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1984年全国统一高考数学试卷（理科）

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1．（3分）数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k±1）π，k是整数}之间的关系是（　　）

A．
X⊂Y
B．
X⊃Y
C．
X=Y
D．
X≠Y

2．（3分）如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（　　）

A．
F=0，G≠0，E≠0
B．
E=0，F=0，G≠0
C．
G=0，F=0，E≠0
D．
G=0，E=0，F≠0

3．（3分）如果n是正整数，那么的值（　　）

A．
一定是零
B．
一定是偶数

C．
是整数但不一定是偶数
D．
不一定是整数

4．（3分）arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件是（　　）

A．
x∈（0，1]
B．
x∈（﹣1，0）
C．
x∈[0，1]
D．

5．（3分）如果θ是第二象限角，且满足，那么（　　）

A．
是第一象限角

B．
是第三象限角

C．
可能是第一象限角，也可能是第三象限角

D．
是第二象限角

二、解答题（共15小题，满90分）
6．（4分）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．

7．（4分）函数log0.5（x2+4x+4）在什么区间上是增函数？

8．（4分）求方程的解集．

9．（4分）求式子（|x|+﹣2）3的展开式中的常数项．

10．（4分）求的值．

11．（4分）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．

12．（6分）设画出函数y=H（x﹣1）的图象．

13．（6分）画出极坐标方程的曲线．

14．（12分）已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．

15．（12分）设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程在什么情况下有解，有解时求出它的解．

16．（12分）设p≠0，实系数一元二次方程z2﹣2pz+q=0有两个虚数根z1，z2、再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2，求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．

17．（9分）求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程．

18．（12分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值．

19．（12分）设a＞2，给定数列{xn}，其中x1=a，求证：
（1）xn＞2，且；
（2）如果a≤3，那么．

20．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．

1984年全国统一高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1．（3分）数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k±1）π，k是整数}之间的关系是（　　）

A．
X⊂Y
B．
X⊃Y
C．
X=Y
D．
X≠Y

考点：
集合的包含关系判断及应用．
分析：
题中两个数集都表示π的奇数倍的实数，根据集合的相等关系得这两个数集的关系．
解答：
解：∵数集X={（2n+1）π，n是整数}
∴其中的元素是π的奇数倍．
∵数集Y={（4k±1）π，k是整数}
∴其中的元素也是π的奇数倍．
∴它们之间的关系是X=Y．
故选C．
点评：
本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间相等的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．

2．（3分）如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（　　）

A．
F=0，G≠0，E≠0
B．
E=0，F=0，G≠0
C．
G=0，F=0，E≠0
D．
G=0，E=0，F≠0

考点：
圆的一般方程．
分析：
圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E≠0
解答：
解：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E≠0．
故选C．
点评：
本题考查圆的一般式方程，直线与圆的位置关系，是基础题．

3．（3分）如果n是正整数，那么的值（　　）

A．
一定是零
B．
一定是偶数

C．
是整数但不一定是偶数
D．
不一定是整数

考点：
进行简单的合情推理．
专题：
分类讨论．
分析：
这是一个简单的合情推理问题，我们可以对n的取值进行分类讨论，并加以简单的证明，不难得到正确的答案．
解答：
解：∵n是正整数
①当为为奇数时，n2﹣1必为8的整数倍，不妨令n2﹣1=8Z，Z∈N*
则=2Z，Z∈N*
即此时的值为偶数．
②当为为偶数时，1﹣（﹣1）n=0
则=0
故的值一定是偶数
故选B
点评：
这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．

4．（3分）arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件是（　　）

A．
x∈（0，1]
B．
x∈（﹣1，0）
C．
x∈[0，1]
D．

考点：
反三角函数的运用．
专题：
计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．
分析：
充分考虑arccosx的范围，推出arccos（﹣x）的范围，然后确定arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件
解答：
解：∵arccosx∈[0，π]，
（1）arccosx∈[0，）时，x∈∈（0，1]，arccos（﹣x）∈（，π]＞arccosx，
（2）arccosx∈（，π]时，x∈[﹣1，0），arccos（﹣x）∈[0，）＜arccosx，
（3）arccosx=时 x=0，arccosx==arccos（﹣x），
故选A．
点评：
本题考查反三角函数的运用，考查分类讨论的思想，是基础题．

