数学物理方程-第五章格林函数法.doc

(完整版)数学物理方程-第五章格林函数法
第五章 格林函数法
在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet问题的解.本章利用Green函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet问题。 另外，也简单介绍利用Green函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.
§51 格林公式
在研究Laplace 方程或Poisson方程边值问题时，要经常利用格林（Green）公式，它是高等数学中高斯（Gauss）公式的直接推广.
设为中的区域,充分光滑。 设为非负整数，以下用表示在上具有阶连续偏导的实函数全体，表示在上具有阶连续偏导的实函数全体。 如，表示在具有一阶连续偏导数而在上连续。 另外，为书写简单起见,下面有时将函数的变量略去.如将简记为，简记为或等等.

设,和，则成立如下的Gauss公式
(1.1)
或者
(1.2）
如果引入哈米尔顿（Hamilton）算子： ，并记，则Gauss公式具有如下简洁形式
（1。3）
其中为的单位外法向量.

注1 Hamilton算子是一个向量性算子,它作用于向量函数时，其运算定义为

形式上相当于两个向量作点乘运算,此即向量的散度div。 而作用于数量函数时，其运算定义为
，
形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数的梯度grad。
设，,在(1。3)中取得
（1。4)
直接计算可得
（1.5)
其中. 将（1.5)代入到（1.4）中并整理得
(1。6)
（1。6）称为Green第一公式.

在（1.6)中将函数，的位置互换得
(1.7）
自（1.6)减去(1.7)得
（1.8）
（1。8)称为Green第二公式。
设点，点，. 引入函数 ，注意是关于六个变元和的函数且. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量的偏导数. 直接计算可得

即在中除点外处处满足Laplace方程.
设充分小使得. 记，
则。 在Green第二公式中取，. 由于在区域内有，故有

或者
(1.9）
在球面上,
,
因此
（1.10)
其中.
同理可得
（1.11)
其中.
将(1。10)和 (1。11)代入到（1。9）中并令，此时有
，，

并且区域趋向于区域,因此可得
,
即
(1.12)
(1.12）称为Green第三公式。 它表明函数在内的值可用内的值与边界上及的值表示。
注2 在二维情形，Green第一公式和Green第二公式也成立。 而对于Green第三公式, 需要取,其中，，
=。
此时Green第三公式也成立.

§52 Laplace方程基本解和Green函数

基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用。 本节介绍Laplace方程的基本解,并在一些特殊区域上由基本解生成Green函数，由此给出相应区域上Laplace方程或Poisson方程边值问题解的表达式。 下面以Dirichlet问题为例介绍Laplace方程的基本解和Green函数方法的基本思想。

5．2。1 基本解
设，若在点放置一单位正电荷,则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数）
（2。1）
易证： 在满足 进一步还可以证明，在广义函数的意义下满足方程
(2。2）
其中. 称为三维Laplace方程的基本解。
当=2时，二维Laplace方程的基本解为
（2.3）
其中，,. 同理可证,在平面上除点外满足方程,而在广义函数意义下满足方程

(2。4)
其中。
注1 根据Laplace方程的基本解的物理意义可以由方程（2。2）和（2。4）直接求出（2。1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中。 另外，也可以利用Fourier变换求解方程（2。2）和(2。4）而得到Laplace方程的基本解.

5．2。2 Green函数
考虑如下定解问题

设，是(2。5）- （2。6）的解,则由Green第三公式可得
（2.7）
在公式（2。7）的右端,其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6)的边值和自由项求出，即有

.
而在中，在边界上的值是未知的. 因此须做进一步处理。
注2 若要求解Neumann问题,即将（2。6）中边界条件换为。此时，在方程(2。7）右端第二项中，在边界上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.

如何由（2.7)得到定解问题(2。5）(2.6)的解？Green的想法就是要消去(2.7)
右端第一项. 为此，要用下面的Green函数取代（2.7）中的基本解。
设为如下定解问题的解

在Green第二公式中取得

或者
（2。10)
将(2.7)和（2。10)相加得
(2.11)
其中。
由(2。2)和（2.8）—（2。9）可得,是如下定解问题的解

称为Laplace方程在区域的Green函数.
由于在上恒为零,由(2.11)可得

。 (2。14)
因此，若求出了区域的Green函数，则(2。14）便是定解问题（2。5）— （2。6）的解。
§53 半空间及圆域上的Dirichlet问题

由第二节讨论可知，只要求出了给定区域上的Green函数，就可以得到该区域Poisson方程Dirichlet问题的解。 对一般区域,求Green函数并非易事. 但对于某些特殊区域，Green函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出. 下面以半空间和圆域为例介绍此方法.

5．3.1 半空间上Dirichlet问题
设。 考虑定解问题

设则为关于的对称点. 若在，两点各放置一个单位正电荷，则由三维Laplace方程的基本解知，它们在空间产生的电位分别为

其中。 由于和关于对称，且，故有

即为上半空间的Green函数，且有

(3.3)
直接计算可得
（3。4）
将(3.3)—（3.4)代入到公式(2.14）得

上式便是定解问题(3。1）— （3。2)的解。

5．3。2 圆域上Dirichlet问题
设，则. 考虑圆域上的Dirichlet问题

设，为关于圆周的对称点,即如图3-1所示 . 由于，因此对任意有

140

M
O

图3.1
因此有
（3。7)
上式说明函数
(3.8）
在上恒为零。 又由于，故有

即是圆域上的Green函数。
引入极坐标，设，则。 用表示与的夹角，则有

利用余弦定理可得
(3.9)
（3。10）
将(3。9）和(3。10)代入到（3。8）中并整理得
(3。11）
直接计算可得

. (3.12）
记，则有

（3。13）
（3.13)便是定解问题(3。5)-(3.6）的解。
注1 当时（3。13)称为圆域上调和函数的Poisson公式。
注2 利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面.因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及Green函数法的应用范围. 在本章习题中有一些这类题目，Green函数法更多的应用可查阅参考文献。
§54 一维热传导方程和波动方程半无界问题
5．4。1 一维热传导方程半无界问题
为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题

