本科毕业论文---基于ked方法的高速空间并联坐标测量机弹性动力学研究正文.doc

工 程 硕 士 学 位 论 文
基于KED方法的高速空间并联坐标测量机弹性动力学研究

RESEARCH ON ELASTIC DYNAMICS OF HIGH-SPEED SPACE PARALLEL COORDINATE MEASURING MACHINE WHICH BASED ON KED METHOD
A Dissertation submitted in fulfillment of the requirements of the degree of

MASTER OF ENGINEERING

from

Shandong University of Science and Technology

by

Li Yunfeng

Supervisor: Associate Professor Chen Xiulong

College of Mechanical and Electronic Engineering
May 2013

声 明

本人呈交给山东科技大学的这篇硕士学位论文，除了所列参考文献和世所公认的文献外，全部是本人在导师指导下的研究成果。该论文资料尚没有呈交于其它任何学术机关作鉴定。

硕士生签名：

日 期：

AFFIRMATION

I declare that this dissertation, submitted in fulfillment of the requirements for the award of Master of Engineering in Shandong University of Science and Technology, is wholly my own work unless referenced of acknowledge. The document has not been submitted for qualification at any other academic institute.

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Date:

山东科技大学工程硕士学位论文 摘要

摘 要
现代并联坐标测量机正朝着高速、轻型、精密和低噪声的方向发展，也正是由于这一特点，使得测量机轻质构件很容易发生弹性变形，这不仅影响了测量机的轨迹精度，还破坏了系统的稳定性，同时也降低了机器的使用寿命。因此对测量机进行弹性动力学行为分析显得尤为重要。本文以空间并联坐标测量机为研究对象，对其弹性动力学建模，动力学行为分析等进行了较系统的研究。主要内容如下：
首先，分析该测量机的结构特点，确定该机构自由度数，对机构的五个支链进行运动学分析。
其次，根据测量机机构的精度要求和特性利用有限元的方法将机构的柔性构件划分单元，根据KED分析理论建立计入几何非线性因素和不计入几何非线性因素的单元的弹性动力学方程。分析支链上各个单元之间的约束关系，并据此将各个单元的弹性动力学方程装配成支链的的弹性动力学方程。求解系统的运动学约束条件和动力学约束条件，建立系统的广义坐标，进而将支链的弹性动力学方程装配成系统的弹性动力学方程，完成测量机系统的弹性动力学模型的建立。
最后，对弹性动力学行为进行了仿真分析，规划了三个运动轨迹，利用MATLAB软件，给出了动平台产生的输出位移误差、速度误差、加速度误差的变化情况，给出了测量机机构构件在运动过程中动应力的变化情况以及频率的变化情况，并对计入非线性因素和未计入非线性因素对结果的影响做出比较。通过数值仿真结果表明本文所建非线性弹性动力学模型合理，非线性的因素对结果有一定的影响。

关键词：坐标测量机;弹性动力学;非线性;应力;KED方法

ABSTRACT
The elastic deformation of lightweight components of measuring machine is occured as parallel coordinate measuring machine is developing into high-speed,lightweight,precise and low-noise one.The elastic deformations not only affect trajectory accuracy,destroy the system stability,but also reduce productivity and machine life.Therefore, the research on parallel coordinate machine is of great significance.
In this thesis, high-speed space PCMM is taken as object of study.Dynamic modeling and analysis,numerical analysis are performed.The main content in this thesis are listed as follows:
Firstly,structural characteristics of the 4-UPS-UPU high-speed space PCMM is analyzed.The degree of freedom is determined.The kinematics analyses of the five driving limbs are taken.
Secondly,According to the accuracy requirement and characteristic the spatial beam element is used to discretize the flexible driving limbs by using finite element method. Based on the KED analysis theory the dynamic equations of element are derived which is included in the geometric non-linear factors and not included in the geometric non-linear factors.From constraint among elements, the dynamic equations of branches are derived. Establishing the generalized coordinates of the system,the overall system elastic dynamic equation of the PCMM is obtained by assembling the dynamic equations of branches.And then selected the method of solving elastic dynamics equation.
Finally, Based on trajectory numerical simulation analysis is taken.By MATLAB software the displacement error, velocity, acceleration of the PCMM are analyzed,The change of dynamic stress and the change of frequency are also given.And the influence on the results which included in the nonlinear and not included in the nonlinear factors to make a comparison.The calculated numerical results show that the effectiveness and correctness of the nonlinear elastic dynamic models,nonlinear factors have certain influence on the result.

