2000-2017历年考研数学一真题(答案+解析).doc

(完整版)2000-2017历年考研数学一真题(答案+解析)
历年考研数学一真题1987-2017
（答案+解析）
（经典珍藏版）最近三年+回顾过去
最近三年篇（2015—2017）
2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试卷
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．设函数在上连续，其二阶导数的图形如右图所示，则曲线在的拐点个数为
（A)0 （B）1 (C）2 (D）3

【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点,以及一个二阶导数不存在的点．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选(C)
2．设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则
（A） (B）
(C） （D）
【详解】线性微分方程的特征方程为，由特解可知一定是特征方程的一个实根．如果不是特征方程的实根，则对应于的特解的形式应该为,其中应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得，同时是原来方程的一个解，代入可得应该选（A）
３．若级数条件收敛,则依次为级数的
（Ａ)收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点
(Ｃ）发散点,收敛点 （Ｄ）发散点，发散点
【详解】注意条件级数条件收敛等价于幂级数在处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为，即，所以的收敛半径，绝对收敛域为，显然依次为收敛点、发散点，应该选（B）
４．设D是第一象限中由曲线与直线所围成的平面区域，函数在D上连续，则（ ）
(Ａ）（Ｂ）　　　　
（Ｃ)　（Ｄ）　
【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程:

也就是D：
所以，所以应该选（B）．
5．设矩阵，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件是
（A） （B）
（C） (D）
【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：

方程组无穷解的充分必要条件是，也就是同时成立，当然应该选(D）．
6．设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若，则在下的标准形为
（A) （B）
（C） （D）
【详解】,

所以
故选择(A）．
7．若为任意两个随机事件，则（ ）
(A） （B）
（C） （D）
【详解】所以故选择(C）．
8．设随机变量不相关，且，则( ）
（A） (B) （C） (D）
【详解】
故应该选择（D）．
二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．
【详解】．
10． ．
【详解】只要注意为奇函数,在对称区间上积分为零，
所以
11．若函数是由方程确定，则 ．
【详解】设，则

且当时，，所以
也就得到
12．设是由平面和三个坐标面围成的空间区域，则
．
【详解】注意在积分区域内,三个变量具有轮换对称性，也就是

13．阶行列式 ．
【详解】按照第一行展开，得，有
由于，得．
14．设二维随机变量服从正态分布，则 ．
【详解】由于相关系数等于零，所以X，Y都服从正态分布，，且相互独立．
则．

三、解答题
15．（本题满分10分）设函数，在时为等价无穷小，求常数的取值．
【详解】当时，把函数展开到三阶的马克劳林公式,得

由于当时，是等价无穷小，则有，
解得，

16．（本题满分10分）
设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式．
【详解】在点处的切线方程为
令，得
曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积为

整理，得，解方程,得,由于，得
所求曲线方程为
17．（本题满分10分）
设函数，曲线，求在曲线上的最大方向导数．
【详解】显然．
在处的梯度
在处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模
所以此题转化为求函数在条件下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：
令
解方程组，得几个可能的极值点，
进行比较,可得，在点或处，方向导数取到最大，为
18．(本题满分10分）
（1）设函数都可导，利用导数定义证明；
(2）设函数都可导，，写出的求导公式．

【详解】（1）证明：设

由导数的定义和可导与连续的关系

(2）

19．（本题满分10分）
已知曲线L的方程为，起点为，终点为，计算曲线积分．
【详解】曲线L的参数方程为
起点对应，终点为对应．

20．(本题满分11分）
设向量组为向量空间的一组基，．
(1）证明：向量组为向量空间的一组基；
（2)当为何值时，存在非零向量，使得在基和基下的坐标相同，并求出所有的非零向量
【详解】（1）,
因为,且显然线性无关，所以是线性无关的，当然是向量空间的一组基．
(2)设非零向量在两组基下的坐标都是，则由条件

