必修四任意角(附答案).doc

(完整word)必修四任意角(附答案)
任意角
[学习目标］　1.结合实际问题，了解角的概念的推广及其实际意义.2.掌握象限角的概念.3.掌握终边相同的角的表示方法．

知识点一　任意角的概念
（1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．
(2）按照角的旋转方向，分为如下三类:
类型
定义
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角

思考　经过1小时，时针转过多少度？
答案　－30°。
知识点二　象限角
如果角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么，角的终边(除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
思考　锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？
答案　锐角属于第一象限角,钝角属于第二象限角．
知识点三　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考1　下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表.
终边所在的位置
角的集合
x轴正半轴
{α｜α＝k·360°,k∈Z｝
x轴负半轴
{α|α＝k·360°＋180°,k∈Z}
y轴正半轴
{α｜α＝k·360°＋90°，k∈Z｝
y轴负半轴
{α｜α＝k·360°＋270°,k∈Z｝

思考2　下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.
α终边所在
的象限
角α的集合
第一象限
{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}
第二象限
{α｜k·360°＋90°〈α<k·360°＋180°,k∈Z}
第三象限
{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°,k∈Z}
第四象限
{α｜k·360°－90°<α〈k·360°，k∈Z｝

题型一　终边相同的角与象限角
例1　已知角α＝2 010°.
（1）把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°）的形式，并指出它是第几象限角;
（2)求θ，使θ与α终边相同,且－360°≤θ<720°.
解　(1）由2 010°除以360°，得商为5,余数为210°.
∴取k＝5，β＝210°，
α＝5×360°＋210°。
又β＝210°是第三象限角，
∴α为第三象限角．
(2)与2 010°终边相同的角为
k·360°＋2 010°(k∈Z)．
令－360°≤k·360°＋2 010°〈720°（k∈Z)，
解得－6≤k<－3(k∈Z)．
所以k＝－6，－5，－4.
将k的值代入k·360°＋2 010°中，得角θ的值为－150°,210°，570°。

跟踪训练1　在0°～360°范围内,找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°;(2）650°；（3)－950°15′.
解　(1）因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角．
（2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′,所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．

题型二　等分角所在象限的判断
例2　已知α是第二象限角，试确定2α，的终边所在的位置．
解　因为α是第二象限角，
所以k·360°＋90°〈α〈k·360°＋180°，k∈Z.
所以2k·360°＋180°〈2α〈2k·360°＋360°，k∈Z，
所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上．
因为k·360°＋90°<α〈k·360°＋180°，k∈Z，
所以k·180°＋45°〈〈k·180°＋90°，k∈Z,
所以当k＝2n，n∈Z时,
n·360°＋45°<<n·360°＋90°，
即的终边在第一象限；
当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°〈<n·360°＋270°，
即的终边在第三象限．
所以的终边在第一或第三象限．

跟踪训练2　已知α为第三象限角，则所在的象限是(　　)
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
答案　D
解析　由于k·360°＋180°〈α<k·360°＋270°，k∈Z，
得·360°＋90°〈〈·360°＋135°。
当k为偶数时，为第二象限角；
当k为奇数时，为第四象限角．

题型三　终边相同角的应用
例3　已知,如图所示,
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界）的角的集合．
解　(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α｜α＝k·360°＋210°，k∈Z｝．
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z｝．
(2）终边落在阴影部分(含边界)角的集合是｛α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．

跟踪训练3　如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
解　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①｛α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z｝．
②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°,k∈Z｝．
∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
｛α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}
∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}
＝{α｜2k·180°＋30°≤α〈2k·180°＋105°,k∈Z｝
∪｛α｜（2k＋1)180°＋30°≤α〈(2k＋1）180°＋105°，k∈Z｝
＝｛α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或（2k＋1）·180°＋30°≤α〈(2k＋1)180°＋105°,k∈Z}
＝{α｜n·180°＋30°≤α〈n·180°＋105°，n∈Z｝．

已知角α所在象限，求所在象限问题
例4　已知α是第一象限角，则角的终边可能落在______．（填写所有正确的序号）
①第一象限　②第二象限　③第三象限　④第四象限
解析　∵α是第一象限角,
∴k·360°<α〈k·360°＋90°，k∈Z，
∴·360°〈〈·360°＋30°.
当k＝3m，m∈Z时,m·360°〈〈m·360°＋30°，
∴角的终边落在第一象限．
当k＝3m＋1,m∈Z时,m·360°＋120°〈〈m·360°＋150°，
∴角的终边落在第二象限．
当k＝3m＋2,m∈Z时，m·360°＋240°<〈m·360°＋270°，
∴角的终边落在第三象限，故选①②③。
答案　①②③

1．－361°的终边落在（　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．设A＝｛θ｜θ为锐角｝,B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝｛θ|θ为第一象限的角}，D＝｛θ|θ为小于90°的正角｝，则下列等式中成立的是(　　）
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α〈360°,k∈Z）的形式是________________．
4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．
5．写出终边落在坐标轴上的角的集合S。

