第八-十讲二次方程及不等式专题讲练.doc

第八讲 根与系数的关系及应用
如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0)的两根为x1，x2，那么

反过来,如果x1，x2满足x1+x2=p，x1x2=q，则x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．
　　1．已知一个根,求另一个根
　　利用韦达定理,我们可以通过方程的一个根，求出另一个根．
　　例1 方程（1998x）2-1997·1999x—1=0的大根为a，方程x2＋1998x—1999=0的小根为b，求a-b的值．
　　解 先求出a，b．
　　由观察知,1是方程(1998x）2—1997·1999x-1=0的根,于是由韦达
　　又从观察知，1也是方程x2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根为—1999，从而b=—1999．
　　所以a-b=1-（—1999)=2000．
　　例2 设a是给定的非零实数，解方程

　　解 由观察易知,x1=a是方程的根．又原方程等价于

　　2．求根的代数式的值

　　在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧．
　　例3 已知二次方程x2—3x＋1=0的两根为α,β,求：

　　（3）α3＋β3；(4)α3-β3．
　　解 由韦达定理知
α+β=3，αβ=1．

　　（3)α3＋β3=（α+β)(α2—αβ+β2）
　　　　　　　=（α+β)［（α+β）2—3αβ］
　　　　　　　=3（9-3)=18；
　　(4）α3—β3=(α-β）（α2+αβ+β2)
　　　　　 　=（α—β)[(α+β)2—αβ］

　　例4 设方程4x2-2x—3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值．
　　解 因为α是方程4x2—2x—3=0的根,所以
4α2-2α—3＝0，
即
4α2=2α＋3．

4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β）+3=4．
　　例5 已知α，β分别是方程x2＋x—1=0的两个根，求2α5+5β3的值．
　　解 由于α，β分别是方程x2＋x—1=0的根，所以
α2+α—1=0，β2+β—1=0,
即 α2=1-α,β2=1-β．
　　　　　α5=（α2）2·α=（1-α）2α=(α2—2α+1）α
　　　　　　=（1—α-2α+1）α=-3α2+2α
　　　　　　=-3（1—α）+2α=5α—3，
　　　　　β3=β2·β=(1-β）β=β—β2
　　　　　 　=β-(1-β）=2β—1．
所以
　　　　　2α5+5β3=2（5α—3）+5（2β—1）
　　　　　　　　 　=10（α+β)—11=—21．
　　说明 此解法的关键在于利用α，β是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次,最后都降到一次,这种方法很重要．
　　例6 设一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个实根的和为s1，平方和为s2，立方和为s3，求as3＋bs2＋cs1的值．
　　解 设x1,x2是方程的两个实根，于是

所以 　　　　　as3＋bs2＋cs1=0．
　　说明 本题最“自然"的解法是分别用a，b，c来表示s1，s2,s3，然后再求as3＋bs2＋cs1的值．当然这样做运算量很大，且容易出错．下面我们再介绍一种更为“本质”的解法．
　　另解 因为x1，x2是方程的两个实根，所以

同理

将上面两式相加便得
as3＋bs2＋cs1＝0．
　　3．与两根之比有关的问题
　　例7 如果方程ax2＋bx＋c=0（a≠0)的根之比等于常数k，则系数a，b，c必满足：
kb2=（k＋1）2ac．
　　证 设方程的两根为x1，x2，且x1=kx2，由韦达定理

由此两式消去x2得

即
kb2＝(k＋1)2ac．
　　例8 已知x1，x2是一元二次方程
4x2—(3m—5）x—6m2＝0

　　解 首先，△=（3m—5）2＋96m2＞0，方程有两个实数根．由韦达定理知

从上面两式中消去k,便得

即 　　　　　　m2-6m+5=0，
所以 m1=1,m2=5．
　　4．求作新的二次方程
　　例9 已知方程2x2-9x＋8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数,另一根为原方程两根差的平方．
　　解 设x1，x2为方程2x2-9x＋8=0的两根，则

设所求方程为x2+px+q=0,它的两根为x’1,x’2，据题意有

故

所以,求作的方程是
36x2—161x＋34=0．
　　例10 设x2—px＋q=0的两实数根为α，β．
　　（1)求以α3，β3为两根的一元二次方程;
　　(2)若以α3,β3为根的一元二次方程仍是x2-px＋q=0，求所有这样的一元二次方程．
解 （1)由韦达定理知
α+β=p，αβ=q,
所以
α3+β3=（α+β)[(α+β）2-3αβ]=p(p2—3q），
α3·β3=（αβ)3=q3．
所以，以α3，β3为两根的一元二次方程为
x2—p（p2—3q）x+q3=0．
　　(2）由(1)及题设知