可整理得：，所以条件转化为线性方程组
存在非零解．
从而系数行列式应该等于零,也就是

由于显然线性无关，所以，也就是．
此时方程组化为，
由于线性无关，所以,通解为，其中为任意常数．
所以满足条件的其中为任意不为零的常数．
21．(本题满分11分）
设矩阵相似于矩阵．
（1）求的值；
（2）求可逆矩阵，使为对角矩阵．
【详解】（1)因为两个矩阵相似，所以有,．
也就是．
(2)由，得A，B的特征值都为
解方程组，得矩阵A的属于特征值的线性无关的特征向量为；
解方程组得矩阵A的属于特征值的线性无关的特征向量为
令,则
22．（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为
对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为次数．
求的分布函数；
（1） 求的概率分布；
（2） 求数学期望
【详解】（1）X进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为

显然Y的可能取值为
且
（2）设

23．（本题满分11分）
设总体的概率密度为

其中为未知参数，是来自总体的简单样本．
（1）求参数的矩估计量;
（2）求参数的最大似然估计量．
【详解】(1）总体的数学期望为

令，解得参数的矩估计量：．
(2）似然函数为

显然是关于的单调递增函数，为了使似然函数达到最大,只要使尽可能大就可以,所以
参数的最大似然估计量为

2016年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一）试卷
一、选择题：1～8小题,每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。
（1)若反常积分收敛，则（　）.
A. 且
B. 且
C。 且
D。 且
【答案】C
【解析】,而当时收敛，而此时不影响，，而当时收敛，此时不影响，因此选择C。
(2）已知函数，则的一个原函数是（　)。
A.
B.
C.
D。
【答案】D
【解析】对函数做不定积分可得原函数，,因此选择D。
（3）若是微分方程的两个解，则=（　）.
A.
B。
C。
D。
【答案】A
【解析】将代入微分方程可得：

而将代入微分方程可得：

将这两个式子相加可得:
两个式子相减可得：
因此可得
故选择A.
（4）已知函数，则(　）。
A。 是的第一类间断点
B。 是的第二类间断点
C。 在处连续但不可导
D. 在处可导
【答案】D
【解析】,因此在处连续，
，而，而，因此
，而左右两边的极限均为1，因此，故在可导,选择D.
(5）设是可逆矩阵,且与相似，则下列结论错误的是（　).
A。 与相似
B. 与相似
C. 与相似
D. 与相似
【答案】C
【解析】因为与相似，因此存在可逆矩阵，使得,于是有：
，即，
，因此，
，因此,
而C选项中，不一定等于，故C不正确，选择C。
(6）设二次型，则在空间直角坐标系下表示的二次曲面为（　)。
A.单叶双曲面
B.双叶双曲面
C.椭球面
D.柱面
【答案】B
【解析】二次型对应的矩阵，根据可以求得特征值为，，因此二次型的规范形为,故可得，即，因此对应的曲面为双叶双曲面,选择B。
(7）设随机变量，记，则（　)。
A。 随着的增加而增加
B。 随着的增加而增加
C. 随着的增加而减少
D. 随着的增加而减少
【答案】B
【解析】,因此选择B，随着的增加而增加。
(8)随机试验有三种两两不相容的结果,且三种结果发生的概率均为，将试验独立重复做2次,表示2次试验中结果发生的次数，表示2次试验发生的次数，则于的相关系数为（　）。
A。
B。
C.
D。
【答案】
【解析】根据题意可知,因此有
,

因此可得,故可得相关系数为：

二、填空题，9～14小题,每小题4分，共24分，请将答案写在答疑纸指定位置上.
（9）________________.
【答案】
【解析】

(10)向量场的旋度________________.
【答案】
【解析】由旋度公式可得
（11)设函数可微，由方程确定，则________________。
【答案】
【解析】将两边分别关于求导可得：
，
。
将代入原式可得，因此将代入关于求导的式子可得：
，因此,代入关于求导的式子可得：，因此有，故可得.

