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第八章 控制系统的偏差
第一节 控制系统的偏差概念
误差:系统输出量的实际值与
希望值之间的差别。
误差值=，
是变换算子.
偏差：控制系统与主反馈信号
之差，记为.
★ ★ 只有当，即单位反馈时，
★ 在数值上误差=偏差.
★ ★ 常研究的是比例环节的输出信号， 即系统的偏差信号。
偏差信号常分为两种：静态偏差和动态误差.
1、 静态偏差

—由输入引起的定态偏差
—由干扰引起的定态偏差
2、动态误差 e(t）取决于位移、速度、加速度
第二节 输入引起的定态偏差
一、偏差计算的一般公式
图?

得
定态偏差：
设系统开环传递函数，
其中
当
当

受K、三因素影响.
二、典型输入的定态偏差
1．
2、
零型系统,
有定态偏差,
非零型系统，
没有定态偏差。
3、
0型系统 坏
Ⅰ型系统 一般，希望K大
Ⅱ型以上系统 好
4、
0型系统 坏
Ⅰ型系统 坏
Ⅱ型系统 一般
Ⅲ型系统 好
以上列表对比。

5、分析
10、在一种信号作用下，开环系统的型级越高,跟踪能力(偏差小）越强，但稳定性能差。
20、在有误差的情况下，若使偏差小，即跟踪能力提高,应使K增大，但将导致系统稳定性能变差。
第三节 输入引起的动态偏差
举例：
两者之间的定态偏差ess1和ess2相同(因)，不能充分反映出系统动态性能的区别（指过渡过程的快度性难以反映）。
为使客观反映两系统间的差别,现将偏差传递函数在s=0邻域展成泰勒级数（便于求拉氏变换），得

其中，
偏差的时间响应
则
系统的动态偏差等于输入信号及其各阶导数引起的偏差分量之和。
例题:输入信号
开环传递函数，
求闭环系统的动态偏差e(t）.解：

其中

（位置+速度+加速度）

第四节 负载或干扰引起的偏差
由图
则
其中
由输入信号引起的偏差传递函数

由干扰信号引起的偏差传递函数

输入引起的偏差分量，时域写成。

干扰引起的偏差分量，时域写成.
现只考虑干扰引起的定态偏差
（不考虑符号）。则

一般情况下，且当时，
和
代入上式得
例题：若负载(或干扰）为阶跃函数，，
系统为单位反馈系统（），求eNs。
解：单位反馈系统，即，,
已知,系统的未知.

10、对于0型系统， 即 有偏差。
20、对于Ⅰ及以上型系统，即 无偏差。
★★★此例说明，对于Ⅰ型及以上系统，抗干扰能力强。
第九章 控制系统的设计和校正

这一章是前面各章节的综合，内容多而乱，必要同步复习前述内容。

第一节 综述

一、控制系统的设计内容
1、合理确定系统的结构方案（固定元件、可调元件）;
2、静态计算,即合理选择参数；
3、动态计算.
二、设计的一般步骤
1、根据主要性能指标,绘制开环频率特性Bode图；
2、选择二阶近似系统,以达到某几个主要的性能指标;
3、在Bode图上进行校正设计,使系统达到预期的或最好指标。
三、系统的设计指标
1、时间响应指标（时域、在单位阶跃响应下的指标）;
10、瞬态响应时间（调整时间）
20、峰值时间
30、上升时间
40、最大超调量
2、频率响应指标
10、相位裕量
20、增益裕量
30、谐振峰值
40、谐振频率
50、截止频率和带宽（0)
3、偏差指标：
关于截止频率的解释：闭环系统幅频特性的幅值下降到的0。707倍时的角频率，用表示.在Bode图下降3dB处（20）。
闭环系统将高于截止频率的信号分量进行极大地衰减（也称滤波，或称截止),只允许信号在(0）之间通过，带宽为。
要求：,重现输入信号的能力强。
，缺点是噪声大.
第二节 希望对数幅频特性曲线的绘制

