广东高考前基础知识整立体几何.doc

考点一 三视图的辨别与应用
[2011·课标全国卷] 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图所示，则相应的侧视图可以为(　　)
俯视图
主视图

【答案】D　
1．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图
如下图所示，则它的体积的最小值为 ，最大
值为 .
08广东：将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

广东2010如图1，△ ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′ , CC′⊥平面ABC 
且3 AA′= BB′= CC′=AB,则多面体△ABC --A′B′C′的正视图（也称主视图）是（ ）

2010一模．如图4，点为正方体的中心，点为面的中心，点为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是 （填出所有可能的序号）．
① ② ③ ④
图4
A
B
C
D
E
F
O
A

A
A

2010揭阳二模：如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图（或称正视图）为

2011珠海：如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且
（1）以向量方向为侧视方向，侧视图是什么形状？
（2）求证：平面；

【解题技巧点睛】对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．
考点二 求几何体的体积
[2011·陕西卷] 某几何体的三视图如图1－2所示，则它的体积是(　　)

A．8－ B．8－
C．8－2π D.
【答案】A　
【解析】 分析图中所给的三视图可知，对应空间几何图形，应该是一个棱长为2的正方体中间挖去一个半径为1，高为2的圆锥，则对应体积为：V＝2×2×2－π×12×2＝8－π.

[2011·课标全国卷] 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．
【答案】　
【解析】 如图，设球的半径为R，圆锥底面半径为r，则球面面积为4πR2，圆锥底面面积为πr2，
由题意πr2＝πR2，所以r＝R，所以OO1＝＝＝R，
所以SO1＝R＋R＝R，　S1O1＝R－R＝R，
所以＝＝.
09广东四校文期末）如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中， AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=.
（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）求三棱锥A1－CDE的体积.

A
E
D
C
B
A1
B1
C1
第17题图
09佛山二模：如图,侧棱垂直底面的三棱柱的底面位于平行四边形中,,,,
点为中点,连结.
（Ⅰ）求证:平面平面.
（Ⅱ）设四棱锥与四棱锥
的体积分别为、,求的值.

09广州海珠如图6，在直角梯形ABCP中，AP//BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将沿CD折起，使得平面ABCD,如图7.
（Ⅰ）求证：AP//平面EFG；
(Ⅱ) 求二面角的大小;
图6
（Ⅲ）求三棱椎的体积.

图7

2009一如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点．若，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ） 求点到平面的距离；
（Ⅲ）求直线平面所成角的正弦值．

【解题技巧点睛】当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．
(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．
(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．
(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．
考点三 求几何体的表面积
【答案】C　
【解析】 由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示)，所以该直四棱柱的表面积为
S＝2××(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2××4＝48＋8.
[2011·陕西卷] 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．
【解答】 (1)∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.
又DB∩DC＝D.
∴AD⊥平面BDC.
∵AD平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BDC.
(2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，
DB＝DA＝DC＝1.
∴AB＝BC＝CA＝.
从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝×1×1＝.
S△ABC＝×××sin60°＝.
∴表面积S＝×3＋＝.

【解题技巧点睛】以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
考点四 平行与垂直
09潮州二模：如图，矩形中，平面
为上的点，且平面，
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.

2011高州：如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点．
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

考点五 角度问题
09广雅：已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点.
(1) 求四棱锥的体积；
(2) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；
(3) 若点为的中点，求二面角的大小.

A
B
C
D
P
E

考点六 探索性问题
【解题技巧点睛】
1.对于“是否存在”型问题的探索方式有两种:
一种是根据条件作出判断,再进一步论证. 如解决探究某些点或线的存在性问题,一般的方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直),再证明其符合要求,一般来说与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形.另一种是利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.
2.空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断,在解题过程中,往往把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有规定范围内的解”,所以使问题的解决更简单,有效,应善于运用这一方法解题.
2010茂名二模：如图，在底 面是菱形的四棱锥S—ABCD中，SA=AB=2，
（1）证明：平面SAC；
（2）问：侧棱SD上是否存在点E，使得SB//平面ACD？请证明你的结论；
（3）若，求几何体A—SBD的体积。

19．（本小题满分14分）
（汕头10-11）已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
(Ⅰ)求此几何体的体积；
(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值；
(Ⅲ)探究在上是否存在点Q，使得，并说明理由．

2010揭阳二模：如图，已知△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE
为平行四边形，DC平面ABC ,， ．
（1）证明：平面ACD平面；
（2）记，表示三棱锥A－CBE的体积，求的表达式；
（3）当取得最大值时，求证：AD=CE．

A
O
C
【河北省唐山市2012】球的一个截面面积为，球心到该截面的距离为，则球的表面积是（ ）
A. B. C. D.

【惠州市2012届高三第二次调研考试】
如图，三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱，一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为 ．
【答案】
【解析】因为三个几何体的主视图和俯视图为相同的正方形，所 以原长方体棱长相等为正
方体，原直三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，设正方形的边长为则，长方体体
正视图
俯视图
侧视图
2
4
2
3
4

积为，三棱柱体积为，四分之一圆柱的体积为，所以它们的体积之比为．

【2012上海市春招】
如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，
为线段AB的中点，求：
（1） 三棱锥的体积；
（2） 异面直线与所成角的正切值

（2007广东文科）17．(本小题满分12分)
已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主
视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视
图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S

(2008广东文科)18.（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，。
（1）求线段PD的长；
（2）若，求三棱锥P-ABC的体积。

(2009年广东卷文)（本小题满分13分）
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;
（2）求该安全标识墩的体积
（3）证明:直线BD平面PEG

（2010广东文数）
如图4，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=
（1）证明：EBFD
（2）求点B到平面FED的距离.

(2011广东文科)图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．分别为,,,的中点，分别为,,
,的中点．
（1）证明：四点共面；
（2）设为中点，延长到，使得．证明：平面．

图5

（2010广东文数）
（1）证明：点E为弧AC的中点

18．证明：（1）连接
依题意得是圆柱底面圆的圆心
∴是圆柱底面圆的直径
∵分别为,,的中点
∴
∴∥
∵，四边形是平行四边形
∴∥
∴∥
∴四点共面
（2）延长到，使得，连接
∵
∴，四边形是平行四边形
∴∥
∵，，
∴面
∴面，面
∴
易知四边形是正方形，且边长
∵，
∴
∴
∴
易知，四边形是平行四边形
∴∥
∴，
∴平面．

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