（12)设函数,且，则________________。
【答案】
【解析】根据，可得：
，然后求二阶导数为:

此时（存疑）
(13）行列式________________.

【答案】
【解析】。
(14）设为来自总体的简单随机样本，样本均值，参数的置信度为0。95的双侧知心区间的置信上限为10。8,则的置信度为0。95的双侧置信区间为________________。
【答案】
【解析】，
因为，所以,因此可得，故可得置信区间为.
三、解答题：15～23小题,共94分。请将解答写在答题纸指定位置上,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）(本题满分10分）
已知平面区域,计算二重积分。
【答案】
【解析】

(16）(本题满分10分）
设函数满足方程，其中.
(Ⅰ)证明：反常积分收敛；
（Ⅱ)若，求的值。
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ)特征方程为，由可知，特征方程有两个不同的实根，即且，因此二阶常系数齐次线性方程的解为：,故可得

因此收敛。
(Ⅱ）由，可得：
，解得
代入可得

（17）（本题满分10分）
设函数满足，且，是从点到点的光滑曲线，计算曲线积分，并求的最小值。
【答案】3
【解析】
根据可得：

又故可知，因此
所以,

设，则有
因此，因此积分与路径无关
故

因为，所以，令可得
而，因此，因此当有最小值为.
（18)(本题满分10分）
设有界区域由平面与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分。
【答案】
【解析】
，令
由高斯公式可知：

（19）（本题满分10分）
已知函数可导，且。设数列满足,证明：
(Ⅰ）级数绝对收敛；
（Ⅱ)存在，且.
【答案】利用绝对收敛定义证明即可。
【解析】
(Ⅰ）证：，因此有

显然收敛，因此绝对收敛。
（Ⅱ）记，因此得,因为级数收敛，因此存在,因此存在,不妨设,
，由可得
,两边取极限可得，即
若，这与矛盾,若，与矛盾，因此可得，即。

（20）（本题满分11分）
设矩阵。
当为何值时，方程无解、有唯一解、有无穷多解?在有解时，求解此方程。
【答案】时，无解；时,有无穷多解，；
且时，有唯一解，
【解析】
增广矩阵为
因此当即且时，有唯一解；
设,代入，解得
当代入
设，因此可得，这两个式子是矛盾的,因此方程组无解；
当代入，此时方程组有无穷多解，将代入可得，解得,不妨设为自由未知量，则可得

(21）(本题满分11分）
已知矩阵
(Ⅰ)求；
（Ⅱ）设3阶矩阵满足.记，将分别表示成的线性组合.
【答案】（Ⅰ)
（Ⅱ）

【解析】
（Ⅰ）利用相似对角化,由得到特征值为，
当时,代入中，求解方程组的解就是特征向量，即
同理得到其他的两个特征向量分别为：对应的特征向量为，对应的特征向量为，
设，则有，因此可得
，根据矩阵可以求得其逆矩阵为
因此有

（Ⅱ)，因此可得、，所以

因此有

（22）(本题满分11分）
设二维随机变量在区域上服从均匀分布，令

（Ⅰ）写出的概率密度;
（Ⅱ）问与是否相互独立？并说明理解；
（Ⅲ)求的分布函数.
【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）与不独立，因为
（Ⅲ）的分布函数为：

【解析】
（Ⅰ）区域的面积为，因此服从均匀分布，因此有

（Ⅱ）与不独立

因此，故不独立。
（Ⅲ）

因此可得

（23）(本题满分11分)
设总体的概率密度为，其中为未知参数,为总体的简单随机抽样，令.
(Ⅰ）求的概率密度；
（Ⅱ）确定，使得为的无偏估计。
【答案】
（Ⅰ)的概率密度：