Key words:coordinate measuring machine;elastodynamics;nonlinear;stress;KED method

山东科技大学工程硕士学位论文 目录

目 录
1 绪 论 1
1.1 测量机的国内外发展状况 1
1.2 并联机构的弹性动力学研究现状 1
1.3 课题研究意义 3
1.4 本文研究的主要内容 3
2 高速空间并联坐标测量机的运动学分析 5
2.1 引言 5
2.2 坐标测量机结构分析 5
2.3 坐标测量机的运动学分析 6
2.4 本章小结 12
3 高速空间并联坐标测量机的弹性动力学建模 13
3.1 引言 13
3.2 单元弹性动力学方程的建立 13
3.3 支链弹性动力学方程的建立 20
3.4 系统弹性动力学方程的建立 24
3.5 本章小结 33
4 高速空间并联坐标测量机动力学行为的数值仿真分析 34
4.1 引言 34
4.2 方程求解 34
4.3 动平台的运动特性分析 36
4.4 驱动杆的动应力分析 43
4.5 频率特性分析 57
4.6 非线性特性分析 60
4.7 本章小结 65
5 结论与展望 66
5.1 主要结论 66
5.2 工作展望 66
致 谢 67
参考文献 68

攻读硕士学位期间从事科学研究及发表论文情况 72

1

Contents
1 Introduction 1
1.1 Current research of measuring machine at home and abroad 1
1.2 The elastodynamics research of parallel institutions 1
1.3 Research significance of subject 3
1.4 Main content of the subject 3
2 Kinematic analysis of high-speed PCMM 5
2.1 Foreward 5
2.2 Configuration analysis of PCMM 5
2.3 Kinematic analysis of PCMM 6
2.4 Summary 12
3 Elastic modeling of high-speed PCMM 13
3.1 Foreward 13
3.2 Element elastic dynamic equations 13
3.3 Branch elastic dynamic equations 20
3.4 System elastic dynamic equations 24
3.5 Summary 33
4 Numerical simulation analysis of the dynamic behavior of high-speed PCMM 34
4.1 Foreward 34
4.2 Solution of equation 34
4.3 Kinematic Analysis of moving platform 36
4.4 Dynamic stress analysis of the driving limbs 43
4.5 Analysis of frequency characteristics 57
4.6 Analysis of nonlinear dynamics 60
4.7 Summary 65
5 Conclusions and Prospects 66
5.1 Conclusions 66
5.2 Prospects 66
Acknowledgement 67
References 68
Scientific research and published papers 72

