高数第一章例题及答案(终)理工类吴赣昌.doc

第一章函数、极限与连续内容概要名称 主要内容函数邻域（即 ）（）函数两个要素：对应法则以及函数的定义域由此，两函数相等两要素相同；（与自变量用何字母表示无关）解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；特性局部有界性对集合，若存在正数，使对所有，恒有，称函数在上有界，或是上的有界函数；反之无界，即任意正数（无论多大），总存在（能找到），使得局部单调性区间，对区间上任意两点，当时，恒有：，称函数在区间上是单调增加函数；反之，若，则称函数在区间上是单调减小函数；奇偶性设函数的定义域关于原点对称；若，恒有，则称是偶函数；若，恒有，则称是奇函数；周期性若存在非零常数，使得对，有，且，则称是周期函数；初等函数几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数课后习题全解习题1-1 1求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x的取值的集合；思路：常见的表达式有 ,（ ） , （ ） （）等解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； 2下列各题中，函数是否相同？为什么？（1） 与；（2）与知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是（作用法则）及定义域D（作用范围），当两个函数作用法则相同（化简 后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）的定义域D=，的定义域，虽然作用法则相同，但显然两者定义域不同，故不是同一函数； （2），以为自变量，显然定义域为实数；，以为自变量，显然定义域也为实数；两者作用法则相同“”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数； 3设，求，并做出函数的图形知识点：分段函数； 思路：注意自变量的不同范围；解：，；如图：图1-1-3 4试证下列各函数在指定区间内的单调性 ： （1） （2），知识点：单调性定义。单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的某个子区间上函数的单调性的问题 。思路：利用单调性的定义即可。解： （1）设，当时，由单调性的定义知是单调增函数；（2）设，由，知，故（对数函数的性质），则有， 得结论是单调增函数； 5设为定义在内的奇函数，若在内单调增加，证明：在内也单调增加知识点：单调性和奇偶性的定义。思路：从单调增加的定义出发，证明过程中利用奇函数的条件；证明：设， 则，由在内单调增加得，又为定义在内的奇函数，则（1）式变形为，即，则结论成立。 6设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：（2） 两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（3） 两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。 本题可作为结论应用。思路：按定义证明即可。证明：设函数定义域分别是（是关于原点对称区间）；（1）设，定义域为，显然也关于原点对称，当均为偶函数时， 得为偶函数；当均为奇函数时，得为奇函数；（2）令，定义域为，关于原点对称， 当均为奇函数时，得为偶函数； 当均为偶函数时，得为 偶函数；当为一奇一偶时， 得为奇函数； 7下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？（1）； （2）； （3）；（4） 。知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质； 思路：按定义证明，尤其先判断函数定义域是否关于原点对称，并利用基本初等函数的性质；解： （1），显然既不等于，也不等于，故是非奇非偶函数；下面三个函数的定义域为全体实数，关于原点对称（2），故是偶函数；（3），故是偶函数； （4），故是奇函数； 8下列各函数中哪些是周期函数？