（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）根据题意，独立同分布，因此可得

当时，；
当时，;
当时,，因此可得概率密度函数为：

（Ⅱ），根据题意，如果为的无偏估计，则有
，因此可得。

2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一)试卷
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（1)若函数在连续，则（　）。
A。
B。
C。
D。
【答案】A
【解析】
由连续的定义可得,而
，，因此可得，故选择A。
（2）设函数可导，且，则（　）.
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】令，则有,故单调递增，则，即,即,故选择C。
（3）函数在点处沿向量的方向导数为（　)。
A。12
B。6
C.4
D。2
【答案】D
【解析】,因此代入可得，则有。
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10，20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s），则(　）。

A。
B.
C.
D。
【答案】C
【解析】从0到时刻，甲乙的位移分别为与,由定积分的几何意义可知，，因此可知。
(5）设为n维单位列向量,E为n维单位矩阵，则(　).
A. 不可逆
B. 不可逆
C. 不可逆
D。 不可逆
【答案】A
【解析】因为的特征值为0（n—1重）和1，所以的特征值为1（n-1重）和0，故不可逆。
（6)已知矩阵,则（　）。
A。A与C相似,B与C相似
B。 A与C相似，B与C不相似
C。 A与C不相似，B与C相似
D。 A与C不相似,B与C不相似
【答案】B
【解析】A和B的特征值为2，2，1，但是A有三个线性无关的特征向量，而B只有两个,所依A可对角化，B不可，因此选择B。
（7）设A,B为随机事件，若，且的充分必要条件是（　）。
A.
B。
C。
D。
【答案】A
【解析】
由得,即，因此选择A.
（8）设来自总体的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（　)。
A. 服从分布
B。 服从分布
C. 服从分布
D. 服从分布
【答案】B
【解析】，故，，因此，故，故B错误，由可得，，，则有,因此.
二、填空题:9～14小题,每小题4分,共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）已知函数,则=_________。
【答案】0
【解析】，因此
,代入可得。
（10）微分方程的通解为=_________。
【答案】
【解析】由，所以,因此，因此通解为：.
（11）若曲线积分在区域内与路径无关，则=_________。
【答案】－1
【解析】设，因此可得：
，根据，因此可得。
（12）幂级数在区间内的和函数=_________。
【答案】
【解析】。
（13）设矩阵，为线性无关的3维向量，则向量组的秩为_________。
【答案】2
【解析】因为，而
，因此，所以向量组的秩2.
（14)设随机变量X的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则=_________.
【答案】2
【解析】

因此可得。
三、解答题： 15～23小题,共94分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分)
设函数具有2阶连续偏导数,，求。
【答案】，
【解析】因为，所以,因此

因此得：

（16）（本题满分10分）
求
【答案】
【解析】由定积分的定义可知，
,然后计算定积分,

(17)（本题满分10分）
已知函数由方程确定，求的极值。
【答案】极大值为,极小值为。
【解析】对关于求导得：，
令得，因此，当时，,当时，.
对关于再次求导得：,将代入可得
当时,时，代入可得，当时，时,代入可得，因此有函数的极大值为，极小值为。

（18）（本题满分10分）
设函数在区间上具有2阶导数，且，，证明：
（Ⅰ）方程在区间内至少存在一个实根；
（Ⅱ）方程在区间内至少存在两个不同实根。
【答案】
（Ⅰ）证：因为，由极限的局部保号性知,存在,使得，而，由零点存在定理可知,存在，使得。
(Ⅱ)构造函数，因此，
因为，所以，由拉格朗日中值定理知，存在,使得，所以，因此根据零点定理可知存在,使得，所以，所以原方程至少有两个不同实根.
【解析】略
(19)（本题满分10分)
设薄片型物体时圆锥面被柱面割下的有限部分，其上任一点的弧度为,记圆锥与柱面的交线为,
（Ⅰ）求在平面上的投影曲线的方程；
（Ⅱ）求的质量.
【答案】（Ⅰ）;(Ⅱ）64。
【解析】(Ⅰ）的方程为,投影到平面上为
（Ⅱ），
因此有。
（20）（本题满分11分)
三阶行列式有3个不同的特征值，且，
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）如果，求方程组的通解。
【答案】(Ⅰ）略；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ)证:因为有三个不同的特征值，所以不是零矩阵，因此,若,那么特征根0是二重根，这与假设矛盾，因此，又根据,所以，因此。
(Ⅱ）因为，所以的基础解系中只有一个解向量，又,即，因此基础解系的一个解向量为。因为，故
的特解为，因此的通解为。