山东科技大学工程硕士学位论文 绪论
1 绪 论
1.1 测量机的国内外发展状况
1959年，英国制造了世界上第一台测量机[1,2]。1996年，日本静冈大学的Takaaki Oiwa及其团队开始了早期的并联坐标测量机的研究。随后，俄罗斯的Lapik公司，Florida Atlantic大学的Zhuang Hanqi,日本工业技术研究院的Yoshihiko等也对坐标测量机进行了研究[3]。另外，R.L. McBain对UMM 500型坐标测量机的各项参数进行了评价，在超精测量和定位技术方面，德国SIOS公司开发了一种纳米定位与纳米测量系统NMM（Nano Positioning andNano Measuring Machine）。
我国在坐标测量机研究方面，发展比较迅速。坐标测量机的发展具有很好的前景和巨大的市场潜力[4-6]。目前，我国的坐标测量机已经形成规模并能批量生产的企业只有几家。这些厂商都以生产型坐标测量机为主，其产品测量不确定度约为(3+L/300)μm,其中L为测量长度(单位mm)。哈尔滨工业大学的刘得军对六自由度坐标测量机进行了动力学分析，优化分析的研究。安徽工业大学的余晓流等人依据串并联测量机得出了其运动空间等数据，河南科技大学的刘延斌，东华大学的孟婥、江苏大学的高国琴等也做了相应的研究[7-25]。
1.2 并联机构的弹性动力学研究现状
随着机械动力学的发展，产生了几种分析方法，对静力分析和动态静力分析的数学模型可归结为对一个线性方程组的求解，而动力分析则需要求解微分方程。对于静力分析、动态静力分析、动力分析这三种方法，构件均被假设为刚性的。现代机械向着高速,轻型和精密不断发展，构件的弹性变形不断变大，惯性力极具增大。由此，构件的弹性变形会给机械的运动输出带来不可忽略的误差。同时还会发生强烈的振动。在这种情形下，把构件看成刚性的已不能满足要求。由此出现了计入构件弹性的动力分析方法——弹性动力分析[26-38] 。
传统的、把构件看作刚体的分析设计方法已不能满足现代机械设计的要求，在这样的背景下出现了一个新的领域，美国学者Erdman和Sandor称这一新领域为“Kineto-Elastodynamics(KED)”，即“运动弹性动力学”[5]。运动弹性动力分析（Kineto-Elastodynamic Analysis,简称KED分析）就是把机构做为一个运动着的弹性系统，研究其在外力和刚体惯性力激励下的振动，并在此基础上求出机构的位移误差、速度、加速度、应力、应变等运动学、动力学参数。在分析机构的真实运动时假定：（1）与运用刚性机构的分析相比，由构件变形引起的弹性位移很小；（2）这种弹性位移不会影响机构的名义运动。由上述假定，机构的真实运动的位移可以看作是名义运动的位移和弹性位移的叠加。名义运动可以用刚体机构运动分析方法得到，弹性位移则用弹性分析方法求出。对于杆件机构的弹性动力分析中，常采用两种模型：集中参数模型、有限元模型。集中参数模型忽略了很多因素，具有较大的误差。有限元模型承认质量和弹性是分布的，并用结点处的有限个自由度代替连续弹性体的无限个自由度，相比集中参数模型更精确，且运算模式统一，对所建立的常微分方程可用统一的算法求解。本文应用的是有限元模型分析。
目前，在整个的KED研究中，主要集中在对平面机构的研究。对于空间并联机构系统来说，其动力学方程的建立和性能分析相对比较困难。国内外在这方面做了一些研究，取得了一定的成果。Piras采用KED方法研究了具有柔性杆的3-PRR平面并联机器人的末端变形、低阶固有频率分布等问题，给出了不同位置处的频率变化曲线[39]，结果表明该机构的几何刚度矩阵对响应影响较小。Fattah等人提出一种三自由度并联操作手的有限元模型，研究了运动构件弹性变形对机械手末端精度的影响[40]。Kang 采用拉格朗日方程建立了平面并联机构的弹性动力学模型[41,42]。
国内，夏富杰[43]应用有限元法的思想，对组成空间机构的梁和铰单元引人欧拉参数进行了描述，利用传递函数的概念对机构各相关坐标及单元变形模态坐标的位置、速度和加速度进行了分析。蔡胜利等人[44,45]用KED理论，提出了以机器人平台的输出运动误差为目标，建立了平面并联机器人的弹性动力学方程，求解机构腿部各节点的弹性运动和平台的输出运动误差，并优化，使机构输出误差降低。姚建新等[46]从并联型机器人的通用模型出发，推导出完整形式的动力学模型，建立了基于弹性理论和有限元分析的运动弹性动力学(KED)方程。杜兆才等[47]利用有限元的思想，并考虑了杆件弹性变形和刚柔耦合的影响，建立了平面并联机构的模型，并给出了平面并联机构的位移约束条件，对平面机构产生的动力学问题作了全面的研究。于跃庆等[48]以三自由度空间柔性并联机器人为研究对象，进行了动力学建模与分析，动态特性和优化设计、动力规划等综合问题。张宪民教授、胡俊峰博士等[49]以柔性机器人机构为研究对象，对其动力学建模、优化和振动的控制作了全面的分析研究。
1.3 课题研究意义
现代，并联坐标测量机正向着高速、轻型和精密的方向发展。也正是由于这种发展趋势使得机构很容易发生弹性变形，产生了不可忽略地误差，影响机器的运行精度，因此对机构进行弹性动力学分析变的尤为重要。近年来，国内外在并联坐标测量机的结构设计及运动学分析方面做了大量工作并取得了大量成果，但在对并联坐标测量机的弹性动力学方面取得的成果还不明显，一些研究没有考虑到刚柔耦合的影响和非线性的影响，导致所得结果不准确。
本课题以4-UPS-UPU高速空间并联坐标测量机为研究对象，运用KED的方法建立机构的有限元模型，根据运行的不同轨迹给出机构产生的位移误差、速度误差、加速度误差，各个应力以及频率的变化曲线图，并对比考虑非线性和不考虑非线性的影响，对以后分析该机构的动力学特性和优化设计具有重要意义。
1.4 本文研究的主要内容
本课题以4-UPS-UPU高速空间并联坐标测量机为研究对象，重点进行弹性动力学的建模与分析，考虑非线性和不考虑非线性对动力学响应的影响以及非线性动力学特性的分析。具体内容安排如下：
（1） 绪论。论述测量机国内外发展状况，并联机构的弹性动力学研究现状，并联机构用到的分析方法以及课题的研究意义。
（2）高速并联坐标测量机的运动学分析。主要是对机构自由度求解，对机构各个支链的运动学分析。
（3）高速并联坐标测量机的弹性动力学建模。主要是根据有限元的理论建立单元的弹性动力学方程，这里建立考虑非线性因素的单元的弹性动力学方程和未考虑非线性因素的单元的弹性动力学方程，进而建立支链的弹性动力学方程，最终根据约束条件得到系统的弹性动力学方程。
（4）对弹性动力学行为进行仿真分析。利用Newmark逐步积分法对系统的弹性动力学方程进行求解，得到不同轨迹下机构产生的位移误差、速度误差、加速度误差，各个应力以及频率的变化曲线图，给出考虑非线性因素和不考虑非线性因素的对比图，另外利用相图的方法对空间并联坐标测量机系统的非线性特性进行分析。
（5）总结与展望。总结前面所做工作得到的结论并对该机构的进一步研究提出展望。