并指出其周期：（1）； （2）； （3）。知识点：函数周期性。思路： 利用定义，及基本初等函数性质，或已知结论，可按已知结论（如弦函数，则最小正周期，切函数也有类似结论）。解： （1）由弦函数周期公式知最小正周期；（2）对正数 ，而切函数周期是的整数倍，故本题函数不是周期函数；（3），则最小正周期9证明：在上是无界函数；知识点：无界函数定义。思路：证明函数在某区间上是无界的，只需证对（无论有多大），使其函数值即可。证明：对于任意正数，要使， 考虑当， 要使，只要），取（无论有多大），使得 ，在上是无界函数（注1：取值只要并且确保即可，因此取也可；注2：数学符号“”表示“任意”；“”表示“存在”；“”表示“使得”。） 10火车站行李收费规定如下：当行李不超过50kg时，按每千克3/20元收费，当超出50kg时，超重部分按每千克1/4元收费，试建立行李收费（元）与行李重量之间的函数关系式。知识点：函数关系的建立。思路：认清变量，关键是找出等量关系。解：。 11收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购超过100台的，每多订一台，售价就降低一分，但最低价为每台75元a) 将每台的实际售价表示为订购量的函数；b) 将厂方所获得利润表示成订购量的函数；c) 某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？ 知识点：函数关系的建立，以及经济函数； 。思路：分清变量及函数关系，经济函数关系总利润（总收入）(总成本)。解：售价恰好降到75元时需订购的台数位，则（1）：。（2）：（3）（元）。习题1-2 1求下列函数的反函数：（1） ； （2） ；知识点：反函数求法；思路：解出的过程即为求反函数的过程，直接函数的因变量变为反函数的自变量；解：（1）（习惯上自变量用字母表示）（2）。 2设，求，；知识点：分段函数的定义；思路：代入即可；解： 3设函数，求，知识点：复合函数定义；思路：逐层代入即可：解： ，；，4设，求和。知识点：函数的复合；思路：同上题，逐层代入即可。解： ， （）； ，定义域 。 5已知，求。知识点：函数复合；思路：换元法令（此种方法要求易解），、分别用、代；换元法将的表达式化成用表达的式子（需要技巧），再令代换；解： 用法：，令（自变量与用何字母表示无关）。 6设的定义域是，求：（1） ; （2）； （3） （） （4）知识点：复合函数的定义域；思路：的定义域是，表明若有，则；解：（1）；（2）（3），当时，即时，结果为； 当时，结果为； （4） 7设，求：（1）的定义域； （2）知识点：函数定义域及函数复合；思路：略。解：（1） ，故定义域为全体实数； （2） 8 ， ，求 及其定义域； 知识点：函数的复合及定义域； 解： ， 的自然定义域为，即 内容概要名称 主要内容（1.3，1.4，1.5）1.3数列极限数列极限定义（）：任意给定正数（无论多小），总存在正整数，使得对于时的一切，总有成立，则；数列极限的性质： 极限的唯一性；收敛数列必有界；收敛数列的保号性；子数列收敛性；1.4函数的极限函数极限定义函数当大于某正数时有定义，如果对任意给定正数（无论多小），总存在正数，使对满足的一切，总有函数在的某一去心邻域有定义，如果对任意给定正数（无论多么小），总存在正数，使对满足的一切，总有单侧极限且单边极限且函数极限的性质：唯一性，有界性，保号性，子序列的收敛性；1.5无穷小与无穷大（以）为例无穷小定义：极限为零的变量（函数）；定理：定理函数表示：无穷小性质：1.的充要条件是，其中是当 时的无穷小；2.有限个无穷小的和仍是无穷小；3.有界函数与无穷小的乘积是无穷小；无穷大定义：任意给定正数(无论多大),当(即存在正数,当 时),总有；正无穷大，负无穷大统称为无穷大；无穷大一定是无界变量，但无界不一定是无穷大；习题1-3 1观察一般项如下的数列的变化趋势，写出它们的极限：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）知识点：数列定义。