清华考研电路原理课件第章正弦电流电路的稳态分析.docx

清华大学 电路原理 电子课件
江辑光版

参考教材：
《电路原理》（第2版） 清华大学出版社，2007年3月 江辑光 刘秀成
《电路原理》 清华大学出版社，2007年3月 于歆杰 朱桂萍 陆文娟
《电路》（第5版）高等教育出版社，2006年5月 邱关源 罗先觉

第10章


正弦电流电路的稳态分析

本章重点

10. 1 正弦量的基本概念

10. 2 周期性电流、电压的有效值

10. 3 复数复习

10. 4 正弦量的相量表示

10. 5 电阻、电感和电容元件电
压电流的相量关系

本章重点

10. 6 基尔霍夫定律的相量形式
及电路的相量模型

10. 7 复阻抗、复导纳及其等效变换

10. 8 用相量法分析电路的正弦稳态响应

10. 9 正弦电流电路中的功率

10. 10 复功率

10. 11 最大功率传输定理

� 本章重点

·

·

·

·

·

·


正弦量的三要素，两个正弦量的相位差

正弦量的相量表示

复阻抗与复导纳

相量图

用相量法分析正弦稳态电路

正弦电流电路中的功率分析

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10.1 正弦量的基本概念

一、正弦量（sinusoid）的三要素

瞬时值（instantaneous value）表达式
i

+


u

_

i(t)=Imsin(ù t+ø)

波形


ø


i


0


ùT=2ð


ù t

Im , ù , ø ——正弦量的三要素

正弦量的三要素：

（1） 幅值（amplitude）（振幅、 最大值）Im：反映
正弦量变化幅度的大小。

（2） 角频率（angular frequency）ù ： 反映正弦量
变化的快慢。 ù =d(ù t+ø )/)/ddt为相角随时间变化的速度。

相关量：频率f （frequency）和周期T （period）。

关系:

物理量

角频率

频率

周期


ù = 2πf =

符号

ù

f

T

2 π

T


单位名称

rad/s ，弧度/秒
1/s Hz，1/秒 赫[兹]
s，秒

（3） 初相位（initial phase angle）ø ：反映了正弦量的
计时起点。

（ùt+ø）— 相位角。

（ùt+ø）|t=0=ø — 初相位角，简称初相位。
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。

i

ø


0


ùt


一般规定：|ø |≤ð 。

ø =0 ø =ð/2 ø =-ð/2

二、相位差（phase difference）：两个同频率正弦量相位角之差。
设电压u(t)=Umsin(ù t+øu), 电流 i(t)=Imsin(ùt+øi)
则 电压、电流间的相位差为
ϕ = (ù t+ø u)-(ù t+ø i)=ø u-ø i

· ϕ >0
电压 领先（超前）电流ϕ 角，或电流 落后（滞后) 电压

ϕ 角（u 比 i 先到达最大值）；
u, i
u
i

0
ø u ø i
ϕ


ù t

· ϕ <0

电流领先（超前）电压⎟ϕ ⎟角，或电压 落后（滞后）

电流 ⎟ϕ ⎟ 角（i 比 u 先到达最大值）。

特例：


u, i


u

ϕ =0， 同相（in phase）


0

i


ù t

ϕ =ð ，反相（opposite in phase）

u, i
u

0


i ù t

ϕ = ð/2，正交

u, i

u

i

0

ù t

同样可比较两个电压或两个电流的相位差。

规定： |ϕ | ≤ð 。

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10.2 周期性电流、电压的有效值

一、 有效值（effective value）的定义

周期性电流i 流过电阻R在一周期T 内消耗的电能，等于
一直流电流I 流过R在时间T 内消耗的电能，则称电流 I 为周期
性电流 i 的有效值。

电流有效值的数学描述：

周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内消耗的电能为
i(t)

