求不等式f(x)>f(x＋1)的解集．

悟·技法
解绝对值不等式的基本方法
(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．
(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.

考点三　与绝对值不等式有关的参数范围问题
[互动讲练型]
[例2]　[2020·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；
(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．

悟·技法
1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法．
2．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a；f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a.

[变式练]——(着眼于举一反三)
2．[2021·惠州市高三调研考试]已知f(x)＝|x＋1|＋|ax－a＋1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若x≥1时，不等式f(x)≥x＋2恒成立，求a的取值范围．

选修4－5　不等式选讲
第一节　绝对值不等式
【知识重温】
①|a＋b|≤|a|＋|b|　②ab≤0
③{x|－a＜x＜a}　④∅　⑤∅
⑥{x|x＞a或x＜－a}　⑦{x|x∈R且x≠0}
⑧R
课堂考点突破
考点一
例1　证明：因为|x－1|<，|y－2|<，
所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|<2×＋＝a.
变式练
1．证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.
∴由绝对值不等式的性质，得
|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|
＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.
即|x＋5y|≤1.
考点二
1．解析：由|2x－1|>3，得
2x－1<－3或2x－1>3，即x<－1或x>2.
答案：{x|x<－1或x>2}
2．解析：当x>0时，原不等式可化为2x＋2＋x<4，解得0<x<；
当－1≤x≤0时，原不等式可化为2x＋2－x<4，解得－1≤x≤0；
当x<－1时，原不等式可化为－2x－2－x<4，解得－2<x<－1.
综上，原不等式的解集为
.
3．解析：(1)由题设知
f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示．

(2)函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y＝f(x＋1)的图象．

y＝f(x)的图象与y＝f(x＋1)的图象的交点坐标为.
由图象可知当且仅当x<－时，y＝f(x)的图象在y＝f(x＋1)的图象上方．
故不等式f(x)>f(x＋1)的解集为.
考点三
例2　解析：(1)当a＝2时，f(x)＝
因此，不等式f(x)≥4的解集为.
(2)因为f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|≥|a2－2a＋1|＝(a－1)2，故当(a－1)2≥4，即|a－1|≥2时，f(x)≥4.所以当a≥3或a≤－1时，f(x)≥4.
当－1<a<3时，f(a2)＝|a2－2a＋1|＝(a－1)2<4.
所以a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
变式练
2．解析：(1)解法一　当a＝1时，不等式f(x)≥3，即|x＋1|＋|x|≥3.
当x<－1时，－x－1－x≥3，解得x≤－2，所以x≤－2；
当－1≤x<0时，x＋1－x≥3，无解；
当x≥0时，x＋1＋x≥3，解得x≥1，所以x≥1.
综上，不等式f(x)≥3的解集为(－∞，－2]∪[1，＋∞)．
解法二　当a＝1时，f(x)＝|x＋1|＋|x|＝，
当x<－1时，－2x－1≥3，解得x≤－2，所以x≤－2；
当－1≤x<0时，无解；
当x≥0时，2x＋1≥3，解得x≥1，所以x≥1.
综上，不等式f(x)≥3的解集为(－∞，－2]∪[1，＋∞)．
(2)解法一　当x≥1时，不等式f(x)≥x＋2，即|ax－a＋1|≥1.
令g(x)＝a(x－1)＋1，则g(x)的图象为过定点(1,1)且斜率为a的一族直线，
数形结合可知，当a≥0时，|ax－a＋1|≥1在[1，＋∞)上恒成立．
所以，所求a的取值范围为[0，＋∞)．
解法二　当x≥1时，不等式f(x)≥x＋2，即|ax－a＋1|≥1.
所以ax－a＋1≤－1或ax－a＋1≥1，
即a(x－1)≤－2或a(x－1)≥0.
当x≥1时，∀a∈R，不等式a(x－1)≤－2不恒成立，
当x≥1时，为使不等式a(x－1)≥0恒成立，则a≥0.
所以，所求a的取值范围为[0，＋∞)．