思路：写出前几项，观察规律。解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5） 。2利用数列极限定义证明：（1） （为正常数）； （2）； （3）。知识点：极限定义。思路：按定义即可。证明：（1） ：对任意给定的正数，要使，即，只要取，则对任意给定的，当时，就有，即（注，只要保证的取值能够让以后的所有项的值满足式即可，因此可取大于或等于的整数）；（2）：对任意给定的正数，要使，只要，取，则对任意给定的，当时，就有， （3） 证明：由于，因此对任意给定的正数，要使，只要，即（计算时为方便不妨设，因为前面的有限项对极限无影响）取，则对任意给定的，当时，就有， 3设数列的一般项。问求出，使得当时，与其极限之差的绝对值小于正数。当时，求出。知识点：数列极限定义思路：按极限定义即可解： 观察可得： ，证明该结果如下：由于，因此对任意给定的正数，要使，只要，即，取（取大于或等于的整数都可以），则对任意给定的，当时，就有 ，。 当时，可取。 4设，证明数列没有极限。知识点：判定数列极限不存在的方法思路：若某数列极限为，则其任意子列的极限都为，因此，若某两个子列极限不同，则说明原数列极限不存在。证明：令，则得子列，当时，；则；取另一个子列，得，当时，则；综上，原极限不存在。 5设数列有界，又，证明：。知识点：数列有界及数列极限定义思路：有条件可知；，如何让两者结合，证明成立，是解决问题的关键。证明：数列有界，则存在正常数，使对任意，都有，则； ，则对任意正数，存在，当时，有； 则对于任意正数，取,由可知：存在自然数，当时，有，从而有：， 6对数列，若，证明。知识点：子列极限和原数列极限的对应关系；思路：对，根据条件，寻找使成立的的范围。证明：对于，由，则存在，当时，； 由，则存在，当时，；取，当时，（无论还是）都有，即。习题1-4 1在某极限过程中，若有极限，无极限，试判断：是否必无极限。知识点：函数极限性质思路：举例说明即可解：可能有极限，举例如下： 令，不存在，但；2用函数的极限定义证明：（1）； （2） （3）； （4）知识点：函数极限定义思路：对于，找出符合要求（比如（1）中要求）的范围，即找到描述自变量范围的或；为了找到或，有时需要对不等式作适当的放缩。证明：（1）任意正数，要使即； 只要取， 当时，有，即；（2） 任意正数，当 ，即时，取，当时（因为已知），有，即 （3）由于 （为找到中的，不妨将范围限制在内，因为时的极限，只和附近的所对应的函数值有关）不妨设，则，则，对任意正数，要使，只要， 取，当时，与同时成立，有 （4） ，不妨设，则，则，对任意正数，要使，只要，取，当时， 3当时，问等于多少，使得当时，？知识点：函数极限定义思路：由于考察的是时函数的极限，所以不妨在（即）范围内讨论，这样的方法在极限证明中经常用到。解： （不妨设），则 ，要使只要 取，则当时，（注：还可选取比小的数，只要保证即可） 4求知识点：数列极限；解：（所用到的性质见第六节）； 5讨论函数当时的极限。知识点：左右极限；思路：求分段函数在分段点处的极限，首先要分别求出左右极限；又且解： ，； ；不存在 6证明：如果函数当时的极限存在，则函数在的某个去心邻域内有界。知识点：函数极限和局部有界的定义证明：设，则对于任意正数，存在正数，当时，有 ， 即，取，则；当时，。 7判断是否存在，若将极限过程改为呢？ 知识点：函数极限，以及指数函数性质（图像）解：；（严格来说要再用极限定义证明，但可省略，下同）；，故不存在习题1-5 1判断题：（1） 非常小的数是无穷小；（2）零是无穷小；（3） 无穷小是一个函数； （4）两个无穷小的商是无穷小； （5） 两个无穷大的和一定是无穷大； 知识点：无穷小，无穷大的定义和性质；思路：略。解：（1）错，因为无穷小是指极限为0的变量，而不是非常小的数。