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山东科技大学工程硕士学位论文 高速空间并联坐标测量机的运动学分析

2 高速空间并联坐标测量机的运动学分析
2.1 引言
本章将主要介绍高速空间并联坐标测量机的结构组成,并采用Kutzbach Grubler公式计算机构的自由度；对测量机进行了运动学分析，得出坐标变换矩阵，杆长的表达式；建立该坐标测量机的位置反解数学模型。
2.2 坐标测量机结构分析

本课题的研究对象——4-UPS-UPU高速空间并联坐标测量机如图2.1所示。该机构主要由动平台、定平台和驱动杆组成。定平台通过五个虎克铰与驱动杆连接，驱动杆在通过四个球铰及一个虎克铰与动平台连接，五个驱动杆共同作用即可实现动平台不同的位置和姿态。
本结构为闭环机构，可采用Kutzbach Grubler公式计算自由度。
（2.1）
式中 ——表示机构自由度数
——表示构件总数
——第个运动副的相对自由度数
——运动副总数
坐标测量机机构简图如图2.2所示，分析知运动副包括：六个虎克铰（一个虎克铰有两个自由度）、五个移动副，四个球铰（一个球铰有三个自由度）。可得=12，=15，=29。则

即机构有五个自由度，与输入相等，可实现确定的运动。

图2.1 4-UPS-UPU并联坐标测量机 图2.2 并联坐标测量机机构简图
Fig. 2.1 4-UPS-UPU PCMM Fig. 2.2 Mechanism diagram of PCMM
2.3 坐标测量机的运动学分析
2.3.1坐标系的建立
为方便研究动平台的运动规律，首先建立定、动两坐标系。定系（下文以定系表示）固定在定平台上，定平台上每个虎克铰所处的位置如图2.3所示，即：四个虎克铰、、、位于半径的圆上，间隔分布，另一个虎克铰位于半径处。定系的原点位于半径的圆心上，方向平行于方向，坐标轴方向指向虎克铰链点,轴垂直定平台向下。动坐标系（下文以动系表示）的原点位于动平台的几何中心处，轴垂直动平台向下，轴通过铰链点（为叙述方便，下文用代替）。

图2.3 定平台上虎克铰分布示意图
Fig. 2.3 Diagram of Hooke joint on stationary platform
2.3.2坐标变换矩阵的建立
为了更好的描述动平台的姿态在这里引入以欧拉角形式表示的坐标变换矩阵。采用Z—Y—X欧拉角表示动系相对于定系的姿态，将定系经三次有序的旋转就可得到动系的当前姿态，首先绕转角，再绕轴转角，最后绕转角，则动系相对于定系的旋转变换矩阵表示为：

