线性代数第四章线性方程组试题及答案.doc

第四章 线性方程组1线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, ,kn)(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x用ki替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b1=b2=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.(2) 线性方程组的其他形式线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式：向量式 x1a1+x2a2+= b， (齐次方程组x1a1+x2a2+=0).即= 全部按列分块，其中如下 ，, 显然方程组有解的充要条件是向量可由向量组线性表示。矩阵式 AX=b，(齐次方程组AX=0). ， 其中为矩阵，则： 与方程的个数相同，即方程组AX=b有个方程； 与方程组的未知数个数相同，方程组AX=b为元方程。矩阵A称为方程组的系数矩阵，=（，），称矩阵为方程组的增广矩阵。2. 线性方程组解的性质(1) 齐次方程组AX=0如果h1, h2,hs是齐次方程组AX=0的一组解,则它们的任何线性组合c1h1+ c2h2+ + cshs也都是解.(2) 非齐次方程组AX=b 性质1：非齐次线性方程组的两个解之差是它的导出组的解。 性质2：非齐次线性方程组的一个解和其导出组的一个解的和仍然是非齐次线性方程组的一个解。3.线性方程组解的情况的判别（1）对于齐次方程组AX=0,判别解的情况用两个数: n,r(A).若有非零解 r(A )n(若矩阵A是n阶矩阵，则)只有零解r(A )=n (若矩阵A是n阶矩阵，则)（2）对于方程组AX=b,判别其解的情况用三个数:未知数的个数n,r(A),r(A|b). 无解r(A )r(A|b). 有唯一解r(A )=r(A|b)=n.(当A是方阵时,就推出克莱姆法则.) 有无穷多解r(A )=r(A|b)n.方程的个数m虽然在判别公式中没有出现,但它是r(A)和r(A|b)的上界,因此当r(A)=m时, AX=b一定有解. 当mn时,一定不是唯一解.补充1：当A 列满秩(或A可逆时, A 在矩阵乘法中有左消去律AB=0B=0；AB=ACB=C.证明 设B=(b1,b2,bt),则AB=0Abi=0,i=1,2,s. b1,b2,bt都是AX=0的解. 而A 列满秩, AX=0只有零解, bi=0,i=1,2,s,即B=0.同理当B行满秩（或B可逆时）， 补充2 如果A列满秩（或A可逆）,则r(AB)=r(B).分析: 只用证明齐次方程组ABX=0和BX=0同解.(此时矩阵AB和B 的列向量组有相同的线性关系,从而秩相等.)证明：h是ABX=0的解ABh=0Bh=0(用推论1)h是BX=0的解.于是ABX=0和BX=0确实同解. 同理当B行满秩（或B可逆）时，r(AB)=r(A).例 题一. 填空题1.设A为m阶方阵, 存在非零的mn矩阵B, 使AB = 0的充要条件是_.解：有非零解，2.设A为n阶矩阵, 存在两个不相等的n阶矩阵B, C, 使AB = AC的充要条件是解：，B, C不相等，有非零解，3.若n元线性方程组有解, 且其系数矩阵的秩为r, 则当_时, 方程组有唯一解; 当_时, 方程组有无穷多解.解：假设该方程组为Amnx = b, 矩阵的秩. 当, 方程组有惟一解; 当, 方程组有无穷多解.4. 在齐次线性方程组Amnx = 0中, 若秩(A) = k且h1, h2, , hr是它的一个基础解系, 则r = _; 当k = _时, 此方程组只有零解。解：, 当时, 方程组只有零解。5. 齐次线性方程组 只有零解, 则k应满足的条件是_.解： , 时, 方程组只有零解。6. 设a1, a2, as是非齐次线性方程组Ax = b的解, 若C1a1 + C2a2 + + Csas也是Ax = b的一个解, 则C1 + C2 + + Cs = _.解：因为(C1a1 + C2a2 + + Csas) = b, 所以, . 7. 设A, B为三阶方阵, 其中, , 且已知存在三阶方阵X, 使得, 则k = _.解：，8. 设A为四阶方阵, 且秩(A) = 2, 则齐次线性方程组A*x = 0(A*是A的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为_.解：因为矩阵A的秩, 所以, A*x = 0的基础解系所含解向量的个数为40 = 4.9. 齐次线性方程组的系数矩阵记为A，若存在非零3阶矩阵B，使，求解：有非零解，所以存在非零解，所以10. 设矩阵，其中线性无关, ，又设，求的通解。 