（2）对，因为0的极限为0，所以0是无穷小，只有零作为常函数的的时候才是无穷小，其他常数都不可能是无穷小 （3）对 （4）错，两个无穷小的商未必是，例如 （5）错，如：时，及，都是无穷大，但是无穷小，而是无穷大 2指出下列哪些是无穷小量，哪些是无穷大量（1） ； （2）； （3）知识点：无穷小，无穷大的定义；思路：求出极限即可（并利用无穷小倒数是无穷大的结论）解：（1）是无穷小量； （2）是无穷小量； （3），则是无穷大量； 3根据极限定义证明：为时的无穷小；知识点：函数极限定义； 思路：按定义证明；证明：即要证：由于，对任意正数，当时，就有，则取，当时，证毕。 4求下列极限并说明理由：（1）； （2） ； （3） ；知识点：无穷小和无穷大的关系；思路：先将函数作一定的化简；解：（1） （依据无穷大的倒数是无穷小）（2）（3），又无穷小的倒数是无穷大，故。5函数在内是否有界？当时，函数是否为无穷大？为什么？知识点：函数有界的定义及无穷大的定义；无穷大一定是无界的，但无界未必无穷大；本题为无界变量不是无穷大的典型例子。思路：证明不是无穷大，只需要找到时，函数的一个无穷子列，其极限不是无穷大即可。解：对任意，总可以取，有在上是无界的； 又因为当时，；此时，不是时的无穷大6设时，是有界量，是无穷大量，证明：是无穷大量。知识点：函数局部有界和无穷大的定义。思路：可利用不等式，及已知条件：是有界量，是无穷大量，证明结论。证明：时，是有界量，知存在正常数及，当时，； 对任意常数（无论有多大），不妨设，时，是无穷大量，对于，存在正常数，当时， ； 综上，无论多大，总可以取，当时，和同时成立；则有成立，即是无穷大量。 7设时，（是一个正的常数），是无穷大量，证明：是无穷大。知识点：无穷大的定义；证明：是无穷大量，则对任意，存在正常数，当时， ，又，这时，由的任意性，知是无穷大。内容概要名称主要内容（1.6,1.7,1.8,1.9）1.6极限运算法则1极限四则运算性质；2复合函数极限运算法则； 3求极限的其他技巧：如约掉非零的无穷小或分子（分母）有理化；利用定理：有界量与无穷小的乘积为无穷小1.7极限存在准则，两个极限准则1夹逼准则2单调有界准则：单调有界数列必有极限；极限，（或）；柯西极限存在准则1.8无穷小的比较无穷小的比较（定义）：高阶；低阶；同阶及等价；阶无穷小。几个等价无穷小公式：（内可填变量或函数，如：当时）当时， ； ；定理：充要条件是1.9函数的连续与间断定义1函数在的某邻域有定义，若在处取得微小增量时，函数的增量也很小，且，则称在连续；2若有，则称则称在连续；左连续：在连续当且仅当在既左连续又右连续右连续：基本初等函数在定义域内是连续的；初等函数在定义区间内是连续的；间断点分类 第一类：左右极限都存在当，称为可去间断点，此时可重新补充函数的定义：，使之在连续；当，称为跳跃间断点； 第二类：左右极限至少有一个不存在当或，时，称为无穷间断点当的极限过程中，函数值不断震荡，称为振荡间断点习题1-6 1计算下列极限： （1）； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ; （6） ； （7） ； （8）； （9） ；（10） ； （11）； （12） ； （13） ； （14）； （15）； （16） ；知识点：极限求法思路：参照本节例题给出的几种极限的求法解：（1）， （2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8）（9） ， 说明是无穷小，而是有界量，（10） （11），；（12） ；（13） ，而是有界量，故；（14）；（15），本题利用本节有理分式的极限规律，只要找到分子分母的最高次项比较即可，分子的最高次项由的次方与的次方乘积所得，即，而分母的最高次项由的次方所得，即；无需确切计算分子分母；（16） ，当时，；当时，；故不存在 2计算下列极限：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 。知识点：数列极限求法；思路：（1）（2）需要先化简被求极限的式子，（3）（4）则利用有理分式极限的求法；解：（1）；（2） ；（3） ；（4） ； 3 设，分别讨论及时的极限是否存在？