（2.2）
则动系相对于定系的变换矩阵为
（2.3）
其中，为动系原点在定系的位置坐标,为动系在定系的姿态欧拉角。
2.3.3驱动杆杆长求解
动平台的位姿变化可以通过改变五个杆的杆长得到。在已知动平台位姿的情况下，可以通过位置反解得到五个驱动杆杆长。已知动平台的位姿，动平台位姿方向余弦矩阵，动系原点在定系中的方位为。根据机构参数，可得到动、定平台每个支链铰链点的坐标值。定平台上五个铰链点在中坐标可表示为
（2.4）
即
动平台上五个铰链点间隔，则在动系中的坐标表示为
（2.5）
即
那么，动平台上五个铰链点在定系下的位置矢量表示为
（2.6）
则在定系下，五个驱动杆的杆长矢量。
即
（2.7）
其中，。
本机构约束，则用欧拉角表示方向余弦矩阵简化为：
（2.8）
各个杆的铰链点在定平台和动平台的坐标可求得，则各驱动杆长度为
（2.9）
其中
由上式，可根据动平台的位姿，求出各个杆件的长度，从而实现对测量机的控制。
2.3.4驱动支链的分析
该测量机支链由一个UPU和四个UPS共五个单链组成。这里拿出其中的一个支链进行分析，支链包括一个虎克铰，一根驱动杆和一个球铰（或虎克铰）。
在虎克铰链中心上建立坐标系（见图2.4），轴方向竖直向下，方向沿着铰链的固定转动轴线，轴沿着铰链的另一个轴的方向上。将坐标系分别绕、方向旋转角度、，得到坐标系；再将坐标系沿方向移动，得到坐标系，铰链中心点在坐标系中的坐标是。

图2.4 驱动链分析坐标系建立
Fig. 2.4 Coordinate system of the driving limb
坐标系相对于定系的变换矩阵可表示为
（2.10）
坐标系相对于坐标系的变换矩阵可表示为
（2.11）
其中

坐标系相对于坐标系的变换矩阵表示为
（2.12）
由式（2.10）、（2.11）、（2.12）求出坐标系相对于定系的变换矩阵为

（2.13）
由式（2.13）得出动平台处铰链中心在定系下的坐标矢量为
（2.14）
由式（2.14）得到虎克铰的两个转角的数学模型为
（2.15）
（2.16）
其中 ，为虎克铰的安装角度；
为铰链安装点在定系下的坐标值；
为铰链安装点在定系下的坐标值。
设定系下杆长的三个坐标轴分量为、、，则
（2.17）
将式（2.17）代入（2.15）、（2.16），得
（2.18）
（2.19）
将式（2.18）、（2.19）对时间t求一次导得
（2.20）
（2.21）
2.4 本章小结
本章主要研究内容如下：
（1） 对测量机的结构组成进行了分析，得出该机构可实现三维移动二维转动，并求解出该测量机的自由度数为五，和输入数相等，具有确定的运动。
（2） 建立了测量机的定坐标系和动坐标系，并求解了坐标转换矩阵。
（3） 对测量机的支链进行了运动学分析，得出杆长的表达式；建立该坐标测量机的位置反解数学模型。

山东科技大学工程硕士学位论文 高速空间并联坐标测量机的弹性动力学建模

3 高速空间并联坐标测量机的弹性动力学建模
3.1 引言
根据并联坐标测量机的特点，这里采用一种适于刚柔一体的思路建立模型。为了在满足分析精度的前提下分析研究各个支链的弹性变形对机构系统性能的影响，这里运用运动弹性动力分析方法建立机构的动力学模型。其步骤为：
（1）根据有限元的方法，将柔性构件划分单元，分析各单元之间的关系，据KED方法求解动能和变形能，由拉格朗日方程建立单元的动力学方程；
（2）将单元的弹性动力学方程叠加，得到对应支链的弹性动力学方程；
（3）求出系统的运动学约束条件和动力学约束条件；
（4）利用系统的运动学和动力学约束条件，将支链的弹性动力学方程装配，从而得到该机构系统的弹性动力学方程。
3.2 单元弹性动力学方程的建立
3.2.1空间有限元模型的建立
有限元方法在70年代中期被引入到机构学领域，用于研究弹性机构动力学问题,并取得了很好的效果[50]。其主要思想是先化整为零，然后再聚零为整。这样只研究某一小单元内及其结点处的受力状况，就可得到整个被研究体的力学解。