该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题,边界条件为(4.2）. 类似于上节Poisson方程在半空间和圆域上Dirichlet问题的求解思想，也要以热方程的基本解为基础，使用对称法求出问题（4。1)-（4。3）的Green函数,并利用所得到的Green函数给出该问题的解.
一维热传导方程的基本解为

是如下问题的解

相当于在初始时刻,在点处置放一单位点热源所产生的温度分布。若将上面定解问题中的初始条件换为，只要利用平移变换易得此时(4。4)—（4。5）的解为.
为求解定解问题（4.1）—（4.3）,先考虑，其中为轴正半轴上的任意一点. 此时，相当于在点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在轴正半轴上产生的温度分布,如果满足边界条件（4。2），它便是（4.1）—（4.3）的解，即为该问题的Green函数. 为此，设想再在点，此点为
关于坐标原点的对称点,处置放一单位单位负热源，这时在点处置放的单位点热源产生的温度分布和在处置放的单位负热源产生的温度分布在处相互抵消,从而在处的温度恒为零。 因此，问题(4.1）—（4。3）的Green函数为
(4。6)
利用叠加原理可得原问题的解为
. （4.7)
若将（4。2）中的边界条件换为或，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.

5．4。2 一维波动方程半无界问题
考虑以下齐次方程定解问题

一维波动方程的基本解为

完全类似于上小节的分析，可得该问题的函数为
, （4.11)
其中. 因此,该定解问题的解便可表示为
。 （4.12）
注意到的具体表示式为

类似地有

将上面两式代入到(4。12）中并整理可得

若将（4.9)中的边界条件换为,请同学们考虑如何求解相应的定解问题。
注1 对一维波动方程半无界问题,除上面使用的Green函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解. 相比之下，Green函数法最简单。
注2 类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题,也可以建立起解的Green 公式表达式，相当于本章第二节中的（2。14）, 并以此为基础而给出上面（4。7）和（4.12）两式的严格证明。 由于本章主要是通过对一些比较简单的偏微分方程定解问题的求解,重点介绍Green函数法的基本思想和一些特殊区域Green函数的具体求法，故略去了(4。7）和（4。12）两式的推导过程.

习 题 五
1．设为有界区域，充分光滑，。 证明
（1)。
（2）。
2。 设为有界区域，充分光滑,满足下面问题
证明 ，并由此推出Poisson方程Dirichlet问题解的唯一性。若将定解问题中的边界条件换为 问在中等于什么？
Poisson方程Neumann问题的解是否具有唯一性？
3 设为有界区域，充分光滑，满足下面问题
其中 在闭域非负有界且不恒为零. 证明或求解以下各题
（1） 如果证明。
（2）如果而边界条件换为问在区域中等于什么？
4。（1) 验证,，其中

（2）设, , 求，并且满足
的解， 其中是以原点为圆心为半径的圆形域,为的单位外法向量.
（3） 设， , 求，，并且满足的解， 其中是以原点为球心为半径的球形域，为的单位外法向量.
5． 设有界区域,充分光滑，。 证明

其中，如第4题所示。
6。 设有界区域,充分光滑,，,
为二维Laplace方程的基本解。 考虑定解问题

若是如下定解问题的解

证明 若，则有
，
其中.
7. 设有界区域，充分光滑， 考虑定解问题

证明该问题可解的必要条件为 。
8 证明上半空间Laplace方程Dirichlet问题的Green函数满足

对平面上圆域Laplace方程Dirichlet问题的Green函数,给出类似结果。
9. 利用对称法求二维Laplace方程Dirichlet问题在上半平面的Green函数, 并由此求解下面定解问题

10． 求二维Laplace方程在下列区域上 Dirichlet问题的Green函数.
（1) . （2） .
11． 设。 考虑半圆域Dirichlet问题

应用对称法求区域上的Green函数.
12 求解定解问题

其中.
13．解对边值的连续依赖性设为半径等于的圆域，考虑如下问题

利用Poisson公式证明

14证明在广义函数的意义下， 满足 ，
其中 。
15设为半径等于的圆域，考虑如下问题

如果在连续,证明由Poisson公式给出的解是该问题的古典解(真解）。
16设为平面上区域上的调和函数，且.
证明调和函数的平均值公式

17极值原理设有界区域，边界充分光滑，为
内的调和函数,并且在某点达到在闭域上的最大（小）值，利用平均值公式证明为常数.
18极值原理设有界区域，边界充分光滑, . 如果在区域内调和且不等于常数,则在闭域上的最大值和最小值只能在区域的边界上达到。
19利用第12题的结果,建立在内调和函数的平均值公式,并证明和第16题类似的结果。
20设有界区域，满足

证明 。
21．设和为平面上的两个区域,在区域内解析且不等于常数，,即将区域保形映射到区域。证明 如果在区域内调和,则在区域内调和.
22。（1）找一个在上半平面解析的函数，在边界上满足其中和为实常数.
(2)求下面定解问题的一个解

23 求下面定解问题的一个解

24. 求下面定解问题的一个解

25. 求下面定解问题的一个解

26. 设,，在内调和且在上连续，在边界上非负，证明以下结果
（1）有 其中.
（2)存在常数 使得