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求数列通项的一种简洁方法——构造常数列
题1 (2008年高考天津卷理科第22题(部分))在数列中，，其前项和满足，求数列的通项公式.
解 把相减，得

所以数列是常数列，再由得数列也是常数列，所以

题2 (1990年日本千叶大学入学试题)在数列中，N*，试求数列的通项公式与前项和.
解 由，得

N*)
同题1的解法，可得N*)，再将此式代入题设，可得.
题3 (2006年高福建卷文科第22题(部分))已知数列满足，求数列的通项公式.
解 由，得

所以数列是常数列，得

所以数列是常数列，得

注 下面给出求二阶递归数列(满足已知))通项的方法：
得.由知，可选复数满足，所以

所以数列是常数列，得

可设为

若，读者容易求解；若，得，选即，得

所以数列是常数列，得

题4 (2013年高考湖南卷文科第19题)设为数列的前项和，已知N*.
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
解 (1).
(2)设数列的前项和为，由待定系数法，可得

即数列是常数列，可得数列的前项和是.
题5 (2013年高考山东卷理科第20题)设等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且为常数)，令N*)，求的前项和.
解 (1).
(2)可得，所以N*).
由待定系数法，可得

即数列是常数列，可得.
题6 (2013年高考江西卷理科第17题)正项数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和为，证明：对任意的N*，都有.
解 (1).
(2)得，所以

即数列是常数列，可得.
题7 (2014年高考广东卷理科第19题)设数列的前项和为,满足，且．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
解 (1)．
(2)由(1)可猜想，接下来可用数学归纳法证明此结论成立．也可这样简解：
可得，再得，所以数列是常数列，得.
题8 (第26届(2000年)莫斯科奥林匹克试题)已知数列满足，求证：数列的各项都是整数.
证明 由数学归纳法可证数列的各项都是正数.
还可得，把它们相减后，可得

即数列是常数列，所以.又，所以由数学归纳法可证数列中的各项都是整数.
题9 已知数列满足，求证：数列的各项都是整数.
证明 由数学归纳法可证数列的各项都是正数.
还可得，把它们相减后，可得

即数列均是常数列，进而可得，所以由数学归纳法可证数列的各项都是整数.
题10 (2013年清华大学保送生考试数学试题第1题)求证：N*).
证明 令N.

可设N，得

可证，所以

又
所以N).
又，，，，，，所以数列N)是常数列，得欲证成立.
题11 (2013年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题第12题)设数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：对任意正整数和都是整数.
解 (1)由数学归纳法知N*).可得

相减后，可得，即数列是常数列.
可得，所以.
令，得.
…可求得.
(2)由(1)的结论，得

所以欲证成立.