图3.1 空间柔性梁模型
Fig. 3.1 model of spatial flexible beam element
对于以杆件为主的机构来说，选择梁单元模型最为合适。本文选用矩形空间截面梁单元来建立有限元模型，如图3.1 所示。首先建立梁单元的单元坐标系 o-xyz ，在单元的两个结点处分别标记A、B，定义沿A-B方向为x正方向，将 x 按逆时针方向转过 90°得到z 的正方向，y 同时垂直于 x 和 z。在这里、，、，、表示A、B结点的弹性位移、弹性转角和曲率。利用单元坐标分析单元结点变形和结点力间的关系比较方便。但由于各单元位置不同，使各单元坐标系不一致，不便于整体性的研究结构，所以需要采用统一的系统坐标系，如图2.2中的固定坐标系。
3.2.2单元位移型函数
如图 3.1 ，假设空间梁单元在三个坐标轴方向发生位移以及弹性变形，建立单元的坐标向量。由此单元上各个点在各个方向的位移以及绕各个方向的弹性转角都可以用的数学表达式表示出来。根据本机构的特性以及精度等的要求，梁单元轴向弹性位移采用线性差值函数表示，横向弹性位移采用五次插值函数描述，绕x轴的弹性角位移采用三次插值函数来描述，设沿x,y,z的弹性位移和绕x,y,z的弹性转角的函数分别为，，，，，。
则利用单元的边界条件 （3.1） 可以得到以下各式 （3.2）

式中
（3.3）

——位移型函数 (i=1,2,……,10)；
——单元长度；
——相对坐标，且e=x/L。
由于单元的弹性位移在系统运动时是个很小的量，在这里不计入刚体运动与弹性变形运动之间的耦合作用[51]。即可以认为绝对速度是刚体运动速度与弹性变形速度的代数和；绝对加速度是刚体运动加速度和弹性变形加速度的代数和。因此，单元轴线上任意点处的速度可以表示为
（3.4）

式中
——、、轴向的绝对速度；
——、、轴向的刚体速度；
——、、轴向的弹性速度；
——轴的绝对角速度、刚体角速度和弹性角速度；
——单元节点A处沿轴、轴和轴方向的刚体速度；
——绕轴、轴和轴方向的刚体角速度；
——单元节点B处沿轴、轴和轴向的刚体速度。
3.2.3单元的动能
这里认为各个截面处的质量集中在截面的质心上，忽略转动动能的作用[36]。则单元的动能表达式可写为
（3.5）
式中 ——梁单元长度；
——梁单元质量密度；
——梁单元横截面面积；
——梁单元横截面对x轴的极惯性矩；
——梁单元的质量分布函数，对于此梁单元

将各个表达式代入并化简得

（3.6）
式中 为单元质量矩阵且
（3.7）
3.2.4梁单元的变形能
单元的变形能包括梁受各个坐标轴方向上的力引起的拉伸和压缩变形能以及受弯矩作用引起的弯曲变形能、扭矩作用引起的扭转变形能[48]。则，单元的总变形能可写为
（3.8）
式中
——拉压弹性模量；
——剪切弹性模量；
——单元横截面对y轴的主惯性矩；
——单元横截面对z轴的主惯性矩；
——单元横截面对x轴的主惯性矩。
将各个表达式代入并化简得
（3.9）
式中 ——单元刚度矩阵，且
（3.10）
上式中的分别表示梁单元轴向位移和横向位移对坐标变化率的二次项引起的附加拉压应变。对于高速运行的柔性杆件机构，必然会出现较大的惯性力，这可能会使刚度较小的柔性杆件发生较大的变形，在大的变形的情况下，附加拉压应变作用会很明显，这样在其弹性动力分析中计入以上所述的附加拉压应变这种几何非线性因素是必要的。
未计入几何非线性因素的单元的总变形能可写为
（3.11）
将各个表达式代入并化简得
（3.12）
式中 ——单元刚度矩阵，且
（3.13）
3.2.5单元动力学方程
将计入几何非线性因素的单元动能(3.6)、变形能(3.9)带入Lagrange方程
（3.14）
得到单元动力学方程为
（3.15）
（3.15a）
（3.15b）
（3.15c）

将未计入几何非线性因素的单元动能(3.6)、变形能(3.12)带入Lagrange方程得到单元动力学方程为
（3.16）
式中
——单元外加载荷的广义力列阵；
——是其它单元给予所分析单元的作用力列阵；
，是系统单元的刚体惯性力列阵，对系统作刚体运动分析后即可得出。
下面求解系统坐标系下的单元弹性动力学方程。首先将单元局部坐标系中的广义坐标列阵转化为系统坐标系下（这里指定系中）。引入定系下的单元广义坐标列阵
（3.17）
引入以下坐标旋转变换矩阵
（3.18）
其中

由此得到广