知识点：分段点处函数的极限；左右极限；思路：分段点函数的极限要左右极限分别求；解： 当时， ，；故不存在； 当时，故； 4已知及，求：（1） ； （2）； （3）； （4） （5） 知识点：函数极限四则运算性质；思路：按性质求； 解： （1）；（2）； （3）； （4）； （5） ，而无穷小的倒数是无穷大，故； 5若，求的值；知识点：函数极限；思路：分析求极限的过程，求出的值；解： ，故必有，即；方法二：可由1-8节无穷小比较来解：当时，；故此时必有，故； 6若，求，及的值；知识点：同上；解： ， 则由知，必有，解得：习题1-7 1计算下列极限：（1） ； （2）； （3）； （4）；（5） ；（6）； （7） ； （8） ；知识点：两个重要极限；思路：当函数用三角函数和幂函数表达时，可考虑变形成，其中；但本题解法不是唯一的，可用下一节的等价无穷小代换来解更容易；解：（1）； （2）； （3） （4） ； （5）； （6）； （7），则； （8）； 2计算下列极限：（1） ； （2） ； （3）；（4）（5） ；（6）； （7） ； （8） 知识点：重要极限： （或）思路： 将函数表达式化成（或），并利用指数函数运算性质（）得出结果解：（1）； （2） ； （3）； （4）； （5） ； （6） ； （7） （8） ；3设， 求 。知识点：分段函数的极限思路：可以先将化成或，以利用已知的函数表达式； 或者，由已知，求出的表达式，再求。解：方法一： 换元： ，由已知 ， 则； 方法二： 令，则，代入已知得，则； 4已知，求。知识点：同题2思路： 同题2解： ；5利用极限存在准则定理证明：（1） ； （2）知识点：夹逼准则思路： 关键是将被求极限的式子放缩；可将分子或分母改变，最好改变后式子可以化简且极限易求解：（1），而，由夹逼准则，知 （2），在求时的极限时，不妨设，：当，有，且，由夹逼准则，知；：当，有，且，由夹逼准则，知；综上，；6 利用极限存在准则证明数列，的极限存在，并求出该极 限。知识点：单调有界数列必有极限。思路：先证单调有界，再求极限。解：数列通项满足，不妨设，则，即；由归纳法知，此数列单调增加，且；由单调有界数列必有极限知，此数列极限存在，设为；将左右两边取极限：，解得，或，显然，由极限的保号性，知极限，故；7设满足：，证明收敛，求。知识点：同上；思路： 同上；解： ，当时， ，设，则，得：；由数学归纳法知，此数列有界且；此时，则有，即，知数列单调减小，且有下界，故必有极限。设，则有，解得或；因数列单调减，且，故；习题1-8 1当时，与相比，哪一个是高阶无穷小？知识点：无穷小的比较思路：关键是求两个无穷小商的极限，然后根据无穷小比较的定义作出判断解：；故是的高阶无穷小；2当时，与是否为同阶无穷小？知识点：无穷小的比较思路：可先利用等价无穷小代换化简，然后再作判断。解：当时， ，由于（有界量乘无穷小量为无穷小），显然与同阶但不等价，由等价关系及同阶关系的传递性可得：与同阶，但不等价；3当时，与相比是几阶无穷小？知识点：无穷小比较思路：对作适当的变形，使之可以套用常用的等价无穷小。解：，当时，故，显然是的三阶无穷小； 4当时，若与等价，求和的值。知识点：无穷小比较；思路： 注意利用书中所给的等价无穷小公式，及等价关系的传递性；解： 当时，显然； 5利用等价无穷小性质求下列极限：（1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6）知识点：等价无穷小代换求极限；思路：要活用等价无穷小公式，如当，有，故，以及有关定理。解： （1） ； （2）；（3）当时，故， ；（4） ；（5）方法一：方法二： （其中，表示的高阶无穷小，则表示的高阶无穷小，自然由，的定义有，；又由定理：与是等价无穷小的充分必要条件是：所以，）（6） 习题1-91研究下列函数的连续性，并画出函数的图形。（1） ； （2）知识点：函数连续定义；分段点处的连续性思路：初等函数在定义域上连续，而在函数的分段点处要分别验证左右连续性。