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2021-2022学年高中数学 第一章 空间几何体 1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图学案 新人教A版必修2

2021-2022学年高中数学 第一章 空间几何体 1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图学案 新人教A版必修2

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1.2　空间几何体的三视图和直观图
1.2.1　中心投影与平行投影
1.2.2　空间几何体的三视图
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解中心投影和平行投影．
2．能画出简单空间图形的三视图．(重点)
3．能识别三视图所表示的立体模型．(难点)
1.通过对中心投影和平行投影学习，培养直观想象的数学核心素养．
2．通过学习三视图，培养逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养．

1．投影的概念及分类
定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影，其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面
分类
中心投影
光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点
平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投影线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影
2.三视图

思考：画三视图时一定要求光线与投射面垂直吗？
[提示]　正确．由画三视图的规则要求可知正确．

1．下面哪个实例不是中心投影(　　)
A.工程图纸　　　　　　 B．小孔成像
C.相片 D．人的视觉
A　[根据中心投影的概念可知A不是中心投影．]
2．在几何体的三视图中，正视图、侧视图和俯视图完全相同的是(　　)
A.长方体 B．球
C.正三棱锥 D．圆锥
B　[在这几种几何体中，只有球的三种视图完全相同，其他不可以．]
3．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个________．

棱台　[从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一样，可以判断是棱台．]
4．水平放置的下列几何体，正视图是长方形的是________．(填序号)

①　　　②　　　③　　　　④
①③④　[①③④的正视图均是长方形，②是等腰三角形．]

中心投影和平行投影
【例1】　(1)下列命题中正确的是(　　)
A.矩形的平行投影一定是矩形
B.梯形的平行投影一定是梯形
C.两条相交直线的投影可能平行
D.一条线段的中点的平行投影仍是这条线段投影的中点
D　[矩形的平行投影可能是线段、平行四边形或矩形，梯形的平行投影可能是线段或梯形，两条相交直线的投影还是相交直线．因此A、B、C均错，故D正确．]
(2)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是(　　)

A　　　B　　　C　　　　D
A　[由正投影的定义知，点M、N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1、DA的中点，D在平面ADD1A1上的投影还是D，因此A正确．]

判断几何体投影形状的方法及画投影的方法
(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．
(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影．

1．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的△A′B′C′与△ABC(　　)
A.全等　　　　 B．相似
C.不相似 D．以上都不对
B　[本题主要考查对中心投影的理解．根据题意画出图形，如图所示．

由图易得＝＝＝＝＝，则△ABC∽△A′B′C′.]

画空间几何体的三视图
【例2】　(1)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)

B　[依题意，侧视图中棱的方向是从左上角到右下角．故选B.]
(2)画出如图所示几何体的三视图：

①　　　　　　②
[解]　①此几何体的三视图如图③所示；
②此几何体的三视图如图④所示．

③　　　　　　　　④

1．画组合体三视图的“四个步骤”
(1)析：分析组合体的组成形式；
(2)分：把组合体分解成简单几何体；
(3)画：画分解后的简单几何体的三视图；
(4)拼：将各个三视图拼合成组合体的三视图．
2．画三视图时要注意的“两个问题”
(1)务必做到“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”．
(2)把可见轮廓线画成实线，不可见轮廓线要画成虚线，重合的线只画一条．

2．螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如图，画出它的三视图．

[解]　它的三视图如图所示．

由三视图还原几何体
[探究问题]
1．如何由三视图确定几何体的长、宽、高？
[提示]　由正视图可确定几何体的长、高；由俯视图可确定几何体的宽．
2．如图所示的三视图，其几何体是什么？其正视图、侧视图中的三角形的腰是几何体的侧棱长吗？

[提示]　由三视图可知，该几何体为正四棱锥，如图所示．正视图、侧视图中三角形的腰长不是四棱锥的侧棱长，应为四棱锥的侧面高线．

【例3】　(1)若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是(　　)
A.圆柱　　　 B．三棱柱
C.圆锥 D．球体
C　[正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆说明此几何体是圆锥．]
(2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D
D　[对于选项A，B，正视图均不符合要求；对于选项C，俯视图显然不符合要求．只有D符合要求．]

由三视图确定几何体一般分两步
第一步：通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体．若正视图和侧视图为矩形，则原几何体为柱体；若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若正视图和侧视图为等腰梯形，则原几何体为台体．
第二步：通过俯视图确定是多面体还是旋转体．若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．

3．根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状．

①　　　　　　　　②
[解]　由三视图的特征，结合柱、锥、台、球及简单组合体的三视图逆推．
图①对应的几何体是一个正六棱锥，图②对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别如下：

1．画三视图的方法，要求和检验标准
方法
正视图从正前方向后看，侧视图从正左方向右看，俯视图从正上方向下看．口诀记为“正看前后，侧看左右，俯看上下，眼见为实，不见为虚”
要求
“正俯一样长，正侧一样高，俯侧一样宽”
检验标准
“长对正、高平齐、宽相等”
2.画组合体的三视图的步骤

特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．

1．中心投影的投影线(　　)
A．相互平行　　　　 B．交于一点
C．是异面直线 D．在同一平面内
B　[由中心投影的定义知，中心投影的投影线交于一点，故选B.]
2．如图网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)

A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
B　[由题意知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．]
3．一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为(　　)

C　[根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图为：

所以侧视图为：
]
4．画出如图所示的几何体的三视图．

[解]　该几何体的三视图如图所示．