R


T
W1 = ∫0 i 2 (t )Rdt

直流电流I 流过R , 在时间T 内消耗的电能为

I

R


W2=I 2RT

令W 2 = W1 ,


即


def
I =


2


T

0

1 T 2
T

有效值也称方均根值（root-mean-square，简记为 rms）。

同样，可定义电压有效值

def
U =


1 T 2
T

∫0i(t)dt
∫0u(t)dt

例 正弦周期电压如图所示。求其有效值U。

u(t)/V

2

1

0


1 2 3 4 5 6


t/s

解 根据有效值的定义，有

U =

=


1 T 2

T

3 ⎝ ⎠


2 3


2 2

∫0u(t)dt
1⎛12
⎜∫01dt+∫12dt+∫20dt⎞⎟=1.29V

二、正弦电流、电压的有效值

设电流 i(t)=Imsin(ù t+øi)

I =


1 T 2

∵


∫0


T


2


0


1 − cos 2(ùt +ø i )
2


1
dt = T
2

∴ I =


1 2 T
I m ⋅
T 2


=


I m

2


= 0.707 I m

或

即

I m = 2 I

i(t ) = I m sin(ùt + ø i ) = 2 I sin(ùt + ø i )

sin(ùt+øi)dt=∫

同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系

U =

1

2


U m


或


U m = 2U

若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um≈311V；

U=380V，

Um≈537V。

* 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。

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10.3 复数复习

一、 复数（complex）A表示形式

直角坐标

Im
b


A=a+jb （j = − 1 为虚数单位）

A

0


a


Re

极坐标


A=|A|ejè =|A| ∠è


Im
b


A

è

O
a
Re

两种表示法的关系：

⎧ | A |= a 2 + b 2
⎪
⎨ b
⎪ θ = arctan
⎩ a

二、复数运算


或


⎧ a =| A | cosè
⎨
⎩ b =| A | sinè

1. 加减运算—直角坐标


Im


A1+A2

若

则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2

A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)


0
A2


A1


Re

图解法：用平行四边形法则进行加减运算。

2. 乘除运算—极坐标

若

则

A1=|A1| è 1 ，若A2=|A2| è 2

A1 A2 = A1 ∠è 1 A2 ∠è 2 = A1 e jè 1 A2 e jè 2

= A1 A2 e j(è 1 +è 2 ) = A1 A2 ∠è 1 + è 2

A1
A2


=

| A1 |∠è 1
| A2 |∠è 2


=

| A1 | e jè 1
jè 2


=


| A2 |


e


=

| A1 |
| A2 |


∠è 1 − è 2

乘法：模相乘，角相加；

除法：模相除，角相减。

例1


5 ∠47° + 10∠−25 °= (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226)

=12.47-j0.567 = 12.48 ∠-2.61°

|A2|e
|A1|j(è1−è2)

例2


220 ∠35° +


(17 + j9) (4 + j6)

20 + j5

= 180.2 + j126.2 +
19 .24∠27.9° × 7. 211∠56.3°

20.62∠14.04°

= 180.2 + j126.2 + 6.728∠70.16°

= 180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329

= 182.5 + j132.5 = 225.5∠36°

3. 旋转因子

复数 ejè =cosè +jsinè =1∠è

A· ejè 相当于A逆时针旋转一个角度è ，而模不变。故
把 ejè 称为旋转因子。

ejð/2 =j , e-jð/2 = -j, ejð= –1 故 ++j,j, –j, -1 都可以看成旋转因子。

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10.4


正弦量的相量表示

一、正弦量的相量（phasor）表示

设有一正弦电流

i = I m sin(ùt + ø ) = 2 Isin(ùt + ø )

作一个复函数A(t)，并应用欧拉公式，有

A(t ) = 2 Ie j(ùt +ø )

= 2Icos(ùt + ø ) + j 2 Isin(ùt + ø )

可见


i(t ) = 2Isin(ùt + ø )

= Im[ A(t )] = Im[ 2 Ie j(ùt +ø ) ]

= Im[ 2 ( Ie jø )e jùt ]
= Im[ 2 İe jùt ]

上式中


İ = Ie jø = I∠ø

İ = I∠ ø 即正弦量 i ( t )所对应的相量。

在确定的频率下，一个正弦时间函数可与一相量建立
一一对应关系：

i(t ) = 2 I sin(ùt + ø ) ⇔ İ = I∠ø

同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：

u(t ) = 2U sin(ùt + θ ) ⇔ U̇ = U∠θ

旋转相量(rotating phasor)与正弦时间函数对应关系的几何意义：

jø

为ø 的旋转相量。

正弦时间函数 i = I m sin(ùt + ø ) =


2 Isin(ùt + ø )

是旋转相量 2 Ie j(ù t +ø

)

