高等流体力学习题.doc

第一讲 绪论
习题：
1.综述流体力学研究方法及其优缺点。
2.试证明下列各式：
  (1)grad(φ±ψ)=grad(φ)±grad(ψ)
  (2) grad(φψ)= ψgrad(φ)+ φgrad(ψ)
  (3)设r = xi +yj+ zk，则 =
  (4) 设r = xi +yj+ zk，求div(r)=？
  (5) 设r = xi +yj+ zk，则div(r4r)= ?
3.给定平面标量场f及M点处上已知两个方向上的方向导数 和 ，求该点处的gradf第二讲 应力张量及应变张量
例2-1试分析下板不动上板做匀速运动的两个无限大平板间的简单剪切流动
， ，
式中k为常数，且k=u0/b。
解：由速度分布和式(2-14、16和17)可得

再由式(2-18)可得

所以II=k=u0/b。

流动的旋转张量R的分量不全为零说明流动是有旋流动，I=trA=0表明流动为不可压缩流动，II=k表明了流场的剪切速率为常数。
第三讲 流体的微分方程
习题：试由纯粘流体的本构方程和柯西方程推导纳维尔-斯托克斯方程（N-S方程）。
第四讲 流动的积分方程
【例3－1】
在均匀来流速度为V的流场中放置一个垂直于来流的圆柱体，经过若干距离后测得的速度分布如图所示，假设图示的控制体边界上的压力是均匀的，设流体为不可压缩的，其密度为ρ，试求:
  (1)流线1-2的偏移量C的表达式；
(2)单位长度圆柱体的受力F的表达式。

解：
(1)无圆柱体时流管进出口一样大（即流线都是直线，无偏移），进出口的流速分布也是相同的，而放入圆柱体之后出口处的流速分布变成图示的那样，即靠近中心线部分的流速变小，由于已经假定流体是不可压缩的流体，若想满足进出口流量相同——连续性方程，必然会导致流管边界会向外偏移，也就是说出口处流管的截面会增大。因此，求解时可由进出口流量相等入手，设入口处平均流速为V，取宽度为L，所得的连续性方程应为：

求得 C=a/2
(2)在流管的进出口截面1-1与2-2之间使用动量方程，即圆柱体的阻力应等于单位时间内流出2-2面的流体的动量与流入1-1面的流体的动量差，列x方向的动量方程可表示为

则，F=-R
【例3－2】 试求如图所示的射流对曲面的作用力。
解：假设水平射流的流量为Q，因曲面对称且正迎着射流，则两股流量可以认为相等，等于Q/2。x方向动量方程为

。
所以，射流对壁面的作用力为
。
射流冲击力的分析是冲击式水轮机转动的理论基础。从上式可知：当θ=90°时，R=ρQv；当θ=180°时，R=2ρQv，曲面所受冲击力最大。

【例3－3】       某涡轮喷气发动机，空气进入压气机时的温度Tl=290K，经压气机压缩后，出口温度上升至T2=450K，如图所示。假设压气机迸出口的空气流速近似相等，如果通过压气机的空气流量为13.2lkg/s，求带动压气机所需的功率(设空气比热容为常数)。
解：在压气饥中，外界并未向气体加入热量，气体向外界散出的热量也可以忽略不计，故空气通过压气饥可近似地认为是绝热过程，即q=0。又因v1≈v2，故由式(3－16)，有
。
将已知数据代入上式，得
，
即压气机每压缩1kg空气需授功160.8kJ，负号表示外界对气体作功。带动压气机所需功率为
　　　　　　　　　　　 。
积分方程的综合应用
【作业】两股不同流速、密度均为ρ且压力相同的不可压缩流体流入一段水平圆管，混合后速度、压力均匀分布，如下图所示。一股流速为V、面积为A/2，另一股流速为2V、面积为A/2，若不计摩擦，流动定常且绝热。试求水头损失及局部阻力系数，并证明单位时间内机械能损失为3ρAV3/16。