解： （1）显然函数在定义区间上连续，且在处右连续，在处左连续；在分段点处， ，则，函数在处连续；故函数在上连续； （2）显然函数在上连续；在分段点处，则，函数在处连续；在分段点处：；，极限不存在，故不连续；综上，函数在上连续。（见下图）01图1-9-2-2-1101图1-9-1-121 2下列函数在处是否连续？为什么？（1） ； （2）知识点：函数连续定义；思路：左右连续分别验证；解：（1） ，则函数在处连续； （2），则函数在处连续； 3判断下列函数的指定点所属的间断点类型，如果是可去间断点，则请补充或改变函数的定义使它连续。（1） ； （2）（3）； （4）；知识点：间断点类型及判定；思路： 间断点类型取决于左右极限是否存在，故要分别求间断点的左右极限；解：（1），是第二类的无穷间断点； （2）时，左右极限相等， 是第一类中的可去间断点，补充定义可使函数在该点处连续； 时，是第二类无穷间断点； （3），为第一类可去间断点，补充可使函数在该点处连续。 （4）时，的值在0到1之间来回变动，故是第二类震荡间断点4证明：若在点连续且，则存在的某一邻域，当时，。知识点：连续的定义以及极限的保号性证明：由于，不妨设，在点连续，即，对，存在正数，当时，即，故；而已知，故当时，。同理可证，当时，存在的某一邻域，当时，。 5设，应当如何选择数，使得成为内的连续函数。知识点：函数在区间上的连续性思路：关键是分段点处的连续问题解：由初等函数的连续性，显然在上是连续的；故只要在分段点处连续即可；故只需在处有，代入，解得； 6设，已知在处连续，试确定及的值。知识点：左右连续；思路：在处连续，有，并据此列式求解；解：在处连续当且仅当在处既左连续又右连续；由； 7研究 在处的左右连续性。知识点：左右连续；思路：由于当时，；当时，故在求涉及到当时的极限时一定要左右极限分别求。解：，而，显然在处是右连续但不左连续。8设函数在处连续，且，已知，试证函数在处也连续。知识点：连续定义；证明：，故 ；由函数在处连续，则对任意正数，存在正数，当时，即；而，所以，即在处也连续。证法二：，故 ；又，在处连续，由夹逼定理：9设，当，取何值时，在上连续。知识点：极限求法和连续定义；思路：先将化成初等函数，才方便考察其连续性；化简过程即是计算极限的过程，在计算极限过程中，当时，的极限与的范围有关：当，；当时，；故要分类讨论，以数为分段点解：当，； 当，； 当 ，； 当 ，；则，显然在上连续，故在上连续，只需要求在，处连续，而 ，知；，知；由解得：； 内容概要名称 主要内容1.10连续函数运算与性质连续函数的四则运算性质；反函数与复合函数的连续性；初等函数在定义区间内是连续的；闭区间连续函数性质 最值定理：闭区间连续函数一定有最大最小值；有界性定理：闭区间连续函数一定在该区间上有界；零点定理： 闭区间上的连续函数，若与异号（），则在开区间内至少有函数的一个零点，即至少存在一点，使得。介值定理：闭区间上的连续函数，若，则对任意，至少存在一点，使得一致连续性定理（了解）；习题1-10 1求函数的连续区间，并求，。知识点：初等函数连续性及连续函数的性质思路：初等函数在定义域上连续，函数在连续点处的极限值等于该点的函数值解：本函数的定义域为：，解得或；则本函数的连续区间为；，； 2求下列极限：（1）； （2） ； （3） ； （4）；（5）； （6）知识点：连续函数的定义及性质；解：（1）；（2）；（3） ； （4）； （5）； （6）； 3证明方程至少有一个根介于1和2之间。知识点：零点定理；思路：若令，则方程在某区间上是否有根的问题，化为函数在该区间是否有零点的问题。证明：设，显然在区间上连续，由零点定理：存在， ，即是的根，介于1和2之间。 4证明方程至少有一个正根，并且它不超过。知识点：同题3；思路： 同题3；证明：设，显然在区间上连续；：若，则，此时即是的根；：若，则，由零点定理，存在，使得，即是方程的根；综上，结论成立。 5证明曲线在与之间至少与轴有一个交点。知识点：零点定理；证明：设，显然在上连续；由零点定理：存在，使得，即点在曲线上，则结论成立。 