在虚轴上的投影。

2İejùt=2Ieejùt=2Iej(ùt+ø)是模为2I,初始角度

例1 已知

i = 141.4 sin( 314t + 30°)A

u = 311.1sin(3 14t − 60°)V

试用相量表示 i , u 。

解


İ = 100∠30°A
U̇ = 220∠ − 60°V

例2 已知


İ = 50∠15°A , f = 50Hz。

试写出电流的瞬时值表达式。

解


i = 5 2sin( 314t + 15°) A

二、相量运算

1. 同频率正弦量相加减
u1 (t ) = U m1 sin(ù t +ø 1 ) = Im( 2U1e jù t )

u2 (t ) = U


m2


2 2

jù t

u(t ) = u1 (t ) + u2 (t )

jù t

jù t jù t

∴ U̇ = U̇ 1 + U̇ 2

故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。

i1 ± i2 = i3

İ1 ± İ 2 = İ 3

̇
sin(ùt+ø)=Im(2U̇e)
=Im(2U1e)+Im(2U2ejùt)
=Im(2U1ejùt+2U2e)=Im(2(U1+U2)e)

例


已知u1 (t ) = 3 2sin314t V，u2 (t ) = 4 2sin(314t + 90°) V

求 u(t ) = u1 (t ) + u2 (t )。

解 U̇ 1 = 3∠0o V , U̇ 2 = 4∠90� V

U = U 1 + U 2 = 5∠53.1° V

u(t ) = u1 (t ) + u2 (t ) = 5 2sin(314t + 53.1°) V

相量图（phasor diagram）

在复平面上用有向线段表示相量的图形称为相量图。

有向线段的长度为相量的模；有向线段与实轴的夹角为

相量的辐角，且逆时针方向为正，顺时针方向为负。

同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。

̇̇̇

例


i1 = 2 I 1sin(ùt + ø 1 ) ⇔ İ1 = I 1∠ø 1

i 2 = 2 I 2sin(ùt + ø 2 ) ⇔ I 2 = I 2∠ø 2

Im


İ2


İ1 + İ2

0


ø2


ø1


İ1

Re

− İ2
İ1 − İ2

̇

2. 正弦量的微分，积分运算

i ↔ İ
u ↔ U̇

证明

di ↔ jùİ
dt


∫

udt ↔ 1 U̇
jù

dt dt


= Im[ ddt ( 2İe jùt )]
= Im[ 2 (jù İ) e jùt ]


2U sin(ùt +ø )dt

ù
= ùU sin(ùt +ø − ð )
2

= Im[ ù2U e j(ù t +ø −ð / 2 ) ]

= Im[ 2
U̇

jù


e jù t ]

di=dIm[2İejùt]
∫udt=∫
=−2Ucos(ùt+ø)
2

三、相量法的应用

求解正弦电流电路的稳态解（微分方程的特解）。

例

i(t)

+
u(t)
-


R


L


u(t ) = U m sin(ùt + ø u )
di(t )
u(t ) = Ri(t ) + L dt


一阶常系数
线性微分方程

自由分量（齐次方程解）： Ae-R/L t

强制分量（特解）：Imsin(ù t+ø i)

U m sin(ωt + ψu ) = RI m sin(ωt + ψi ) + ωLI m cos(ωt + ψi )

= ( RI m )2 + (ωLI m )2 sin(ωt + ψi + θ )

2


2


⇒ I m =


U m

R 2 + ω 2 L2

ù t+øu= ù t+ øi+è

ø i= øu− è

è =arctan(ùL/R)


R 2 + (ωL) 2

è
R


ù L

i =


2 2 2

2U


sin(ùt + ø u − arctan

ùL

R


)

用相量法求：

u(t ) = Ri(t ) + L

U̇ = Rİ + jùLİ
di(t )

dt

̇I =
U̇

R + jùL


=


2 2 2

U∠ø u


ùL

R

i =


2 2 2

2U


sin(ùt +ø u − arctan

ùL

R


)


