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【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】
专题七 圆锥曲线
一、选择题
1．【2018广东佛山高三二模】已知双曲线的左焦点为，右顶点为，虚轴的一个端点为，若为等腰三角形，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得不妨设，则，
因为为等腰三角形，所以只能是
即，（舍去负值），选A.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
2．【2018湖南株洲高三二模】已知双曲线的右焦点为，其中一条渐近线与圆交于两点，为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
详解：双曲线的右焦点为 ，一条渐近线方程为 ，
圆的圆心 ，半径为 ，
渐近线与圆交于两点，为锐角三角形，
可得： 可得 又
可得 可得： ，由 可得
所以双曲线的离心率的取值范围是．
故选D．
点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的简单性质的应用，考查转化思想已经计算能力．
3．【2018延安高三模拟】已知，为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】D
即有|MF2|=3|MF1|=3a，
由OM为三角形MF1F2的中线，可得
（2|OM|）2+（|F1F2|）2=2（|MF1|2+|MF2|2），
即为4b2+4c2=2（a2+9a2），
即有c2+b2=5 ,再根据 得到双曲线的离心率为 .
故选：D ．
点睛：本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．
4．【2018安徽淮北高三二模】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为两点，以为直径的圆过点，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
5．【2018衡水金卷高三二模】已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且焦点在圆上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，即①，又双曲线的焦点在圆上，故令，解得，所以②，又③，联立①②③解得，，所以双曲线的标准方程为，故选B.
6．【2018安徽安庆高三二模】过双曲线的左焦点F作圆的切线，切点为M，又直线FM与直线相交于第一象限内一点P，若M为线段FP的中点，则该双曲线的离心率为
A. B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】因为
选B.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
7．【2018东莞高三二模】已知双曲线的离心率为2，过右焦点的直线交双曲线的两条渐近线于两点，且，则直线的斜率的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
8．【2018广东惠州高三4月模拟】已知是抛物线的焦点， 为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为．
过点作垂直于准线， 为垂足，则由抛物线的定义可得，则， 为锐角．
∴当最小时， 最小，则当和抛物线相切时， 最小．
设切点，由的导数为，则的斜率为.
∴，则.
∴，
∴
故选C．
点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，
这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.
9．【2018河南郑州高三二模】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值为( )
A. 23 B. 42 C. 12 D. 52
【答案】A
【点睛】当抛物线方程为，过焦点的直线与抛物线交于，则有，抛物线的极坐标方程为，所以 ，
，所以，即证。
10．【2018内蒙古呼和浩特高三一调】已知是双曲线的上、下两个焦点，过的直线与双曲线的上下两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．
11．【2018四川德阳高三二诊】如图，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线及其准线从上到下依次交于、、点，令，，则当时，的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，则 同理可得，
故选B.
12．【2018重庆高三4月二诊】设集合， ，记，则点集所表示的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得圆的圆心在圆上，当变化时，该圆绕着原点转动，集合A表示的区域是如图所示的环形区域．
由于原点到直线的距离为，所以直线恰好与圆环的小圆相切．
所以表示的是直线截圆环的大圆所得的弦长．
故点集所表示的轨迹长度为．选D．
点睛：
解答本题的关键是正确理解题意，弄懂集合和的含义，然后将问题转化为求圆的弦长的问题处理，在圆中求弦长时要用到由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形，然后利用勾股定理求解。
13．【2018湖南衡阳高三二模】设双曲线的右顶点为，右焦点为,弦的过且垂直于轴，过点分别作直线的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
点睛：圆锥曲线里求离心率的取值范围，一般是找到关于离心率的不等式，再解不等式.本题就是根据到直线的距离小于得到 ，再解这个不等式得到离心率的范围的.
14．【2018广东茂名高三二模】过抛物线的焦点，且与其对称轴垂直的直线与交于两点，若在两点处的切线与的对称轴交于点，则外接圆的半径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
15．【2018河北石家庄高三一模】抛物线： 的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时， 的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】 过作 垂足为，则 ∴∴的高等于 ，设
则的面积
又由，三角形为等腰直角三角形， 所以 ，
∴的面积2
故选B.
