3求数列通项的一种简洁方法——构造常数列.doc

求数列通项的一种简洁方法构造常数列 题1 (2008年高考天津卷理科第22题(部分)在数列中，其前项和满足，求数列的通项公式.解 把相减，得所以数列是常数列，再由得数列也是常数列，所以题2 (1990年日本千叶大学入学试题)在数列中，N*，试求数列的通项公式与前项和.解 由，得N*)同题1的解法，可得N*)，再将此式代入题设，可得.题3 (2006年高福建卷文科第22题(部分)已知数列满足，求数列的通项公式.解 由，得所以数列是常数列，得所以数列是常数列，得注 下面给出求二阶递归数列(满足已知)通项的方法：得.由知，可选复数满足，所以所以数列是常数列，得可设为若，读者容易求解；若，得，选即，得所以数列是常数列，得题4 (2013年高考湖南卷文科第19题)设为数列的前项和，已知N*.(1)求，并求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.解 (1).(2)设数列的前项和为，由待定系数法，可得即数列是常数列，可得数列的前项和是. 题5 (2013年高考山东卷理科第20题)设等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，且为常数)，令N*)，求的前项和.解 (1).(2)可得，所以N*).由待定系数法，可得即数列是常数列，可得. 题6 (2013年高考江西卷理科第17题)正项数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：对任意的N*，都有.解 (1).(2)得，所以即数列是常数列，可得.题7 (2014年高考广东卷理科第19题)设数列的前项和为,满足，且(1)求的值；(2)求数列的通项公式解 (1)(2)由(1)可猜想，接下来可用数学归纳法证明此结论成立也可这样简解：可得，再得，所以数列是常数列，得.题8 (第26届(2000年)莫斯科奥林匹克试题)已知数列满足，求证：数列的各项都是整数.证明 由数学归纳法可证数列的各项都是正数.还可得，把它们相减后，可得即数列是常数列，所以.又，所以由数学归纳法可证数列中的各项都是整数.题9 已知数列满足，求证：数列的各项都是整数.证明 由数学归纳法可证数列的各项都是正数.还可得，把它们相减后，可得即数列均是常数列，进而可得，所以由数学归纳法可证数列的各项都是整数.题10 (2013年清华大学保送生考试数学试题第1题)求证：N*).证明 令N.可设N，得可证，所以又 所以N).又，所以数列N)是常数列，得欲证成立.题11 (2013年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题第12题)设数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求证：对任意正整数和都是整数.解 (1)由数学归纳法知N*).可得相减后，可得，即数列是常数列.可得，所以.令，得.可求得.(2)由(1)的结论，得所以欲证成立.