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10.5


电阻、电感和电容元件的电压电流的相量关系

一、电阻（resistor）
时域形式

i(t)

已知 i(t ) = 2 I sin(ùt + ø i )

+
uR(t)


R

则

u R (t ) = Ri(t ) = 2 RI sin(ùt + ø i )

-


İ
相量形式
İ = I∠ø i

+
U̇ R
-


R
U̇ R = Rİ = RI∠ø i

有效值关系 UR=RI

相量模型

相位关系

øu= øi （u , i 同相）

波形图及相量图
u,i,p

pR

uR

i

U̇ R

İ

0


波形图

ù t
ø u= ø i

电压、电流相量图

瞬时功率（instantaneous power）

pR = uRi

= U Rm I m sin2 (ù t +ø i )

= U R I[1 − cos 2(ù t +ø i )]

二 、电感（inductor）


时域形式

i(t)

+
已知 i(t ) = 2 I sin(ωt + ψi )
di(t )
u L (t ) = L = 2ùLI cos(ùt + ø i )
dt

uL(t)
-
L


相量形式
İ = I∠ø i
π
= 2ùLI sin(ùt + ø i + )
2

İ

U L = jùLI = jX L I = X L I∠ø i + π
2

+
U̇ L
-

相量模型


jùL


或

有效值关系

相位关系
̇I = 1 U̇ L = jBLU̇ L
jùL

U=ùLI

øu= ø i +90°

（u 超前 i 90°）

则
̇̇̇

XL=ùL，称为感抗（inductive reactance），

单位名称：欧[姆] ，符号Ω

BL=-1/ùL ， 感纳（inductive susceptance） ，

单位名称：西[门子]，符号S

感抗与频率成正比

ù →0 (直流)，XL → 0 ，短路；


XL

ù→∞， XL →∞，开路。


0


ù

波形图与相量图

u,i,p
U̇ L

uL
pL
İ

0


i


ù t


ø i

电压、电流相量图

波形图

瞬时功率

p L = u L i
= U Lm I m sin(ùt + ø i ) cos(ùt + ø i )

= U L I sin 2(ùt + ø i )

三、电容（capacitor）
时域形式

iC(t)
已知 u(t ) = 2U sin(ùt + ø u )

+
u(t)


C

则

iC (t ) = C
du(t )

dt

= 2ùCU cos(ùt +ø u )

-
相量形式


U̇ = U∠ø i
π
= 2ùCU sin(ùt +ø u + )
2

İC

̇I C = jùCU̇ = jBC İ = BC I∠ø u + π
2

+
U̇
-
1

jùC

或
U = 1 I C = jX C I C
jùC

相量模型

有效值关系 IC=ù CU

相位关系 øi = ø u+ 90°

（i 超前 u 90°）

̇̇̇

令 XC=-1/ù C， 称为容抗（capacitive reactance），
单位名称：欧[姆] ，符号Ω

BC = ù C， 称为容纳（capacitive susceptance），
单位名称：西[门子]，符号S

容抗与频率成反比

ù →0， |XC|→∞， 直流开路（隔直）


|XC|

ù →∞ ，|XC|→0 ， 高频短路(旁路作用）


0


ù

波形图与相量图

u,i,p


iC


pC


u


İC


U̇

ø u

0
ù t

电压、电流相量图

波形图

瞬时功率

pC = ui C

= U m I Cm sin(ùt + ø u ) cos(ùt + ø u )

= UI C sin 2(ùt + ø u )

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10.6 基尔霍夫定律的相量形式和电路的相量模型

一、基尔霍夫定律的相量形式

同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行
计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应
的相量形式表示。