6设，求证在区间内至少有一点，使得。知识点：同题3；思路：同题3；证明：设，显然在上连续，则，由零点定理，存在，使得，即。7设函数对上任意两点，恒有（为常数），且，试证在内至少有一点，使得。知识点：极限的夹逼准则，连续的定义及零点定理；思路：先利用定义证明函数连续，再利用零点定理证明结论。证明：设任意点，先用定义证在点连续：设，由任意两点，恒有得：，即，而当时，故由夹逼准则，知，即在上连续，由的任意性知，在上连续；又，则由零点定理，在内至少有一点，使得。 8若在上连续，则在上必有，使 。知识点：闭区间上连续函数的最值定理与介值定理；思路：先证明是最小值与最大值之间的某个值；再用介值定理；证明：在上连续且，则必在上连续，且在必有最值，设为，最小值； 设 ，则，即，由介值定理，必存在，使得。9设在上连续，且，证明：在上至少存在一点，使 。知识点：零点定理。思路：从结论的形式中分析找到对应的函数：，以及对应的闭区间，然后逐个验证函数在此区间上满足零点定理的条件。证明：令，当时，由函数在上连续，故在上连续，在上连续，故在上连续，且，：当时，取，则，此时结论成立；： 当时，则由零点定理得，存在使得，即；此时结论成立；综上，结论成立。总习题一 1求函数的定义域：知识点：函数定义域。 解：由其表达式有 2设函数的定义域是，求的定义域。知识点：复合函数的定义域。解：由已知的定义域是，故对有：，即，解得，所以的定义域为 3设，要使当时，应如何选择邻域的半径。知识点：函数及邻域定义。思路：由函数值范围，解出的最大范围；取值使不超过这个最大范围。解：要使，即，即，只须，此时只须取即可（选取不是唯一的，只要选比小的正数保证即可） 4证明是奇函数。知识点：函数奇偶性；思路：按定义只需证即可；解：函数定义域为， ，故，是奇函数；5设函数，的图形关于，均对称，试证：是周期函数，并求其周期。知识点：周期函数定义，及对称图形的性质思路：如若函数图形关于对称，则解：，由函数图形关于对称知，而，由函数图形关于对称，则，；则是周期函数，且其周期； 6设在上有意义，求证：（1）若单调减少，则；（2）若单调增加，则。知识点：单调性思路：因为题中涉及三者对应函数值的关系，故可按单调性比较它们的大小解：（1），；又单调减少， ， ， ，两式相加化简得：； （2） 同理可证。7求下列函数的反函数： （1），； （2）。知识点：求分段函数的反函数思路：从函数中解出即可，需注意范围的对应解：（1） ，由韦达定理，上式有实解当且仅当，且。当时，与范围不符，故舍掉；当， （可分别验证），故舍掉；综上，按习惯将自变量用来记，所求函数的反函数为。（2） ，则所求函数的反函数为 8求函数的表达式：，。知识点：复合函数定义思路：用三角公式将等式右端表达为的函数，即可求得解：令，得；故； 9设满足方程：，求。知识点：函数定义思路：已知等式对任意成立，自然对也成立解：令，则，由函数自变量与用何字母表示无关，可化为，则解方程组 得： 10设函数，且，求及其定义域；。知识点：函数的复合；解： ，则，解得：，由，知，；显然的定义域为； 11设，求，并做出图形：知识点：分段函数的复合；思路： 在对应的范围内代入即可；10图1-11（1）解：， 0图1-11（2） ，12设，求，。解：当时，则， ；当时，则 ；故，；13，求。知识点：数列极限；思路：多项和时，先化简。解： 14求极限 。知识点：左右极限的求法；思路：求有绝对值的函数极限要先去绝对值，另外因在处的左右极限值不同，所以需通过左右极限讨论上述极限解：时，；， 时，；， ， 15用定义证明函数当时极限为0 。知识点：函数极限定义证明： ，要使，只须取，则当时，总有，故 16证明：若及时，函数的极限都存在且都等于，则。知识点：函数极限定义证明：对，因，当时，总有，又因，对上述， ，当时，总有，现取，当时，总有，故； 17利用极限定义证明：函数当时极限存在的充分必要条件是左极限，右极限各自存在并且相等。知识点：数列极限定义证明：必要性： 设，于是，当时（即和），有，所以 充分性： 当，则，当时，有； ，当时，有；取，则当及，即时，亦有， 18根据定义证明：为时的无穷小。