（21）（本题满分11分）
设在正交变换下的标准型为,求的值及一个正交矩阵.
【答案】，正交矩阵
【解析】
二次型对应的矩阵为,因为标准型为,所以，从而，即，代入得,解得；
当时，，化简得,对应的特征向量为；
当时，，化简得，对应的特征向量为；
当时，，化简得,对应的特征向量为；
从而正交矩阵。
（22)（本题满分11分）
设随机变量和相互独立，且的概率分布为，的概率密度为
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的概率密度.
【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由数字特征的计算公式可知：，则
（Ⅱ)先求的分布函数,由分布函数的定义可知:。由于为离散型随机变量，则由全概率公式可知

(其中为的分布函数：）
（23）（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做次测量,该物体的质量是已知的，设次测量结果相互独立，且均服从正态分布,该工程师记录的是次测量的绝对误差，利用估计
（Ⅰ）求的概率密度；
（Ⅱ)利用一阶矩求的矩估计量；
（Ⅲ)求的最大似然估计量.
【答案】
（Ⅰ）
(Ⅱ）
（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）因为,所以，对应的概率密度为，设的分布函数为,对应的概率密度为；
当时，；
当时，；则的概率密度为;
（Ⅱ)因为，所以，从而的矩估计量为；
(Ⅲ）由题可知对应的似然函数为，取对数得：，所以，令，得，所以的最大似然估计量为.
回顾过去篇（2000—2014）
2000年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分。把答案填在题中横线上)
(1）=_____________。
(2)曲面在点的法线方程为_____________.
（3)微分方程的通解为_____________。
(4）已知方程组无解,则= _____________。
（5）设两个相互独立的事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相等,则=_____________.

二、选择题（本题共5小题,每小题3分，满分15分。每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设、是恒大于零的可导函数,且,则当时,有
（A） (B)
(C） （D）
(2）设为在第一卦限中的部分，则有
(A） （B）
（C） （D)
(3）设级数收敛,则必收敛的级数为
(A） （B）
（C） (D）
(4）设维列向量组线性无关，则维列向量组线性无关的充分必要条件为
(A)向量组可由向量组线性表示
（B)向量组可由向量组线性表示
（C）向量组与向量组等价
(D）矩阵与矩阵等价
(5）设二维随机变量服从二维正态分布,则随机变量与 不相关的充分必要条件为
（A） (B)
（C) （D）

三、（本题满分6分)
求

四、（本题满分5分)
设,其中具有二阶连续偏导数具有二阶连续导数，求

五、(本题满分6分）
计算曲线积分,其中是以点为中心为半径的圆周取逆时针方向.

六、(本题满分7分）
设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面都有其中函数在内具有连续的一阶导数,且求.

七、（本题满分6分）
求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.

八、（本题满分7分)
设有一半径为的球体是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比(比例常数）,求球体的重心位置。

九、（本题满分6分）
设函数在上连续,且试证：在内至少存在两个不同的点使

十、（本题满分6分)
设矩阵的伴随矩阵且，其中为4阶单位矩阵，求矩阵。

十一、(本题满分8分）
某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为和记成向量
（1)求与的关系式并写成矩阵形式:
(2)验证是的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.
（3)当时，求

十二、(本题满分8分）
某流水线上每个产品不合格的概率为，各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修。设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为,求的数学期望和方差。