5．（3分）如果θ是第二象限角，且满足，那么（　　）

A．
是第一象限角

B．
是第三象限角

C．
可能是第一象限角，也可能是第三象限角

D．
是第二象限角

考点：
半角的三角函数．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先根据θ的范围确定的范围，再由可确定的大小关系，进而确定的象限．
解答：
解：∵θ是第二象限角∴∴（k∈Z）
∴当k为偶数时，在第一象限；当k为奇数时，在第三象限；
∵==
∴
∴是第三象限角
故选B．
点评：
本题主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函数的基本关系．属基础题．

二、解答题（共15小题，满90分）
6．（4分）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．

考点：
棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：
计算题；分类讨论．
分析：
圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，可以有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．
解答：
解：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，
当母线为4时，圆柱的底面半径是此时圆柱体积是
当母线为2时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是
综上所求圆柱的体积是：或．
点评：
本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，是基础题．容易疏忽一种情况．

7．（4分）函数log0.5（x2+4x+4）在什么区间上是增函数？

考点：
对数函数的单调性与特殊点．
专题：
计算题．
分析：
本题是一个复合函数，故应依据复合函数的单调性来判断其单调性，先求出定义域，判断出外层函数与内层函数的单调性，再依规则来判断即可．
解答：
解：令x2+4x+4＞0，得x≠﹣2，由t=x2+4x+4知，其对称轴为x=﹣2
故内层函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，+∞）上是增函数．
因为外层函数的底数0.5＜1，故外层是减函数，欲求复合函数的增区间，只须求内层的减区间
故函数y=log0.5（x2+4x+4）在（﹣∞，﹣2）上是增函数．
答：函数y=log0.5（x2+4x+4）在（﹣∞，﹣2）上是增函数．
点评：
本题的考点是复合函数的单调性，考查了对数与二次函数的单调性的判断方法以及定义域的求法．

8．（4分）求方程的解集．

考点：
三角函数的化简求值．
专题：
计算题；数形结合．
分析：
利用平方关系和倍角公式对方程进行整理，根据一个周期内的正弦函数值求解，最后解集写出几何形式．
解答：
解：由题意知，，即1+sin2x=，
∴sin2x=﹣，则2x=+2nπ或﹣+2nπ（n∈Z），
解得x=+nπ或﹣+nπ（n∈Z），
∴所求方程的解集是：{x|x=+nπ，n∈Z}∪{x|x=﹣+nπ，n∈Z}
点评：
本题考查了三角函数方程的求解，即利用同角的基本关系、倍角公式、两角和差公式等等，对方程进行化简，再由三角函数在一个周期内的函数值和周期求出解集．

9．（4分）求式子（|x|+﹣2）3的展开式中的常数项．

考点：
二项式系数的性质．
分析：
解法一：利用分步乘法原理展开式中的常数项是三种情况的和，
解法二：先将利用完全平方公式化成二项式，利用二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项．
解答：
解法一：（|x|+﹣2）3=（|x|+﹣2）（|x|+﹣2）（|x|+﹣2）得到常数项的情况有：
①三个括号中全取﹣2，得（﹣2）3；
②一个括号取|x|，一个括号取，一个括号取﹣2，得C31C21（﹣2）=﹣12，
∴常数项为（﹣2）3+（﹣12）=﹣20．
解法二：（|x|+﹣2）3=（﹣）6．
设第r+1项为常数项，
则Tr+1=C6r•（﹣1）r•（）r•|x|6﹣r=（﹣1）6•C6r•|x|6﹣2r，得6﹣2r=0，r=3．
∴T3+1=（﹣1）3•C63=﹣20．
点评：
本题考查解决二项展开式的特定项问题的重要工具有二项展开式的通项公式；还有分步乘法原理．

10．（4分）求的值．

考点：
极限及其运算．
专题：
计算题．
分析：
分子、分母同时除以3n，原式转化为，由此能求出的值．
解答：
解：==0．
点评：
本题考查数列的极限和运算，解题时要注意合理地进行等价转化．

11．（4分）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．

考点：
排列、组合及简单计数问题．
专题：
计算题．
分析：
首先分析两个舞蹈节目不得相邻的排列法，可以猜想到用插空法求解，然后分别求出舞蹈节目的排法及歌唱节目的排法，相乘即可得到答案．
解答：
解：此题采用插空法，因为任何两个舞蹈节目不得相邻，即可把6个歌唱节目每个的前后当做一个空位，共有7个空位，只需把舞蹈节目安排到空位上就不会相邻了，共有P74种排法，舞蹈节目排好后再排歌唱节目共有A66种
所以共有种P74•A66排法，
答案为P74•A66．
点评：
此题主要考查排列组合及其简单的计数问题，对于不相邻这种类型题目的求解，要想到可以用插空法求解，这种解题思路非常重要，要很好的理解记忆．