解：线性相关，基础解系含有一个向量：11.都是的解，其中=(1,2,3,4), =(0,1,2,3), r(A)=3。求通解。解：因为r(A)=3，是四元方程组，所以基础解系含有1个向量，12. 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0，（1）如A中每行元素之和均为0，且r（A）=n-1，则方程组的通解为_(2) 如果每个n维向量都是方程组的解，则r（A）=_(3) 如r（A）=n-1，且代数余子式A110，则Ax=0的通解是_,A*x=0的通解是_ (A*)*x=0的通解是_解：（1）因为r（A）=n-1，所以基础解系中含有1个向量。 （2）因为基础解系的向量个数为：，（3）因为r（A）=n-1，所以基础解系含有1个向量。 r（A）=n-1，所以的每一列都是的解。r（A）=n-1，又因为A110，所以的第一列是的解，Ax=0的通解是因为，所以基础解系含有个向量，所以要从A的列中找出列是线性无关的。，因为A110，所以A的后列是线性无关的，所以A*x=0的通解是矩阵A的后列。因为，当时，(A*)*x=0的通解是， 时，(A*)*=0，(A*)*x=0的通解含有n个线性无关的向量，可选n个单位向量。二. 单项选择题1. 要使x1 = (1, 0, 1)T, x2 = (2, 0, 1)T都是线性方程组的解, 则系数矩阵A为 (A) (B) (C) (D) 解：因为的对应分量不成比例, 所以线性无关. 所以方程组 的基础解系所含解向量个数大于2.(A) . (B) . (C) (D) 2. 设A是mn矩阵，r(A)=r则方程组AX = b (A) 在r=m时有解 (B) 在m=n时有唯一解(C) 在rn时有无穷多解 (D) 在r=n时有唯一解 3. 设是非齐次方程组AX=b的两个不同的解,为它的导出组AX=0的一个基础解系，则它的通解为( ) (A) k1h1+k2h2+(x1-x2)/2 (B) k1h1+k2(h1-h2)+(x1+x2)/2(C) k1h1+k2(x1-x2)+(x1-x2)/2 (D) k1h1+k2(x1-x2)+(x1+x2)/24. 设的基础解系, 则该方程组的基础解系还可以表成(A) 的一个等价向量组 (B) 的一个等秩向量组(C) (D) 5. 设n阶矩阵A的伴随矩阵, 若是非齐次线性方程组 的互不相等的解, 则对应的齐次线性方程组的基础解系( A ) 不存在 ( B ) 仅含一个非零解向量( C ) 含有二个线性无关解向量 ( D ) 含有三个线性无关解向量解：因为 ，因为 , 所以 ，由已知得的解不唯一, 所以 , 所以 . 于是基础解系所含解向量个数( B )为答案。6. n阶矩阵A可逆的充分必要条件是(A) 任一行向量都是非零向量 (B) 任一列向量都是非零向量(C) 有解 (D) 当时, , 其中 (D) 是答案 当时, , 说明只有零解.7. 设A为n阶实矩阵，是A的转置矩阵，则对于线性方程组和，必有解：1的解都是2的解。，2的解也都是1的解。证明：，因为，同解方程组。三、解方程组1. 4元方程组Ax=b中，系数矩阵的秩r(A)=3, 是方程组的3个解，若=（1，1，1，1）T，=（2，3，4，5）T，则方程组的通解为_解：因为r(A)=3，所以基础解系只含有1个向量。，所以2. 3元方程组Ax = 0以为其基础解系,则该方程的系数矩阵为_。解：方程组Ax = 0的基础解系为, 所以, = 1. 设 假设.由 , 得 由, 得取. 所以, (其中为任意常数).3. ，求此齐次方程组的基础解系和通解.解：，基础解系含有3个向量，或者4. 问l为何值时，线性方程组有解, 并求出解一般形式.解： 当基础解系有一个向量：5. 设有线性方程组, 问m, k为何值时, 方程组有惟一解? 有无穷多组解? 有无穷多组解时, 求出一般解。 解： ，时，k为任意数，有唯一解。 时，无解。，有无穷多解。6. , , 及.(1) a, b 为何值时, b不能表示成的线性组合.(2) a, b 为何值时, b有的惟一线性表示, 并写出该表示式.解：假设 , 求解方程组, 求. （1）时, , 方程组无解, 即b不能表示成的线性组合。 时, , 方程组有无穷多解, 即b有无穷多种方法可表示成的线性组合。（2）时, , 方程组有惟一解, 即b能表示成的线性组合, 且表示法惟一. 此时得方程组, 解得: , 表示式为: 7.假设. 如果h是方程组的一个解, 试求的通解。解. 将h代入, 得到. （1） 于是 , 基础解系所含解向量个数为: . 齐次方程: , 令 , 解向量为: 令 , 解向量为: 所以通解为: （2） 于是 , 基础解系所含解向量个数为: .齐次方程: , 令解得解向量为: ，所以通解为: 8. 