解： 由质量守恒知，管道进出口流量相等： ，知：

得到出口流速

在进出口截面上应用动量定理，解出进出口压力差值

进出口处单位重量液体所具有的机械能分别为

水头损失则为：

局部阻力系数则为：

 第五讲 流体静力学
三、 静压流场的质量力条件
对于所有的静止流体，（3-4）式均成立，现对其两端同时取旋度可得

上式中应用了标量函数梯度的旋度为0这一结论，现证明之

  =
= =0（矢量）
将上式与（3-4）式进行点乘则有

上式右端为矢量的混合积，由混合积的定义可知由于三个矢量中有两个同名，所以其值为0，可得
（3-6）
由此可以得出结论：流体静止的必要条件是质量力必须满足 。（此式自然成立啊，为什么还要证明呢？）
  对于不可压缩流体，由于密度为常数，则平衡方程（3-4）式可写成
（3-7）
对上式两端取旋度则有
=0 （3-8）
这是不可压缩流体静止时对质量力所附加的限制条件，即质量力必须无旋。（矢量场的四等价定理：无旋必有势；有势必无旋；环量为零；线积分与路径无关。）
【证明】设质量力f=Xi+Yj+Zk所代表的质量力场中，若存在标量函数U满足
或
则称之为质量的势函数，其中的负号表示质量力做正功时质量力的是函数减小。
在静止流场中任取一个微元矢量力dr=dxi+dyj+dzk，

由于dr是任意的微元矢量，所以有

将其代入（3-4）式可得

上式表明等压面方程 =0与等势面 =0等价。【证毕】

习题：
1. 试证明等压面是不相容流体间的分界面。
2. 试证明等压面是等密度面。
第6讲 实验流体力学基础
例5－1 假设声速与气流的压力、密度和粘度有关，试用瑞利法推导声速公式。
解：分析物理现象，找出相关的物理量。设声速c与气体的压力p，密度ρ和粘度μ有关，先假定
，
式中k为无量纲系数。
写出量纲方程。上式的量纲方程为

或

，
利用量纲和谐原理建立关于指数的代数方程组，解出指数。由量纲和谐原理可知，上式两端同名基本量纲的指数应相同，所以有
  。
解之可得 x=1/2，y=-1/2，z=0。将其回代到假设的物理方程中，整理可得
或 。
对完全气体有p=ρRT ，所以声速公式为
。

例5－2有一直径为D的圆盘，沉没在密度为ρ的液池中，圆盘正好沉于深度为H的池底，用瑞利法建立液体作用于圆盘面上的总压力P=kρghD2，式中k为无量纲数。
 例5－3已知流体在圆管中流动时的压差△p与下列因素有关：管道长度l，管道直径d，动力粘度系数μ，液体密度ρ，流速v，管壁粗糙度△。试用π定理建立水头损失hw的计算公式。
解：这一流动现象所涉及的各物理量可写成如下的函数形式
。
选取流体的密度ρ，流速v和管径d为基本量，它们的量纲公式为
， ，及 ，
它们量纲指数行列式为

说明这三个量的量纲是独立的，可以作为基本量。
现在便可以用其它的4个量与这三个基本量组成四个无量纲量了。
，
由于π1为无量纲量，则有

或
，
量纲指数构成的代数方程为
。
可解得x=1，y=2，z=0，所以
，
同理可得
， ， 。
无量纲关系式为

或

或

则
。
实验表明，圆管的水头损失与l/d成正比，上式可写成
。
引入雷诺数Re=ρvd/μ和相对粗糙度ε=△/d，则有
。
上式又可表示为
  ， （5－4）
这就是著名的达西公式。式中λ= f(1/Re, ε)称为阻力系数，其值可用经验公式算得，也可通过查阅相关的图表得到，或者由实验确定。
 需要初学者注意，在上述推导过程中，始终使用的函数符号f并不表示明确的函数关系，而只是表示以其后括号里的物理量或无量纲量决定的一个量。比如3sin(1/x)=sinx不一定成立，而f (1/Re)=2f (Re)则成立，因为 是一个具有明确含义的函数，而f不是确定函数，比如f(1/Re)和2f(Re)仅仅表示两者都是Re的函数而已，下面的例题中依然如此。
例5－4有一直径为D的圆盘，沉没在密度为ρ的液池中，圆盘正好沉于深度为H的池底，用π定理建立液体作用于圆盘面上的总压力P=kρghD2，式中k为无量纲数。
习题：
1 假设泵的输出功率N是液体密度ρ，重力加速度g，流量Q，和扬程H的函数，试用量纲分析法建立其关系。
2 实验分析表明飞机的飞行阻力F与空气的密度ρ、空气的粘度μ、飞行速度v、飞机的特征长度L、飞机的外表面面积A等因素有关，试用量纲分析方法建立飞机飞行阻力公式F=CD(Re)ρv2A，其中Re =ρvL/μ