12．（6分）设画出函数y=H（x﹣1）的图象．

考点：
分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象．
分析：
考查函数图象的变化，y=H（x﹣1）的图象是由y=H（x）的图象向右平移一个图象得到的．故可以先画出H（x）的图象然后再向右平移1个单位得到H（x﹣1）的图象．
解答：
解：

点评：
考查函数图象的平移问题．记y=f（x），则y=f（x+1），y=f（x﹣1），y=f（x）+1，y=f（x）﹣1的图象，是由y=f（x）图象分别向左，向右，向上，向下平移1个单位得到的．

13．（6分）画出极坐标方程的曲线．

考点：
简单曲线的极坐标方程．
专题：
作图题．
分析：
先将方程化简一下，然后根据极坐标方程的几何意义进行画图即可．
解答：
解：方程
∴ρ﹣2=0或θ﹣=0，即ρ=2表示圆心在极点，半径为2的圆
θ=表示极角为的射线
画出图象即可．

点评：
本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及作图能力的考查，属于基础题．

14．（12分）已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．

考点：
平面与平面之间的位置关系．
专题：
证明题；综合题．
分析：
三个平面两两相交，有三条交线，这三条交线交于一点，或互相平行．证明时要分三条交线交于一点，和三条交线互相平行两种情况；（1）证三线交于一点时，先由两线交于一点，再证这一点也在第三条直线上；（2）证三线平行时，先由两线平行，再证第三条直线与这两条平行线中的任一条直线平行即可．
解答：
证明：设三个平面为α，β，γ，
且α∩β=c，α∩γ=b，β∩γ=a；∵α∩β=c，α∩γ=b，∴c⊂α，b⊂α；
∴c与b交于一点，或互相平行．
（1）如图①，若c与b交于一点，可设c∩b=P．
由P∈c，且c⊂β，有P∈β；又由P∈b，b⊂γ，有P∈γ；∴P∈β∩γ=a；
所以，直线a，b，c交于一点（即P点）．
图①； 图②
（2）如图②，若c∥b，则由b⊂γ，且c⊄γ，∴c∥γ；又由c⊂β，
且β∩γ=a，∴c∥a；所以a，b，c互相平行．
点评：
本题考查了空间中的直线平行，或相交的证明，特别是几何符号语言的应用，是有难度的问题．

15．（12分）设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程在什么情况下有解，有解时求出它的解．

考点：
对数的运算性质；对数函数图象与性质的综合应用；根的存在性及根的个数判断．
分析：
先将对数式转化为指数式，再根据对数函数的真数大于0，底数大于0且不等于1找到方程有根的等价条件后可解题．
解答：
解：原方程有解的充要条件是：

由条件（4）知，所以cx2+d=1再由c≠0，可得
又由及x＞0，知，
即条件（2）包含在条件（1）及（4）中
再由条件（3）及，知x≠1
因此，原条件可简化为以下的等价条件组：
由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立：
①c＞0，1﹣d＞0，即c＞0，d＜1；
②c＜0，1﹣d＜0，即c＜0，d＞1、
再由条件（1）（5）及（6）可知c≠1﹣d
从而，当c＞0，d＜1且c≠1﹣d时，
或者当c＜0，d＞1且c≠1﹣d时，
原方程有解，它的解是
点评：
本题主要考查对数式与指数式的互化和方程根的判定．属中档题．

16．（12分）设p≠0，实系数一元二次方程z2﹣2pz+q=0有两个虚数根z1，z2、再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2，求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．

考点：
复数的基本概念；椭圆的简单性质．
专题：
计算题．
分析：
由题意两个虚数根z1，z2是共轭复数，可得椭圆的短轴长：2b=|z1+z2|=2|p|，焦距为2c=|z1﹣z2|，然后求出长轴长．
解答：
解：因为p，q为实数，p≠0，z1，z2为虚数，
所以（﹣2p）2﹣4q＜0，q＞p2＞0
由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，
所以椭圆短轴在x轴上，又由椭圆经过原点，
可知原点为椭圆短轴的一端点
根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，
可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|，
焦距离=2c=|z1﹣z2|=，
长轴长=2a=
点评：
本题考查复数的基本概念，椭圆的基本性质，是小型综合题，考查学生分析问题解决问题的能力．