由②得q=0，±1．若q=0，代入①，得p=0，±1；若q=-1，代入①，
以，符合要求的方程为
x2=0，x2—x=0，x2+x=0,x2—1=0．
　　5．证明等式和不等式

　　利用韦达定理可以证明一些等式和不等式，这常常还要用判别式来配合．
　　例11 已知实数x，y,z满足
x=6—y，z2=xy—9，
求证：x=y．
　　证 因为x＋y=6，xy=z2＋9，所以x，y是二次方程
t2-6t+（z2+9）=0
的两个实根，于是这方程的判别式
△=36-4(z2+9)=-4z2≥0,
即z2≤0．因z为实数,显然应有z2≥0．要此两式同时成立,只有z=0，从而△=0,故上述关于t的二次方程有等根，即x=y．
　　例12 若a，b,c都是实数,且
a＋b＋c=0，abc=1，

　　证 由a＋b＋c=0及abc=1可知,a,b，c中有一个正数、两个负数,不妨设a是正数,由题意得

于是根据韦达定理知，b,c是方程

的两个根．又b，c是实数，因此上述方程的判别式

因为a＞0，所以
a3—4≥0，a3≥4，

　　例13 知x1，x2是方程4ax2—4ax+a+4=0的两个实根．

　　解 (1)显然a≠0,由△=16a2-16a（a+4）≥0，得a＜0．由韦达定理知

所以

所以a=9,这与a＜0矛盾．故不存在a，使

（2）利用韦达定理

所以(a+4)|16，即a+4=±1，±2，±4，±8，±16．结合a＜0，得a=—2，-3，—5，-6，—8，—12，-20．
练习八
　　1．选择：
　　(1）若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b2-4ac与平方式M=（2ax0+b）2的关系是 [ 　　]
　　　(A）△＞M 　　　　　　（B)△=M
　　　(C)△=＜M 　　　　　　(D）不确定
　　（2)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，则　

　　[ 　　］
　　　(A)-4　　　　　　(B)8
　　　(C)6 　　　　　　(D)0
　　为 [ 　　]
　　　(A)3　　　　　　　(B)—11
　　　(C）3或—11　　　　　(D)11
　　2．填空：
　　（1）如果方程x2+px+q=0的一根为另一根的2倍，那么,p，q满足的关系式是______．
　　（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，乙由于看错了某一项系数的符号,

1993+5a2+9a4=_______．
　　（4)已知a是方程x2—5x+1=0的一个根，那么a4+a—4的末位数是______．
　　另一根为直角边a,则此直角三角形的第三边b=______．
　　3．已知α，β是方程x2—x—1=0的两个实数根,求α4+3β的值．
　　4．作一个二次方程，使它的两个根α,β是正数，并且满足关系式

　　5．如果关于x的方程x2+ax+b=0的两个实数根之比为4∶5，方程的判别式的值为3,求a，b的值．
第九讲 判别式及其应用
一元二次方程的根的判别式（△)是重要的基础知识，它不仅能用于直接判定根的情况，而且在二次三项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用,是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有许多应用．熟练掌握它的各种用法，可提高解题能力和知识的综合应用能力．　
　　1．判定方程根的情况
　　例1 已知方程x2-2x-m=0没有实数根，其中m是实数．试判定方程x2+2mx+m(m+1)=0有无实数根．
　　解 因为方程x2-2x-m=0无实数根，所以
△1=(-2）2-4×（-m）=4+4m＜0,
　　即 m＜—1．
　　因为
△2=(2m)2-4m（m+1)=—4m＞0，
　　所以方程x2+2mx+m（m+1）=0有两个不相等的实根．
　　例2 已知常数a为实数,讨论关于x的方程
（a—2）x2+(—2a+1）x+a=0
　　的实数根的个数情况．
　　实根．
　　当a≠2时，原方程为一元二次方程，其判别式
△=（-2a+1)2—4(a-2）a=4a+1,

　　说明 对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况，前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式．　
　　2．确定方程中系数的值或范围
　　例3 关于x的一元二次方程

　　有实根，其中a是实数，求a99+x99的值．
　　解 因为方程有实根，所以

　　即 —a2-2a—1≥0．
　　因为-(a+1)2≥0，所以a+1=0，a=-1．
　　当a=-1时，原方程为x2-2x+1=0，x=1，所以
a99+x99=(—1）99+199=0．
　　例4 若方程
x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2=0
　　有实根,求a,b的值．
　　解 因为方程有实根,所以它的判别式
△=4（1+a）2-4(3a2+4ab+4b2+2）≥0，
　　化简后得
2a2+4ab+4b2—2a+1≤0，
　　所以 　　　　　　　(a+2b)2+（a—1)2≤0，