二、填空题
16．【2018新疆乌鲁木齐高三质监二】已知是椭圆的一个焦点， 是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，椭圆的离心率为__________．
【答案】
点睛：本题主要考查的知识点是椭圆的离心率。解决的关键是根据向量的关系，即题目中给的条件， ，结合相似比得到点，进而代入到方程中，求解得到结论，属于基础题。
17．【2018陕西榆林高三二模】已知抛物线的焦点为是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为__________．
【答案】（或60°）
【解析】由已知，得，
∵，
所以∠MFN的最大值为
故答案为：
点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．
18．【2018重庆高三4月二诊】已知双曲线（， ）的左右焦点分别为， ，点在双曲线的左支上， 与双曲线右支交于点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是__________．
【答案】
点睛：
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
19．【2018广东茂名高三二模】设椭圆的上顶点为，右顶点为，右焦点为， 为椭圆下半部分上一点，若椭圆在处的切线平行于，且椭圆的离心率为，则直线的斜率是__________．
【答案】
20．【2018宁夏银川高三4月质检】设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，已知直线交轴于点且的面积为，则该抛物线的方程为__________．
【答案】或
【解析】根据题意作出如图所示的图象：
其中，，为双曲线的准线，且准线方程为，，.
设，则，.
在中，为的中点，则为的中点，即，.
∵的面积为
∴，即.
∵
∴，即.
∴或
∴该抛物线的方程为或.
故答案为或.
点睛：解答本题的关键是借助题设条件，解答本题的关键是利用三角形中位线的性质得点的纵坐标，再根据三角形面积，数形结合求得，然后再依据已知条件建立方程求出，使得问题获解.
21．【2018河南商丘高三二模】过圆的圆心的直线与抛物线相交于两点，且，则点到圆上任意一点的距离的最小值为__________．
【答案】
【解析】设由题得
不妨设
所以点到圆上任意一点的距离的最小值为故填.
点睛：本题的难点在于探究解题的思路，根据数形结合可得点到圆上任意一点的距离的最小值为|MA|-r,所以要求点A的坐标，所以要找到关于点A，B的两个方程即可，从哪里找到方程，一个是，一个是.
三、解答题
22．【2018广东佛山高三质检二】已知直线过点，且与抛物线相交于两点，与轴交于点，其中点在第四象限，为坐标原点.
(Ⅰ)当是中点时，求直线的方程；
(Ⅱ)以为直径的圆交直线于点，求的值.
【答案】（1）（2）4
试题解析：(Ⅰ)因为是中点，，点在轴上，
所以的横坐标,代入得，，
又点在第四象限，所以的坐标为，所以直线即直线的方程为.
(Ⅱ)显然直线的斜率不为0，设直线的方程为,
又三点共线，则可设为且，
联立方程，化简得到,
由韦达定理得,又在上，所以,
因为在以为直径的圆上,所以，即,
又，所以,即,
所以.
23．【2018衡水金卷高三调研二模】已知点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点.
（1）若直线的斜率为1，，求抛物线的方程；
（2）若抛物线的准线与轴交于点，，求的值.
【答案】（1）；（2）2.
试题解析：（1）由题意知，直线的方程为.
联立得.
设两点的坐标分别为，
则.
由抛物线的性质，可得，
解得，所以抛物线的方程为.
（2）由题意，得，抛物线，
设直线的方程为，，
联立得.
所以①
因为，
所以.
因为三点共线，且方向相同，
所以，
所以，
所以，
代入①，得 解得，
又因为，所以，
所以
.
点睛：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系以及过焦点弦长问题，属于中档题；联立直线与抛物线的方程将韦达定理和弦长公式相结合属常见方法，解决此题的难点是将面积关系转化为向量关系.
24．【2018安徽安庆高三二模】在直角坐标系中，设点A（-3，0），B（3，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是
（1）试讨论点M的轨迹形状；
（2）当0<b<3时，若点M的轨迹上存在点P（P在x轴的上方），使得∠APB=120°，求b的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
试题解析：（（Ⅰ）设点，由题意得：
化简得，所以点的轨迹方程为
当时，点的轨迹是焦点在x轴上的椭圆（除去A,B两点）；
当时，点的轨迹是圆（除去A,B两点）；
当时，点的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（除去A,B两点）
（Ⅱ）方法一：当时，设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为，
因为点P在点M的轨迹上，所以
，
∴
因此的取值范围是
方法二：当时，设点P的坐标为，
∴ 以下同方法一
25．【2018东莞高三二模】已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率为1的直线交椭圆于两点，四边形的周长与面积分别为8与 .