根据各项性能指标而绘制的、全面满足各项指标要求的对数幅频特性曲线，称做希望对数幅频特性曲线，记做。
一般按低频、中频、高频三段分别绘制。
一、三频段设计准则
1、低频段：要以最小的误差跟踪输入，。因为各种机器、仪器的输入信号为低频信号.例如，X6132万能铣床，其主轴，切削力基频（齿）。一般动力传动齿轮
600—2000HZ。
2、中频段：指增益交界频率左右，特性曲线的斜率应限制在-20，
目的是保证系统稳定。
3、高频段：指大于的区域，要严格控制噪声，希望开环频率特性快速衰减。
二、低频段曲线的绘制
目的是建立低频段曲线的渐近线，即斜率和高度。
若给定了定态偏差。
由来确定系统的型级
和增益K。
例题：某系统要求≤0.1，，暂选Ⅰ型系统，即=1（斜率）
由=，
则K≥10。
由于初选Ⅰ型系统,在低频处

三、中频段曲线绘制
为确保系统相对稳定性,增益交界频率处的 曲线斜率只取—20。
1、 增益交界频率的确定
若是大系统可近似地简化为单位反馈的二阶系统，闭环传递函数为
，
则开环传递函数为
。
开环谐和传递函数

开环幅频特性(在处）

令，
即

只有知道其中的后，才能确定。而的确定与各项指标有关。
10、若按谐振频率和谐振峰值的要求确定。
由=定出。
由=
得
20、若满足相位裕量和固有角频率要求确定。
由=

从上式可解出,得。
30、若提出时域值,即峰值时间、超调量。
，
或者
从上式可解出。
40、若提出上升时间和响应时间，并限制误差范围。

另外，,而
求得和后,也能定出。
2、中频段渐近线长度的确定
按经验公式
相对应的有
三、高频段曲线的绘制
高频段对系统性能影响很小，一般无特殊要求，可按固定元件的特性，自中频段末端自然延伸（斜率的绝对值要大）。
四、频率段间的过渡
1、各折点斜率增量尽可能取,最大不超过。斜率相差不宜过大.
2、联线斜率可与固定元件、固有频率同。

第三节 校正方法与校正环节

一、校正方法
1、增益调整,
即在前向通道中串联比例环节K，以改变开环增益。
2、串联校正
在前向通道中串联校正环节。特点:10、一般加在低功率部分，目的是减少功率损耗;20、与之间一般要加放大器，以提高增益。
3、并联校正
10、可加在前向通道的任何部位；
20、无需加放大器，因为信号是由高功率向低功率部位流动。
4、顺馈校正
二、校正环节
(一）、无源串联校正环节（常用的是无源四端电路网络）
1、相位导前校正环节
利用复阻抗概念

★★求四端电路网络传递函数：

其中（时间常数），
这是一个导前环节和一个惯性环节，另一个比例环节。
★★乃氏图分析
谐和传递函数:

由和知，＞0，＞0(＜1），
曲线在第一象限。
坐标平移后，经简化，可写成圆方程：

圆心坐标（）半径为()
当=0，= ，=0
当，=1，=0

没有滞后，相角为正,故称为该系统为导前环节，最大导前角由下式求出.
令
第三节 校正方法与校正环节
一．校正方法
1.增益调整， 即在前向通道中串联比例环节K，以改变开环增益.
2.串联校正
在前向通道中串联校正环节。特点：1. 一般加在低功率部分,目的是减小功率损耗；2。 与之间一般要加放大器，
以提高增益。
3.并联校正（局部反馈校正)
1°可加在前向通道的任何部位；
2°无需加放大器，因为信号由高功率向低功率部位流动.
4.顺馈校正(复合控制系统）

二．校正环节
（一)无源串联校正环节（常用的是无源的端电路网络）
1。相位导前校正环节
利用复阻抗概念
1°
2°

3°
4°

求四端网络系统传函

其中（时间常数），0＜＜1
这是一个导前环节（TSH）和一个阶惯性环节,另一个比例环节。

乃氏图分析
谐和传函：
由和知，＞0，＞0 （＜1），曲线在第Ⅰ象限
坐标平移后,经简化，可写成圆方程：
圆心坐标半径为。
当时，，；
当时，，。
＞，没有滞后，相角为正，故称系统为导前环节，最大导前角由下式求出。
令解及
(引用关系式 ），再利用，
关系,
或者 。
导前角是人们预先希望的校正值,然后求出值，定出R1和R2即可。

对数坐标图

＜＞
因＜1，转角频率＜
即先是导前环节，后是惯性环节.
因＜1，lg＜0,在低频段有衰减功能。
当时，，，对高频段没有衰减作用。此系统称为高通德波器。是对求导方法获得和。所谓中点，是相对对数坐标而来.即。
2。相位滞后校正环节
1°
2°
3°