　　说明 在本题中，只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”，从而可以得到一个方程组,进而求出要求的值．
　　例5 △ABC的一边长为5，另两边长恰是方程
2x2-12x+m=0
　　的两个根，求m的取值范围．
　　解 设△ABC的三边分别为a,b,c，且a=5，由
△=122-4·2·m=144-8m≥0

　　并且不等式
25=a2＞（b-c)2=(b+c）2—4bc=36—2m,

　　3．求某些方程或方程组的解
　　例6 求方程5x2+5y2+8xy+2y—2x+2=0的实数解．
　　解 先把y看作是常数，把原方程看成是关于x的一元二次方程,即
5x2+(8y—2)x+（5y2+2y+2)=0．
　　因为x是实数，所以判别式
△=(8y—2)2—4·5·(5y2+2y+2)≥0,
　　化简后整理得
y2+2y+1≤0，
　　即(y+1）2≤0,从而y=—1．将y=-1代入原方程,得
5x2—10x+5=0,
　　故x=1．所以，原方程的实数解为x=1,y=-1．
　　说明 （1）本题也可以把x看作常数，把方程写成关于y的一元二次方程，再用判别式来求解．
　　(2)本题还可以用配方的方法，把原方程变形为
4(x+y）2+(x—1）2+（y+1)2=0，
　　从而x=1，y=—1．
　　例7 解方程组

　　解 引入待定系数k，由k·①+②得

　　或写成

△=(k+4）2-4（k+7）（k—1）=0．

　　即

　　4．证明不等式，求最大值和最小值
　　用判别式证明不等式,常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．
　　是多少？

（x-3）2+(kx—3）2=6，
　　即 　　　　　　　(k2+1)x2—6(k+1)x+12=0,
　　将它看成关于x的一元二次方程．因x是实数,所以
△=36（k+1）2—48(k2+1)≥0，
　　即 　　　　k2-6k+1≤0． ①

　　解 由于

　　所以 yx2+（y-2)x+y=0，
　　上式可以看成关于x的一元二次方程．因x为实数,所以
△=(y-2)2—4y2≥0，
　　即　　　　　3y2+4y-4≤0,
(3y—2）（y+2）≤0．

　　当y=-2时，代入yx2+（y—2)x+y=0中,得x=-1,即x=—1时，y=

　　例10 实数a，b,c满足a+b+c=2,且对任何实数t，都有不等式
—t2+2t≤ab+bc+ca≤9t2—18t+10,

　　证 因为对任何实数t，有
—t2+2t=—(t—1)2+1≤1，
9t2-18t+10=9（t-1）2+1≥1，
　　当t=1时，便有
1≤ab+bc+ca≤1，
　　所以　　　　　　　ab+bc+ca=1．
　　由于a+b=2—c,于是
ab=1-c（a+b）=1-c(2—c)=(c—1）2，
　　于是a，b是一元二次方程
t2—(2—c)t+（c-1）2=0
　　的两个实数根．所以
△=（2—c）2-4(c—1)2≥0，
　　即 3c2—4c≤0，

练习九
　　1．选择：
　　(1)某一元二次方程根的判别式△=2m2—6m+5，此方程根的情况是[　　］
　　（A）有两个不相等的实根
　　（B)有两个相等的实根
　　（C)没有实根
　　(D）由实数m的值而定
　　(2)关于x的方程2kx2+(8k+1)x=-8k有两个实根，则k的取值范围是[　　]

　　（3）如果关于x的方程mx2-2（m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于x的方程(m-5）x2—2（m+2）x+m=0的实根个数为 [　　]
　　(A）2个 　　　　　　(B）1个
　　(C）0个 　　　　　　(D)不确定
　　(4)方程（x+1）2+（y—2)2=1的整数解有 ［　　]
　　（A）1组 　　　　　　（B)2组
　　（C）4组 　　　　　　(D)无数组
　　（5)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，则判别式△=b2—4ac与平方式M=（2ax0+b）2的关系是 ［　　]
　　（A)△＞M 　　　　　　(B）△=M
　　（C)△＜M 　　　　　　（D）不确定
　　2．填空：
　　(1)关于x的方程(a2—4)x2-2(a+2)x+1=0
　　恰有一个实根，则a=____．
　　（2)设m是不为0的整数,二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根，则m=____．
　　(3）当m=____时，二次方程(m2—2）x2—2(m+1）x+1=0
　　有两个不等的实数根．
　　(4)p，q是正数，如果方程x2+px+q=0的两个根之差是1，那么p=____．
　　（5)若x为实数，且有4y2+4xy+x+6=0，则使y取实数值的所有x值的范围是____．
　　3．求方程5x2-12xy+10y2—6x—4y+13=0的实数解．
　　4．解方程组