一、选择题
1．若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在（　　)
A．第一或第三象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
2．若α是第四象限角,则180°－α是（　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．与－460°角终边相同的角的集合是（　　）
A．｛α｜α＝k·360°＋460°，k∈Z｝
B．｛α｜α＝k·360°＋100°，k∈Z｝
C．{α｜α＝k·360°＋260°，k∈Z｝
D．｛α｜α＝k·360°－260°,k∈Z｝
4．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角;④－315°角是第一象限角,其中真命题有(　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．以下命题正确的是（　　)
A．第二象限角比第一象限角大
B．A＝{α|α＝k·180°,k∈Z}，B＝｛β|β＝k·90°，k∈Z｝，则AB
C．若k·360°〈α<k·360°＋180°(k∈Z），则α为第一或第二象限角
D．终边在x轴上的角可表示为k·360°（k∈Z）
6．集合M＝，P＝x|x＝±90°，k∈Z，则M、P之间的关系为（　　）
A．M＝P B．MP C．MP D．M∩P＝∅
二、填空题
7．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是________．
8．如图所示,终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是________________．

9．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°〈θ<360°,则θ＝________________.

10．集合A＝｛α|α＝k·90°－36°，k∈Z},B＝｛β｜－180°<β<180°｝，则A∩B＝________________.

三、解答题
11。如图所示,写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示）．

12．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．

13.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A（1,0）出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转,已知P点在1 s内转过的角度为θ (0°〈θ<180°），经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ。

当堂检测答案
1．答案　D
解析　因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故为第四象限角,故选D。
2．答案　D
解析　直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．
3．答案　195°＋(－3）×360°
4．答案　－252°
解析　∵－1 692°＝－5×360°＋108°,
∴与108°终边相同的最大负角为－252°。
5．解　终边落在x轴上的角的集合：
S1＝｛β|β＝k·180°，k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合：
S2＝{β|β＝k·180°＋90°,k∈Z};
∴终边落在坐标轴上的角的集合为：
S＝S1∪S2＝｛β｜β＝k·180°,k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z｝
＝{β｜β＝2k·90°或β＝(2k＋1)·90°，k∈Z｝＝｛β|β＝n·90°，n∈Z}．

课时精练答案
一、选择题
1．答案　A
2．答案　C
解析　可以给α赋一特殊值－60°,则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
3．答案　C
解析　∵－460°＝－2×360°＋260°，
∴－460°与角260°终边相同，
∴与－460°角终边相同的角的集合是
{α|α＝k·360°＋260°，k∈Z｝．
4．答案　D
解析　－75°是第四象限角；225°是第三象限角；475°＝360°＋115°是第二象限角;－315°＝－360°＋45°是第一象限角，故①②③④全正确，选D。
5．答案　B
解析　A不正确,如－210°〈30°.
在B中,当k＝2n，k∈Z时,β＝n·180°，n∈Z.
∴AB,∴B正确．
又C中，α为第一或第二象限角,或在y轴的非负半轴上，
∴C不正确．显然D不正确．
6．答案　B
解析　对集合M来说，x＝（2k±1)·45°,即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)·45°，即45°的倍数．
二、填空题
7．答案　240°
解析　∵－3 000°＝－9×360°＋240°,
∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°。
8．答案　{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
9．答案　－110°或250°
解析　∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，
∴θ＝k·360°＋250°，k∈Z，
∵－360°〈θ〈360°，∴k＝－1或0。
∴θ＝－110°或250°.
10．答案　｛－126°，－36°,54°,144°}
解析　当k＝－1时，α＝－126°；
当k＝0时，α＝－36°；
当k＝1时，α＝54°；
当k＝2时，α＝144°。
∴A∩B＝｛－126°，－36°,54°，144°}．
三、解答题
11.解　终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α｜α＝60°＋k·360°，k∈Z｝，终边落在y＝x（x≤0）上的角的集合是S＝｛α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，
于是终边在y＝x上角的集合是S＝｛α|α＝60°＋k·360°，k∈Z｝∪｛α｜α＝240°＋k·360°，k∈Z｝
＝｛α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪｛α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z｝
＝｛α｜α＝60°＋n·180°，n∈Z}．

12．解　由题意可知，
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，
∵α，β都是锐角，∴0°〈α＋β<180°.
取k＝1,得α＋β＝80°。①
∵α－β＝670°＋k·360°,k∈Z.
∵α,β都是锐角，∴－90°〈α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②,得α＝15°，β＝65°.
13.解　∵0°<θ〈180°，且k·360°＋180°<2θ<k·360°＋270°,k∈Z,
则一定有k＝0，于是90°<θ<135°。
又∵14θ＝n·360°(n∈Z），
∴θ＝，从而90°<〈135°,
∴<n〈，∴n＝4或5.当n＝4时，θ＝；
当n＝5时,θ＝.

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