令r=R2c 时间常数，＞
则

∵＞，＜，特性曲线在第四象限.
＜
又可写成（为绘制Bode图）

＜
先是惯性环节，后是导前环节.
令，解得
或者
这是一个低通滤波器（对高频段有衰减,对低频段无衰减。）
3.滞后导前环节
1°
2°
3°
4°

＞
其中 ；;
Nyquist图分析:

设＞，＜＜
＜
圆半径
圆心坐标
最大导前、滞后角
从Boele图上看，在低频段和高频段没有衰减，相当于“带阻滤波器”.
（二）有源串联校正环节
是由一个高增益运算放大器和四端网络组成。
1.有源网络传递函数的一般形式

其中、为复阻抗
2.比例—积分校正环节（P—I调节器）
这里，

3.比例—积分—微分校正环节（P—I—D调节器)
，

其中，，,，，

第四节 控制系统的增益调整

一、给定增益裕量
在Nyquist图上，
若曲线交负实轴于a点，＜。不够,即大的不够，则需要串入比例环节，使得复成（是希望的增益值)。需要串入的增益为；

第五节 控制系统的串联校正

为什么要进行串联校正？
使不满足品质指标的系统达标。具体做法是在开环频率特性图上进行校正（Bode图上），目的是解决以下三个问题:
1。系统稳定，瞬态响应好，频率响应好,但定态精度性能差,即；
2.定态精度好（），系统稳定或不稳定，但瞬态响应不理想;
3.系统稳定，但定态精度性能差(），同时瞬态响应也不理想。
针对第一个问题，串联校正的目的赢解决低频段的增益。
针对第二个问题，串联校正的目的应使，

第六节 控制系统的局部反馈校正

一、局部反馈部分的等效传递函数
下图中,G（S）校正前的局部传递函数
H c（S)校正环节的传递函数

校正后的传递函数为:
Geq（S)=
10 Hc（S）=Kc ~～比例环节～～称为硬反馈
20 Hc(S）= KcS ～~ 微分环节～～称为软反馈
1、 硬反馈的等效传递函数
设Hc（S)=Kc，则等效传递函数一般公式为：

10 为比例环节时,=K
则
校正后仍是比例环节，只是增益有变化。
20 若Ga（S)为积分环节，即
则
校正后减为惯性环节，增益，
时间常数
对积分环节进行硬反馈校正，可以有效地减少相位滞后，增大相位裕量,且时间常数可通过改变来调整，非常方便。
30 为惯性环节,=
则
校正后仍是惯性环节，增益和时间常数都比原来减少（1+)倍
对惯性环节进行硬反馈校正，可提高相位裕量。
40 若G(S)为振荡环节，
即
则=
=
校正后仍是振荡环节，增益减少到原来的倍，时间常数和阻尼比均减小到原来的倍。
2、软反馈的等效传递函数

等效传递函数一般公式为
=
10 G(S）为比例环节，即G(S）= K,则
=
成为惯性环节，增益不变，时间常数=
20 =，为惯性环节
=
仍为惯性环节
30 =，为积分环节
=仍为积分环节，
增益变化。
40 =，为振荡环节，
=
=
仍为振荡环节增益，时间常数无变化,阻尼比增大。

第七节 控制系统的顺馈校正

一、 用顺馈校正补偿输入引起的偏差

针对上图,

校正后的符合闭环传递函数
从上式可看出，校正环节传递函数若取=时,通过校正，可使偏差E（S)=0。此时，，若能达到上述要求，系统由输入量变化引起的一切定态、动态偏差都为零，系统跟随输入信号的灵敏性能达到最佳。
为了校正方便，可将
展成泰勒级数（或用长除法）

取前K项的和代替的理论值,即=，
其中第i项（i=0,1,2……）的作用是消除由于输入的i阶速度引起的动态偏差。
通过上述代替，校正通道变为下图：

☆一般情况下，取k=2已能得到很好补偿效果。
☆此种方法不影响系统的稳定性。
二、用顺馈校正补偿负载引起的偏差
对下图图形:

整理得:

其中
是由负载或干扰引起的偏差函数。
若校正环节传递函数，则，利用此方法可以消除由于负载或干扰对系统的影响而产生的一切定态和动态偏差。
对可按的同样的方式以替代。
是各类干扰，随机的,难用确切的数字表达式来描述.上述所有方案只是理论上的，故多用泰勒级数来逼近。