十三、(本题满分6分)
设某种元件的使用寿命的概率密度为，其中为未知参数。又设是的一组样本观测值,求参数的最大似然估计值.
2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试卷
一、填空题（本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上）
(1）设为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________。
（2），则= _____________.
(3)交换二次积分的积分次序：＝_____________.
(4)设，则= _____________。
(5）,则根据车贝晓夫不等式有估计 _____________。

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分。每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
(1)设函数在定义域内可导，的图形如右图所示,则的图形为

（A) (B）
（C) (D）
（2）设在点的附近有定义，且则
(A）
(B)曲面在处的法向量为
（C）曲线 在处的切向量为
（D)曲线 在处的切向量为
（3)设则在=0处可导
(A）存在 （B） 存在
（C)存在 （D）存在
(4)设，则与
(A）合同且相似 （B)合同但不相似
(C)不合同但相似 (D)不合同且不相似
(5）将一枚硬币重复掷次,以和分别表示正面向上和反面向上的次数， 则和相关系数为
（A) -1 （B）0
（C） (D）1

三、(本题满分6分)
求.

四、(本题满分6分)
设函数在点可微，且，,求.

五、(本题满分8分）
设 ，将展开成的幂级数，并求的和.

六、（本题满分7分）
计算，其中是平面 与柱面的交线，从轴正向看去为逆时针方向.

七、（本题满分7分）
设在内具有二阶连续导数且。证明:
（1)对于，存在惟一的，使 =+成立。
(2）。

八、(本题满分8分）
设有一高度为为时间）的雪堆在融化过程,其侧面满足方程(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比（系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间？

九、(本题满分6分）
设为线性方程组的一个基础解系,
,
其中为实常数,试问满足什么条件时也为的一个基础解系？

十、（本题满分8分）
已知三阶矩阵和三维向量,使得线性无关，且满足。
（1)记求使。
（2)计算行列式.

十一、(本题满分7分）
设某班车起点站上客人数服从参数为的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为且中途下车与否相互独立.为中途下车的人数,求:
（1)在发车时有个乘客的条件下,中途有人下车的概率。
(2)二维随机变量的概率分布。

十二、(本题满分7分）
设抽取简单随机样本
样本均值,，求
2002年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)
(1）= _____________.
(2）已知，则=_____________.
(3)满足初始条件的特解是_____________。
（4)已知实二次型经正交变换可化为标准型，则=_____________。
(5）设随机变量,且二次方程无实根的概率为0.5，则=_____________.

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分。每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）考虑二元函数的四条性质:
①在点处连续, ②在点处的一阶偏导数连续，
③在点处可微， ④在点处的一阶偏导数存在。
　 则有:
(A)②③①　 （B)③②①
(C)③④①　 (D）③①④
（2)设,且,则级数为
(A）发散 　　 (B)绝对收敛
(C）条件收敛 （D）收敛性不能判定。
(3）设函数在上有界且可导，则
(A)当时,必有 (B）当存在时,必有
（C) 当时,必有 （D） 当存在时,必有。
（4）设有三张不同平面,其方程为(）它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为

(5）设和是相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为和,分布函数分别为和，则
（A)＋必为密度函数 （B) 必为密度函数
(C）＋必为某一随机变量的分布函数 （D) 必为某一随机变量的分布函数。

三、（本题满分6分)
设函数在的某邻域具有一阶连续导数,且，当时,若,试求的值.

四、（本题满分7分）
已知两曲线与在点处的切线相同。求此切线的方程，并求极限.

五、（本题满分7分)
　　计算二重积分，其中.