∑ i(t ) = 0
∑ u(t ) = 0


⇒

⇒


∑ İ = 0
∑ U̇ = 0

上式表明：流入某一节点的所有电流用相量表示时
仍满足KCL；而任一回路所有支路电压用用相量表示时
仍满足KVL。

二、电路的相量模型（phasor model ）
L


İ R

uS


+


iL


iC
C


R


U̇ S


+

İ L


İC
1/jù C


R

-


时域模型

i L = i C + i R
-


相量模型
İL = İC + İR

L
di L
dt


+
1

C


∫ i C dt = uS
jùLI L + 1 I C = U
jùC


S

Ri R =
1

C


∫ i C dt

RİR =

1
jùC

İC

列微分方程
求非齐次方程特解

列、解代数方程

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̇̇̇

10.7 复阻抗、复导纳及其等效变换

一、复阻抗Z


İ


İ

+
U̇
-

无源
线性
+
U̇
-


Z

正弦激励下，对于无源线性网络，可定义
入端等效复阻抗(complex impedance)

def
Z =


U̇
̇I


=| Z | ∠ϕ = R + jX


纯电阻 Z=R

纯电感 Z=jùL=jXL

(ϕ = ø u − ø i )
纯电容 Z=1/jùC=jXC

Z =


U̇
̇I


= R + jX =| Z | ∠ϕ

R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(reactance)(阻抗的虚部)；

|Z|—复阻抗的模；ϕ —阻抗角(impedance angle)。

关系


⎧ | Z |= R 2 + X 2或
⎪
⎨
⎪ φ = arctan
⎩ R


R = |Z|cosϕ

X = |Z|sinϕ

R


|Z| = U/I
ϕ = øu-øi

|Z|

ϕ

R
ϕ > 0


X
ϕ

|Z|

ϕ < 0


X

阻抗三角形(impedance triangle)

例 求RLC串联电路的入端阻抗,并画出相量图。

İ


R

jùL

+
U̇

-
.

1

jωC


+ .
U C
-

解


由KVL


U = U R + U L + U C = RI + jùLI − j 1 I
ùC
1
= ( R + jùL − j
ùC
= ( R + jX )İ

则 Z =

U̇
̇I


= R + jX =| Z | ∠ϕ

+UL-
)İ=[R+j(XL+XC)]İ
̇̇̇̇̇̇̇

画相量图：选电流为参考相量(ùL > 1/ù C )

U̇ L

U̇

ϕ


U̇ R
U̇ C

UX


İ

U = U R2 + U X2 = U R2 + (U L − U C )2

U̇

ùL > 1/ù C ，ϕ >0，电路为感性。

ùL<1/ù C ， ϕ <0，电路为容性。

ϕ

ϕ


İ

İ

ùL=1/ù C ， ϕ =0，电路为电阻性

İ
U̇


U̇

二、复导纳Y

对于上述的无源线性网络，同样可定义入端等效复导纳：

def


U


(ϕ ' = ø i −ø u )

纯电阻 : Y R = 1 / R

jùL

纯电容 : YC = jùC = jBC

Y— 复导纳(complex admittance) ；

G—电导(复导纳的实部)；B—电纳(suspectance)(复导纳的虚部)；
|Y|—复导纳的模；ϕ —导纳角(admittance angle) 。

纯电感:YL=1=jBL

关系

⎧ | Y |= G 2 + B 2
⎪
⎨ B
⎪ ϕ' = arctan
⎩ G

|Y|

ϕ ′

G
ϕ′ >0


或

B


G=|Y|cosϕ'

B=|Y|sinϕ'

G
ϕ ′

|Y|

ϕ′ <0


|Y|=I/U
ϕ′ =øi-øu

B

导纳三角形(admittance triangle)

İ

例 求RLC串联电路的入端阻抗,

并画出相量图。

解 由KCL


+
U̇ R

-

İR
jù L
İL
1

jωC

İC

1

ùL ùL

则 Y = = (G − j + jùC ) = (G + jB) = | Y | ∠ϕ '
ùL

相量图：选电压为参考向量(ùC < 1/ù L，ϕ′<0 )

ϕ '
.
I G
U̇

İ


.
I C .
I L

1̇
+jùC)U̇

(ϕ'=øi−øu)

三、复阻抗和复导纳等效关系

Z


R


jX


Y


G


jB

Z = R + jX =| Z | ∠φ


⇒


Y = G + jB =| Y | ∠φ'

Z

1
R+ jX


=

R− jX
R2 + X 2


= G + jB

∴ G =
R
R2 + X 2

,

B =
− X
R2 + X 2

| Y |=