北京市第四十三中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题.doc

北京市第四十三中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题

北京市第四十三中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题

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11

北京市第四十三中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题
一、选择题（共10小题；共40分）
1. 若集合 ，，则 等于
A. B.
C. D.

2. 在复平面内，复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 在等差数列 中，若 ，，则公差
A. B. C. D.

4. 在等比数列 中，首项 ，公比 ，，则项数 为
A. B. C. D.

5. 已知向量 ，， 与 平行，则实数 的值为
A. B. C. D.

6. 已知圆的方程是 ，则该圆的圆心坐标及半径分别为
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与

7. 已知椭圆与双曲线 的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 ，那么椭圆的离心率等于
A. B. C. D.

8. 已知在 支铅笔中，有 支正品， 支次品，从中任取 支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是
A. B. C. D.

9. 端午节放假，甲回老家过节的概率为 ，乙、丙回老家过节的概率分别为 ，．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少 人回老家过节的概率为
A. B. C. D.

10. 数列 ，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：．记该数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 设复数 ，（ 是虚数单位），则  ．

12. 在 的二项展开式中， 项的系数为  （用数字作答）．

13. 已知数列 中， 对 成立，且 ，则  ．

14. 已知等差数列 的前 项和为 ，，，则数列 的前 项和为  ．

15. 已知数列 的通项公式为 ，把 中的各项按照一定的顺序排列成如图所示的三角形数阵：

（）数阵中第 行所有项的和为  ；
（） 在数阵中第 行的第 列，则  ．

三、解答题（共6小题；共85分）
16. 设等差数列当 满足：，．
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前 项和 及使得 最大的序号 的值．

17. 等差数列 中，，．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求 的值．

18. 如图，在正方体 中， 为 的中点．

（1）求证：；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．

19. 已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 ，且 ，求直线 的方程．

20. 图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 表示空气质量优良，空气质量指数大于 表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留 天．

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（2）设 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 的分布列与数学期望；
（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?（结论不要求证明）

21. 已知数列 为等差数列，且满足 ，，数列 的前 项和为 ，且 ，．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： 是等比数列，并求 的通项公式；
（3）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．

答案
第一部分
1. D
2. A
3. B 【解析】在等差数列 中，
因为 ，，
所以
解得
4. C
5. D
【解析】由已知 ，
又 ，
所以 ，解得：，
故选：D．
6. D 【解析】根据题意，圆的方程是 ，即 ，
其圆心为 ，半径 ．
7. B 【解析】双曲线 的焦点为 ，即为 ，
即有椭圆的 ，
由椭圆的定义可得 ，可得 ，
则椭圆的离心率为 ．
8. C 【解析】记事件 ， 分别表示“第一次，第二次抽得正品”，则 表示“第一次抽得次品，第二次抽得正品”，
故 ．
9. B 【解析】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件 ，，，则 ，，，所以 ，，．由题知 ，， 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率 ，所以至少有一人回老家过节的概率 ．
10. D
【解析】因为

所以 ．

第二部分
11.
12.
13.
【解析】因为 ，所以 ．因为 ，所以 ．
14.
【解析】设等差数列的公差为 ，
由题意可得，
解方程可得，，，
由等差数列的通项公式可得：

15. ，
【解析】（）第 行的 个数依次为 ，，，，，其和为 ．
（）令 ，得 ，故 是数列 中的第 项．
又数阵的前 行共有 个数，
前 行共有 个数，故数列 的第 项在第 行，即 ，
又 ，故 是第 行的第 个数，即 ．
故计 ．

第三部分
16. （1） 由 及 ， 得 解得
所以数列 的通项公式为 ．
      （2） 由（1）知 ．
因为 ，所以当 时， 取得最大值．
17. （1） 设等差数列 的公差为 ，
由已知得
解得
所以 ．
      （2） 由（）可得 ，
所以

18. （1） 如下图所示：

在正方体 中， 且 ， 且 ，
所以 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，
因为 ，，
所以 ．
      （2） 以点 为坐标原点，，， 所在直线分别为 ，， 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ．

设正方体 的棱长为 ，
则 ，，，，
，，
设平面 的法向量为 ，
由 得
令 ，则 ，，则 ．
．
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
19. （1） 由已知 ，，解得 ，，所以 ，所以椭圆 的方程为

      （2） 由

得，，直线与椭圆有两个不同的交点，所以

解得

设 ，则 ，，计算

所以 ， 中点坐标为 ，因为 ，所以 ，，所以

解得 ，经检验，符合题意，所以直线 的方程为

20. （1） 设 表示事件“此人于3月 日到达该市”．
根据题意，，且 ．
设 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则 ，
所以 ．
      （2） 由题意可知 的所有可能取值为 ，，，且

，
所以 的分布列为

故 的期望 ．
      （3） 从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
21. （1） 设等差数列 的公差为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ．
      （2） 因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
又 ，
也成立，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ．
      （3） ，
所以 对 恒成立，
即 对 恒成立．
令 ，
则 （ 且 ），
当 且 时，，当 且 时，，
所以 ，
故 ，
即 的取值范围为 ．