福建省三明市第一中学2020-2021学年高二数学12月第二次月考试题.doc

福建省三明市第一中学2020-2021学年高二数学12月第二次月考试题

福建省三明市第一中学2020-2021学年高二数学12月第二次月考试题

年级：
姓名：

10

福建省三明市第一中学2020-2021学年高二数学12月第二次月考试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．设命题p：，均有，则为（ ）
A．，均有 B．，使得
C．，均有 D．，使得
2．直线的斜率是（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知双曲线，经过点，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为，其三视图中的俯视图如图所示，则其侧（左）视图的面积是（ ）

A． B． C． D．
5．点满足，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．射线
6．已知l为直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
7．过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为F，经过点F且斜率为的直线l与C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线C的准线交于点D，若，则（ ）
A．3 B． C．4 D．8
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．如图，正方体的棱长为1，以下结论正确的是（ ）

A．异面直线与所成的角为60° B．直线与垂直
C．直线与平行 D．三棱锥的体积为
10．已知曲线．（ ）
A．若，，则C是椭圆 B．若，则C是双曲线
C．若，，则C是两条直线 D．若，则C是圆
11．下列说法正确的是（ ）
A．若命题，，则为真
B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“若，则直线与直线”的否命题是真命题
12．已知椭圆的右焦点F和坐标原点O是某正方形的两个顶点，若该正方形至少有一个顶点在椭圆C上，则椭圆C的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．经过点且与直线垂直的直线方程为________．
14．抛物线的焦点坐标为________．
15．如图，正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，则四面体的体积的最大值是________；记所有满足的点P组成的平面区域为W，则W的面积是________．

16．如图，正方形ABCD的边长为10米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约________秒．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
17．（10分）已知向量，，．求：
（1）；
（2）．
18．（12分）在三棱柱中，，平面ABC，E，F分别是AC，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．

19．（12分）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线为．
（1）求C的标准方程；
（2）过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，是其左焦点，直线与椭圆交于A，B两点，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，若为锐角，求实数k的取值范围．
21．（12分）如图，三棱锥中，，，点P为的重心，过点P作平面，使得且．

（1）求证：；
（2）若，求平面截此三棱锥所得截面的面积．
22．（12分）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M，N两点．
（1）若，直线l的斜率为2，求的面积；
（2）设点P是线段MN的中点（点P与点F不重合，点是线段MN的垂直平分线与x轴的交点，若给定p值，请探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
三明一中2020-2021学年上学期第二次月考
高二数学参考答案
一、单选题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
A
C
B
A
B
二、多选题
9．ABD 10．BC 11．AC 12．BCD
三、填空题
13． 14． 15．； 16．4
四、解答题
17．解：（1）由，，
得．
（2）因为，
所以．
18．解：（1）证明：因为E，F分别是AC，的中点，所以．
又平面，平面，
所以平面．
（2）因为平面ABC，平面ABC，所以．
又，平面，平面，，
所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
19．解：（1）设C的方程为，即，
因为椭圆的焦点坐标为，
依题意，解得，
所以C的标准方程为：．
（2）由方程得C的右顶点为，不妨设，，
又直线l的斜率为2，
所以直线l的方程为，
由，得，，
整理得，解得，
故．
20．解：（1）设为椭圆的右焦点，连接，
由椭圆的对称性可知，，
所以，所以，
又，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设点，，
则，，
联立，得，
所以，，
因为为锐角，所以，
所以

，
解得或，
即实数k的取值范围是．
21．解法一：
（1）证明：过V作平面ABC，垂足为O，连接OA，OB，OC，
因为平面ABC，平面ABC，所以，

又因为，平面VOA，平面VOA，
所以平面VOA，
因为平面VOA，所以，
同理可得，
所以O为的垂心，所以，
又因为平面ABC，平面ABC，所以，
因为，平面VOC，平面VOC，
所以平面VOC，
因为平面VOC，所以．
（2）设平面与棱VA，VB，BC，AC的交点分别为E，F，G，H，
因为，平面VAC，平面，
所以，
同理，所以，
同理由可得，
所以四边形EFGH是平行四边形，
又由（1）得，所以，
所以四边形EFGH是矩形．

因为P为的重心，所以，
因为，
所以，，
所以矩形EFGH的面积为，
即平面a截此三棱锥所得截面的面积为2
解法二：
（1）证明：由已知可知，，
所以，．
即，，
所以，，
所以，
即，，，
所以．
（2）同解法一．
22．解：（1）由题意得，直线，抛物线．
联立，整理得，．
设，，则，，
所以．
（2）由题意得，，易知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为，
联立，整理得，
，
设，，则，
所以，所以，
所以直线PQ的方程为，
令，得，所以，
所以，，
所以，即为定值，定值为p．