空间向量运算的坐标表示练习题.doc

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课时作业(十七)

一、选择题
1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝(　　)
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
【解析】　b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．
【答案】　A
2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为(　　)
A. B. C. D.
【解析】　∵AB的中点M，∴＝，故|CM|＝||＝ ＝.
【答案】　C
3．(2014·德州高二检测)已知向量a＝(2,3)，b＝(k,1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是(　　)
A．－6 B．－ C. D．14
【解析】　由题意得a＋2b＝(2＋2k,5)，且a－b＝(2－k,2)，又因为a＋2b和a－b平行，则2(2＋2k)－5(2－k)＝0，解得k＝.
【答案】　C
4. (2014·河南省开封高中月考)如图3­1­32，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为(　　)

图3­1­32
A．1 B. C. D.

【解析】　以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1,1，)，F，所以|EF|＝＝，故选C.

【答案】　C
二、填空题
5．(2014·青岛高二检测)已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，O(0,0,0)，点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，点Q的坐标为________．
【解析】　设＝λ＝(λ，λ，2λ)，故Q(λ，λ，2λ)，故＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则·＝6λ2－16λ＋10＝62－，当·取最小值时，λ＝，此时Q点的坐标为.
【答案】　
6．若＝(－4,6，－1)，＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝________.
【解析】　设a＝(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得：或
【答案】　或
7．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝________.
【解析】　因为＝(m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2,6)，由题意得∥，则＝＝，所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.
【答案】　0
三、解答题
8．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
【解】　　(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
若⊥b，则·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，
因此存在点E，使得⊥b，E点坐标为.
9．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是正方形ABCD的中心．
求证：⊥.
【证明】　建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为1个单位，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，M，O.

∴＝，＝.
∵·＝×(－1)＋×0＋1×＝0，
∴⊥.

1．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为(　　)
A．－2 B．2 C．3 D．－3
【解析】　∵b－c＝(－2,3,1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.
【答案】　A
2．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
【解析】　a＋b＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
【答案】　A
3．(2014·玉溪高二检测)设动点P在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是________．

【解析】　由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，则＝(1,1，－1)，得
＝λ＝(λ，λ，－λ)，所以
＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，
＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于·＜0，即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2＜0，即(λ－1)(3λ－1)＜0，解得＜λ＜1，因此λ的取值范围是.
【答案】　
4. 在正三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°？

图3­1­33
【解】以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知A(0,0,0)，C(0,2,0)，B(，1,0)，B1(，1,2)，M.
又点N在CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，
则＝(，1,2)，＝，
所以||＝2，||＝，·＝2m－1.
如果异面直线AB1和MN所夹的角等于45°，那么向量和的夹角等于45°或135°.
又cos〈，〉＝＝.
所以＝±，解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾．
所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°.

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