第七讲 气体流动的基本方程
       例4－1       某涡轮喷气发动机，空气进入压气机时的温度Tl=290K，经压气机压缩后，出口温度上升至T2=450K，如图所示。假设压气机迸出口的空气流速近似相等，如果通过压气机的空气流量为13.2lkg/s，求带动压气机所需的功率(设空气比热容为常数)。
解：在压气饥中，外界并未向气体加入热量，气体向外界散出的热量也可以忽略不计，故空气通过压气饥可近似地认为是绝热过程，即q=0。又因v1≈v2，故由式(10－15)，有
。
将已知数据代入上式，得
，
即压气机每压缩1kg空气需授功160.8kJ，负号表示外界对气体作功。带动压气机所需功率为
　　　　　　　　　　　 。
       例4－2 某喷气发动机，在尾喷管出口处，燃气速度为560m/s，温度为873K，燃气的绝热指数k=1.33，气体常数R=287.4J/(kg·K)，求出口处燃气流的声速及Ma数。
       解： ，

第八讲 气动函数及压力波
       例5－3 用风速管测得空气流中一点的总压p*=9.81×104Pa，静压p=8.44×104Pa，用热电偶测得该点空气流的总温T*=400K，试求该点气流的速度v。
解：由式（8－22）可得
。
由气动函数表（k=1.4）查得λ=0.5025，则气流速度为

       例 8－2 有一扩压器(见图8-7)，设出口截面积和进口截面积之比A2/A1=2.5，己知进口截面上空气流的λ1=0.80，求出口截面积上空气流的λ2。

       解：因为流动是绝能等熵的，故T*1=T*2及p*1=p*2。由式（8－29）可得
。
故

由气动函数表(k=1.4)查得，当λ1=0.80时，q(λ1)=0.9518。代入上式，则得

由图8-5a可以看出，由q(λ)值找λ数时，一个q(λ)值可以找到两个λ数，一个小于1，一个大小1，究竟取哪一个要由其它条件决定，根据上面的q(λ2)值，从表上可以查出两个λ2值为0.247或1.825。因为λ1=0.80，说明扩压器进口为亚声速气流，如前所述，对于亚声速气流，流管截面积增大的流速减小，故扩压器出口λ1>λ2，因此，应取λ2=0.24。
例8－3 燃气(k=1.33)在直管内流动时，进口参数T*=750K，p*1=2.25×105Pa，λ1=0.35。已知在管内加入燃气的热量为q=1.17×103J/kg。不考虑燃气与管壁间的摩擦力，设燃气的比热cp=1.16J/(kg·K)，求出口气流的参数：T*2、λ2、p*2。
解：气流的能量方程为
，
故
。
再利用动量方程式，因为管壁是平直的，又不考虑气流与管壁间的摩擦力，故管壁作用于控制体上的力沿轴向的分量为零。由式（8－32），得
，
故
。
由气功函数表（k=1.33）查得λ2=0.73，尽管λ2=1.37也可以满足z(λ2)=2.10，但实际上不能实现，因为单纯加热不可能使亚声速气流变为超声速气流。
由连续方程，得
。
对于所取的控制体，A1=A2，故

由气动函数表查得q(λ1)＝0.5273，q(λ2)=0.9143。故
。
则p*2=0.882×2.55×105＝2.25×105Pa。由此可见，尽管略去了气流与管壁间的摩擦，但给气流加热也会造成总压的下降。
 【习题】在人头上400m上空有一架飞机，飞机前进了800m时，此人才听到的飞机的声音。大气的温度为288K。试求该飞机的飞行马赫数、速度及听到飞机的声音时飞机已飞行过其头顶多少时间。

第九讲 变截面、摩擦及换热气流

9－1 试写出各种形式的连续方程式，并说明其物理意义和适用条件。
9－2 试说明能量方程式的物理意义。
9－3 引入滞止参数的意义何在？
9－4 何谓声速、临界声速？区别何在？
9－5 何谓气流极限速度？
9－6 气流的Ma 数与气流的压缩性有何关系？
9－7 何谓马赫锥、马赫角？
9－8 试说明如何来判断一架飞机是以超声速飞行还是以亚声速飞行。
9－9 拉瓦尔喷管一定能将亚声速气流加速为超声速气流吗？
9－10 试说明收缩喷管气流的基本特点？
9－11 对亚声速和超声速气流来讲磨擦作用和对气流加热都会使气流的马赫数均发生什么样的变化？
 第10讲 粘性流体动力学基础
习题：
6－1 试计算光滑平板层流附面层的位移厚度δ1和动量损失厚度δ2，已知层流附面层的速度分布为
  （1） ；
  （2） 。
6－2薄平板宽2.5m长30m，在静止水池中水平拖拽，速度为5m/s，求所需拖拽力。