茂名高考模拟考试(理数详细答案).doc

茂名市2016届第一次高考模拟考试
数学（理科）参考答案
一．选择题： 本大题共12小题，每小题5分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
A
A
D
A
C
B
B
C
D
C
第Ⅱ卷 （ 非选择题，共90分）
二．填空题： 本大题共4小题，每小题5分．
13. ；14. 或或 ；15. ; 16.
选择题、填空题提示：
1. 复数，所以虚部为 。 选D
2. A中非奇非偶；B中是偶函数；C中在分别是减函数，但在定义域上不是减函数；D中是奇函数且在R上是减函数。选D
3. ，又，
所以，。选A
4.双曲线a=2,b=1,c=,它的左右焦点分别是，，由定义有所以 ，。选A
6. 法一：的图像向右平移个单位得新函数 ，由得对称轴为，，取，得为所求。选A
法二：由，得对称轴为，，图像向右平移个单位得对称轴为，取，得为所求。
7. 答案：C由已知把第二个及第三个学校的学生看做整体得同校学生排在一起共种方法，而三个学校的学生随便排有种方法，由古典概型的概率计算公式得所求概率：
，故选C．
8．第1次运算：，；第2次运算：
，；第3次运算：
，；是周期为3的周期数列，， ；所以 满足要求。选B
9.该几何体是三棱柱砍掉一角而成的，体积为，选B
10．的展开式通项为
，若存在常数项，则有整数解，故，n必为5的倍数，选C
11.
又 。选D
12．提示：令 ，则是与复合函数，，当是增函数，时有最小值，
所以 ； ，
所以 ，这时“囧函数”为它与函数与函数
在同一坐标系内的图象如图所示，图像交点个数为4 ，选C
13. 如图，长方体中，AC＝12，
它外接球直径2R＝，
外接球的表面积为。
14.建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为，
则点A（40，30）在抛物线上， （）
15. 表示的平面区域如图，表示区域内点
与点M（-1，0）的距离的平方，由图知：最大；
M到直线的距离的平方最小。
16．令AC=AD=1，CD=x > 0 , 则 AB=3 ， BC= 3x ，

三、解答题：
17. 解：(1) 解法1：
设的公差为，则
为单调递增的等差数列 且 ………1分
由得解得 ………4分
………5分
………6分
解法2：设的公差为，则
为单调递增的等差数列 ………1分
由得解得 ………5分
………6分
（2） ………7分
由①
得② ………8分
① -②得， ……9分
又不符合上式 ………10分
当时,
………11分
又符合上式 , ………12分
18解： (1)由题意，得 ………2分
解得 ………3分
50个样本中空气质量指数的平均值为
………5分
可估计2015年这一年度空气质量指数的平均值约为24.6 …………6分
(2）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则 。的可能取值为0，1，2， …………7分

的分布列为：

0
1
2

……………10分
.(或者)。 ……………12分
19．解：(1)证明：如图19-1
………1分
………2分
而
………………3分

………5分
………6分
(2)法1：如图19-2，设的中点为，连结，，.
易知所以四点共面
,分别为，，的中点
………7分
同理 又…8分
二面角即为平面与平面所成的锐二面角 ……9分
,, ……10分
且
就是平面与平面所成锐二面角的一个平面角 …11分
………12分
法2：如图19-3，设的中点为，连结，，.作于点
易知所以四点共面 ………7分

又 ………8分
………9分
又由(1)知
的法向量 …10分

………11分
设平面与平面所成锐二面角的大小为，则
………12分
法3：如图19-4，
………1分
又 ………2分
建立如右图所示坐标系,则
,,,

, ………4分
(1) ………5分
………6分
(2) 设的一个法向量为,则
由得 ………7分
解得 ………8分
又 而，
平面，为平面的一个法向量 ………10分
………11分
平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值为 ………12分
20．解：(1) 由直线： 与圆 相切得：
， ……………2分
由 得 ， ……………3分
又 ……………4分
椭圆C的方程为 ……………5分
(2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为
y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， …………6分
则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0，
且x1＋x2＝，x1x2＝. ……………7分
故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
所以·＝＝k2， …………8分
即＋m2＝0， 又m≠0，所以k2＝，即k＝±. …………9分
由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ>0得0<m2<2且m2≠1. ………10分
S△OPQ＝|x1－x2||m|＝ ， ………………11分
（ 或S△OPQ）
所以S△OPQ的取值范围为(0,1)． ……………………12分
21 解：（1）当时，
解法1：因为为偶函数，当时，， ……1分
， ……2分
设切点坐标为，则切线斜率为
切线方程为 ……3分
又切线过（0，0），所以 ……4分
，切线方程为 ，即 ……5分
解法2：当时， ，， 了 ……1分
设过原点与相切的直线为L，设切点坐标为，
则切线L斜率为 切线方程为 ……2分
又切线过（0，0），所以 ……3分
，切线方程为 ， ……4分
为偶函数，图像关于y轴对称，
∴当时，设过原点与相切的直线方程为
即 ……5分
（2）因为任意，都有，故x=1时，
当时，，从而，∴
当时，，从而，
∴ ，综上 ， ……………6分
又整数，即，故，故x=m时，
得：， 即存在，满足 ……………7分
∴ ，即， ……………8分
令，，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增， ……………9分
又，，，
由此可见，方程在区间上有唯一解，
且当时，当时，
，故，此时. ……………10分
下面证明：对任意恒成立，
①当时，即，等价于，
，∴， ……………11分
②当时，即，等价于
令，则，在上递减，在上递增，
∴，而，
综上所述，对任意恒成立。 ……………12分
22.解： (I) 证法1：如图22-1
由切割线定理得
……………1分
……………2分
……………3分
……………4分
= ， 为的角平分线 ……………5分
证法2：如图22-1
由切割线定理得 ……………1分
……3分
……4分
为的角平分线 ……………5分
(2）法1：如图22-2连结并延长交圆于点,连结,
设延长线上一点为,则AE为圆O直径，
直线与圆O相切于点C. ，
（等角的余角相等）
…………6分
（相等的圆周角所对的弦相等） …………7分
…………8分
…………9分
圆的直径为4 …………10分
法2：如图22-3,连结和,则
……………6分
又 ……………7分
， ……………8分
，又
四边形AOCB为菱形 ……………9分
圆的直径为 ………10分
法3：由证法2得，……………8分

……………9分
如图22-4 连结OB ，
为等边三角形，
圆的直径为 ……………10分
23．解：（1）设点P的直角坐标系坐标为，则
得 ：P（4，4）。 ……2分
……4分
点P在曲线C 外。 ……5分
(2）法1：因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为 ， ……6分
从而点Q到直线的距离为 ……7分
……8分
当时，Q到直线的距离的最小值为 ……9分
当时，Q到直线的距离的最大值为 ……10分
法2：直线的平行线n方程可设为：x+y+t=0 ……6分
联立得 ，即 ……7分
……8分
曲线C的两切线方程为 与
点Q到直线的距离的最大值为 ……9分
点Q到直线的距离的最小值为 ……10分
24解：
(1)解法1：时, 即为可化为
……………3分
解得 ……………4分
所以不等式的解集为R ……………5 分
解法2：令,则 ……………3分

所以 ……………4分
所以不等式的解集为R ……………5分
(2）解： ……………6分
① 时，这时的解集为,
满足, 所以 ……………7分
②当时,
这时即可化为
所以 ……………8分
因为
所以即即
所以 ……………9分
又因为 所以
综合①②得实数的取值范围为 ……………10分

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