六、(本题满分8分)
设函数在上具有一阶连续导数，是上半平面(>0)内的有向分段光滑曲线,起点为（）,终点为（)。
记，
(1)证明曲线积分与路径无关。
(2)当时,求的值。

七、（本题满分7分)
　　（1)验证函数()满足微分方程.
(2)求幂级数的和函数。

八、(本题满分7分）
设有一小山，取它的底面所在的平面为面，其底部所占的区域为，小山的高度函数为.
(1)设为区域上一点，问在该点沿平面上何方向的方向导数最大？若此方向的方向导数为,写出的表达式.
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在的边界线上找出使(1）中达到最大值的点.试确定攀登起点的位置。

九、（本题满分6分)
已知四阶方阵， 均为四维列向量,其中线性无关，.若,求线性方程组的通解。

十、(本题满分8分)
设为同阶方阵，
(1）若相似,证明的特征多项式相等。
　 （2）举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立。
　 (3）当为实对称矩阵时,证明（1)的逆命题成立。

十一、(本题满分7分)
设维随机变量的概率密度为
对独立地重复观察4次,用表示观察值大于的次数,求的数学期望。

十二、(本题满分7分）
设总体的概率分布为

0
1
2
3

其中(）是未知参数,利用总体的如下样本值 3,1，3，0，3,1,2，3.
求的矩估计和最大似然估计值.

2003年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一）试卷
一、填空题(本题共6小题，每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上）
(1) = 。
（2)曲面与平面平行的切平面的方程是 .
（3)设，则= 。
（4）从的基到基的过渡矩阵为 。
（5）设二维随机变量的概率密度为 ，则 .
（6）已知一批零件的长度(单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 （cm）,则的置信度为0.95的置信区间是 。
(注:标准正态分布函数值

二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1)设函数在内连续，其导函数的图形如图所示,则有
（A)一个极小值点和两个极大值点
（B）两个极小值点和一个极大值点
(C)两个极小值点和两个极大值点
（D)三个极小值点和一个极大值点

(2）设均为非负数列，且，,，则必有
（A)对任意成立 （B)对任意成立
(C）极限不存在 （D)极限不存在
(3）已知函数在点的某个邻域内连续,且,则
（A)点不是的极值点
（B)点是的极大值点
(C）点是的极小值点
(D）根据所给条件无法判断点是否为的极值点
（4)设向量组I：可由向量组II：线性表示,则
（A)当时，向量组II必线性相关 （B)当时，向量组II必线性相关
(C）当时,向量组I必线性相关 (D）当时，向量组I必线性相关
（5）设有齐次线性方程组和，其中均为矩阵，现有4个命题:
① 若的解均是的解，则秩秩
② 若秩秩，则的解均是的解
③ 若与同解，则秩秩
④ 若秩秩, 则与同解
以上命题中正确的是
（A）①② （B)①③
(C）②④ (D）③④
（6）设随机变量,则
(A） (B）
(C) （D)

三、(本题满分10分）
过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及轴围成平面图形.
（1）求的面积.
（2）求绕直线旋转一周所得旋转体的体积.

四、（本题满分12分）
将函数展开成的幂级数,并求级数的和.

五 、（本题满分10分）
已知平面区域，为的正向边界.试证：
（1).
(2)

六 、(本题满分10分)
某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为)。汽锤第一次击打将桩打进地下m。根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数。问
（1）汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深？(2）若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深？（注:m表示长度单位米.)

七 、(本题满分12分)
设函数在内具有二阶导数，且是的反函数.
（1）试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程.
（2）求变换后的微分方程满足初始条件的解.

八 、（本题满分12分)
设函数连续且恒大于零,
，,
其中,
（1）讨论在区间内的单调性.
（2)证明当时，

九 、（本题满分10分)
设矩阵，，，求的特征值与特征向量，其中为的伴随矩阵，为3阶单位矩阵.

十 、(本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为 , ， 。试证这三条直线交于一点的充分必要条件为

十一 、(本题满分10分）
已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:
（1）乙箱中次品件数的数学期望。
（2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率。

十二 、(本题满分8分)
设总体的概率密度为

其中是未知参数。 从总体中抽取简单随机样本,记
(1)求总体的分布函数.（2)求统计量的分布函数。(3）如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性。
2004年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一）试卷
一、填空题(本题共6小题，每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
（1）曲线上与直线垂直的切线方程为__________ .