　　5．已知a，b是整数,x2—ax+3-b=0有两个不相等的实根，x2+（6—a)x+7-b=0有两个相等的实根，x2+(4-a)x+5-b=0没有实根，求a，b的值．
　　6．已知a是实数,且关于x的方程x2-ax+a=0有两个实根u，v，求证:u2+v2≥2(u+v)．
第十讲 一元二次不等式的解法
形如ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．一元二次不等式的解法与二次函数、一元二次方程的根之间有着密切的联系，a＞0的情况如表10．1所示。

　　a＜0时，可先在不等式两边同乘—1（不等号方向改变)，化为上述情况．
　　本讲将介绍有关处理一元二次不等式问题的方法与技巧．

　　1．含参数的不等式的解法
　　例1 设a为参数，解关于x的一元二次不等式
x2(a+3）x+3a＜0．
　　解 分解因式
（x—3)(x—a)＜0．
　　(1)若a＞3,解为3＜x＜a；
　　（2）若a＜3，解为a＜x＜3;
　　（3）若a=3，原不等式变成(x-3）2＜0，无解．
　　例2 设a为参数,解关于x的一元二次不等式ax2-(a+1)x+1＜0．
　　解 (1)a=0，原不等式为—x+1＜0，解为x＞1．
　　（2)a≠0，分解因式得

　　①若a＞0,则

　　②若a＜0，则

　　例3 对一切实数x，不等式ax2+(a—6）x+2＞0恒成立,求a的值．
　　解 由于不等式对一切x恒成立，故a应该满足

　　即

　　所以 2＜a＜18．
　　例4 设有不等式

　　试求对于满足0≤x≤2的一切x成立的t的取值范围．
　　解 令y=x2-3x+2,0≤x≤2,则在0≤x≤2上y能取到的最小　

　　所以

　　2．含绝对值的不等式
　　例5 解不等式x2-x-5＞｜2x-1｜．

x2—x-5＞2x-1,
　　即　　　　　　x2—3x—4＞0，

　　　　　　　　　　　　　　　x2-x—5＞1—2x，
　　即　　　　　　　　　x2+x—6＞0，

　　综上所述,原不等式的解为x＜-3或x＞4．
　　例6 解不等式｜x2—2x-3｜＞2．
　　解 ｜y|＞2，即y＞2或y＜—2，所以,可以把原不等式分为两个不等式：
x2—2x—3＞2， ①
x2—2x—3＜-2． ②
　　解①得

　　综合上述两个不等式的解,原不等式的解为(图3－13）

　　3．可化为一元二次不等式来解的不等式

　　例7 解不等式

　　解 原不等式可化为

(x—1）（x+1)＞0，
　　所以 　　　　　　　x＜-1或x＞1．
　　例8 解不等式

　　解 首先，由

　　得—1≤x≤3．将原不等式变形为

　　由于上式两边均非负，故两边平方后、整理得

（7—8x）2＞16(x+1)，
　　所以 64x2-128x+33＞0，

　　例9 设a＞0,解不等式

　　解 因为a＞0，①的左端非负，因此x+1≥0．下面分两种情形讨论．
　　(1)x≥0时，①式左右两边平方得
a2x≤（x+1)2,
　　整理得
x2+（2—a2)x+1≥0． ②
　　因为△=（2-a2）2-4=a2（a2-4），所以a＜2时,△＜0，②对一切x≥0成立．a≥2时，△≥0,x2+(2—a2）x+1有实根，而且两根的积为1，和为非负数a2—2，所以两根均为正．②的解为

　　及

　　（2）-1≤x＜0时，①式变为

　　③式两边平方、整理得
x2+(a2+2)x+1≥0． ④
　　因为△=(a2+2）2—4＞0，所以x2+(a2+2）x+1有两个不相等的实数根，由韦达定理知，两根均为负．由于两根积为1，较小的根小于-1，较大的根大于—1，所以④的解为

　　综合(1）,(2），原不等式的解为：
　　当a≥2时，

　　及

　　当0＜a＜2时,

练习十
　　1．填空：
　　（1）不等式5x—3x2—2＞0的解为______．
　　（2）不等式42x2+ax＜a2的解为______．
　　（3）不等式x2-4|x｜+3＞0的解为______．

　　（8)若对任何实数x，不等式kx2-(k—2)x+k＞0恒成立,则k的取值范围是____．
　　2．解不等式x4-3x2+2＜0．
　　3．解关于x的不等式

　　4．不等式

　　对一切x都成立,求k的取值范围．
　　5．a为何值时，只有一个x值满足不等式
0＜x2+ax+5≤4．