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设直线交椭圆于两点，且，求证：到直线的距离为定值.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) 见解析.
【解析】试题分析：(Ⅰ)利用四边形的周长和椭圆的定义得到，再利用四边形的面积公式和点在椭圆上求出椭圆的标准方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、平面向量的数量积为0进行求解.
试题解析：(Ⅰ)不妨设点是第一象限的点，依题可得.
∵.
∵.
∵点在椭圆上，，解得，或（舍）,
∴椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)当直线斜率存在时，设直线的方程为,
由消去得,
设则,
∵,
即,即,
到直线的距离为.
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为.
由椭圆的对称性易知到直线的距离为.
到直线的距离为定值.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系.在研究直线和圆锥曲线的位置关系时，往往要先利用题意设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系进行求解，但要注意讨论直线的斜率是否存在，如本题中，直线不存在斜率的直线符合题意.
26．【2018黑龙江大庆高三质检二】已知椭圆的焦距为，且过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设分别是椭圆的下顶点和上顶点， 是椭圆上异于的任意一点，过点作轴于为线段的中点，直线与直线交于点为线段的中点， 为坐标原点，求证：
【答案】（Ⅰ）.
（Ⅱ）证明见解析.
【试题解析】
（Ⅰ）由题设知焦距为，所以.
又因为椭圆过点，所以代入椭圆方程得
因为，解得，
故所求椭圆的方程是．
（Ⅱ）设， ，则， ．
因为点在椭圆上，所以．即．
又，所以直线的方程为．
令，得，所以．
又， 为线段的中点，所以．
所以， ．
因
，
所以,即．
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和圆锥曲线的位置关系,考查利用向量的数量积证明两条直线垂直的方法.要求椭圆的标准方程,即求得的值,需要两个条件,题目给定椭圆的焦距和椭圆上一点的坐标,由此可以建立方程,解,联立方程组可求得的值.
27．【2018江西新余高三二模】已知抛物线过点，直线过点与抛物线交于， 两点.点关于轴的对称点为，连接.
（1）求抛物线线的标准方程；
（2）问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1) ；(2)答案见解析.
解析：
(1)将点代入抛物线的方程得，
.
所以，抛物线的标准方程为.
(2)设直线的方程为，又设， ，则.由得.
则， ， .
所以.
于是直线的方程为．
所以.
当时， ，
所以直线过定点.
点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.
28．【2018广东惠州高三4月模拟】已知抛物线的焦点为，点满足.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线交抛物线于两点，当时，求直线的方程.
【答案】(1) ;(2) .
试题解析：（1）由条件易知在抛物线上， ，
故，即抛物线的方程为；
（2）易知直线斜率必存在，设， ， ，
①，
联立得即，
由得，且②， ③，
由①②③得，即直线.
29．【2018陕西咸阳高三二模】已知， ，点是动点，且直线和直线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设直线与（1）中轨迹相切于点，与直线相交于点，且，求证： .
【答案】（1）；（2）证明见解析.
试题解析：
（1）设，则依题意得，又， ，所以有
，整理得，即为所求轨迹方程.
（2）法1：设直线： ，与联立得
，即，
依题意，即，
∴，得，
∴，而，得，又，
又，则.知，
即.
法2：设，则曲线在点处切线： ，令，得
，又，∴.知，
即.
30．【2018河南商丘高三二模】已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上一点满足，过点的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作轴的垂线，交椭圆于，求证：存在实数，使得.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
试题解析：
(1)依题意，，故.
将代入椭圆中，解得，
故椭圆的方程为：.
（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为.
设点，，则，
联立，得.
即，
则，，
由题可得直线方程为，
又∵，.
∴直线方程为，
令，整理得
，
即直线过点.
又∵椭圆的右焦点坐标为，
∴三点，，在同一直线上.
∴ 存在实数，使得 .
点睛：存在实数，使得，就是证明G,三点共线，要就是证明直线NG过定点（1,0）.所以解答本题的关键是读懂命题转化命题.
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