17．（9分）求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程．

考点：
椭圆的标准方程；轨迹方程．
分析：
先确定椭圆的位置，设左定点的坐标为A（x，y），然后根据离心率的含义得到左焦点的坐标，根据椭圆的第二定义确定方程．
解答：
解：因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，
所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴
设椭圆左顶点为A（x，y），因为椭圆的离心率为，
所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的，
从而左焦点F的坐标为
设d为点M到y轴的距离，则d=1
根据及两点间距离公式，可得

这就是所求的轨迹方程
点评：
本题主要考查椭圆方程的第二定义，平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合．

18．（12分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值．

考点：
三角函数的最值；正弦定理．
专题：
计算题．
分析：
利用正弦定理可求得，进而根据题设等式求得整理求得A+B=判断出三角形为直角三角形，进而可利用勾股定理求得a和b，利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p的坐标，表示出，S=|PA|2+|PB|2+|PC|2，利用x的范围确定S的范围，则最大和最小值可得．
解答：
解：由，运用正弦定理，有，
∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B．
因为A≠B，所以2A=π﹣2B，即A+B=
由此可知△ABC是直角三角形
由c=10，，a2+b2=c2以及a＞0，b＞0可得a=6，b=8．
如图，设△ABC的内切圆圆心为O'，
切点分别为D，E，F，则
AD+DB+EC=（10+8+6）=12．
但上式中AD+DB=c=10，
所以内切圆半径r=EC=2，
如图建立坐标系，
则内切圆方程为：
（x﹣2）2+（y﹣2）2=4
设圆上动点P的坐标为（x，y），
则S=|PA|2+|PB|2+|PC|2
=（x﹣8）2+y2+x2+（y﹣6）2+x2+y2
=3x2+3y2﹣16x﹣12y+100
=3[（x﹣2）2+（y﹣2）2]﹣4x+76
=3×4﹣4x+76=88﹣4x．
因为P点在内切圆上，所以0≤x≤4，
S最大值=88﹣0=88，
S最小值=88﹣16=72
点评：
本题主要考查了三角函数求最值的问题，直角三角形内切圆的问题，圆的性质问题．考查了学生基础知识的综合应用．

19．（12分）设a＞2，给定数列{xn}，其中x1=a，求证：
（1）xn＞2，且；
（2）如果a≤3，那么．

考点：
用数学归纳法证明不等式．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
（1）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式xn＞2当n=1时成立，再假设不等式xn＞2当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式xk+1＞2也成立，最后得到不等式xn＞2对于所有的正整数n成立；
（2）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式当n=1时成立，再假设不等式当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式也成立，最后得到不等式对于所有的正整数n成立；
解答：
证明：（1）①当n=1时，
∵=，
==2+，x1=a＞2，
∴2＜x2＜x1．
结论成立．
②假设n=k时，结论成立，即2＜xk+1＜xk（k∈N+），
则=＞xk+1，
=2+＞2．
∴2＜xk+2＜xk+1，
综上所述，由①②知2＜xn+1＜xn．
∴x n＞2且．
（2）由条件x1=a≤3知不等式当n=1时成立
假设不等式当n=k（k≥1）时成立
当n=k+1时，由条件及xk＞2知

≤0，
再由xk＞2及归纳假设知，
上面最后一个不等式一定成立，
所以不等式也成立，
从而不等式对所有的正整数n成立
点评：
数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．

20．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．

考点：
直线与圆的位置关系．
专题：
压轴题．
分析：
设AP的长为x，AM的长为y，用x表示y，并用复合函数求导法则对时间t进行求导．
解答：
解：如图，作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COA=θ，
由题意弧AC的长为，半径OC=1，可知θ=，考虑θ∈（0，π）．
∵△APM∽△DCM，∴．
∵DM=y﹣（1﹣cos），DC=sin，∴
∴．
上式两边对时间t进行求导，则y′t=y′x•x′t．
∴y′t=
当时，x′t=v，代入上式得点M的速度．

点评：
本题是难度较大题目，考查了弦长、弧度、相似、特别是复合函数的导数，以及导数的几何意义；
同时也考查了逻辑思维能力和计算能力．