线性方程组的增广矩阵为又已知(1,-1,1,-1)T是它的一个解，求：(1) 用基础解系表示的通解.(2) 写出满足x2=x3的全部解。 解：(1,-1,1,-1)T代入得:,基础解系含有一个向量，基础解系含有2个向量。（2） ，9. 已知 x1=(1,1,-1,-1)T和x2=(1,0,-1,0)T是线性方程组的解，是它的导出组的解,求方程组的通解：代入: 代入 代入，基础解系含有2个向量。，10. 假设。 如果矩阵方程有解，但解不惟一，试确定参数a。解： 当 时, 对于B的任一列向量, 都有 , 所以矩阵方程有解, 但解不惟一.11. 设，则三条直线交于一点的冲要条件是A 线性相关 B 线性无关C 秩 秩 D 线性相关，线性无关解：三条直线交于一点，意味着上述三个方程组成的非齐次线性方程组有唯一解：12. 已知平面上三条不同直线的方程分别为： ，.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为解：必要性 设三条直线交于一点，则线性方程组 有唯一解，故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，于是但根据题设 ，故 充分性：由，从必要性的证明可知，故秩由于 =，故秩(A)=2. 于是， 秩(A)=秩=2。 因此方程组(*)有唯一解，即三直线交于一点.13. 已知线性方程组的一个基础解系为：求线性方程组的通解，并说明理由。解：设方程组（1）和（2）的系数矩阵分别为A，B由已知可得（1）的基础解系含有n个向量，所以，即A的n个行向量线性无关，A的基础解系的n个向量必线性无关，所以，说明方程组（2）的基础解系也含有n个向量，因为，所以说明A的任意一行都是B的解。14. 已知线性方程组（1）满足何种关系时，方程组仅有零解？（2）满足何种关系时，方程组有无穷多解，并用基础解系表示全部解 解：（1） 当时，仅有0解，即任何2个都不相同。（2）时，有无穷多解。 1. 时， 2. ，3. ，4. , 15. 已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解. 证明方程组系数矩阵A的秩求的值及方程组的通解证明：因为非齐次有3个线性无关的解，所以齐次方程至少有2个线性无关的解，又因为，所以 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A|b)= 4 3 5 -1 -1 0 1 1 5 3 , a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.16. 设 （1）求满足的所有向量（2）对（1）中的任意向量证明无关解：， 故 线性无关.17. 已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解。解：AB=O, 相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩.解：由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且（1）若k, 则r(B)=2, 于是r(A), 显然r(A), 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：，为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而若r(A)=2，则Ax=0的通解为：，为任意常数.若r(A)=1，则Ax=0 的同解方程组为：,不妨设,则其通解为 ，为任意常数.四、求线性方程组同解、公共解1.求方程组 的通解, 并求满足方程组及条件 的全部解。，基础解系含有2个向量， 2. 设线性方程组与方程 有公共解，求a 的值及所有公共解解：. 当a=1时， 当a=2时， 3. 已知方程组 x1+x2+x3=1, 2x1+3x2+ax3=4,(I) 3x1+5x2+x3=7, (II) 2x1+4x2+(a-1)x3=b+4(1)a,b取什么值时这两个方程组同解?此时求解。(2)a,b取什么值时这两个方程组有公共解? 此时求解。 解：（1）解出(I)的特解代入(II)中，求出（2）求公共解：，有无穷多解，即通解。，有唯一解。4. 已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值。解：因为方程组（2）未知数个数大于方程的个数，所以有无穷多解，所以方程（1）的行列式为0，5. 设()和()是两个四元齐次线性方程组，()为 x1+x2=0，x3-x4=0， ()有一个基础解系(0,1,1,0)T,(-1,2,2,1)T。求()和()的全部公共解。解：的基础解系为代入()得：，所以公共解为：6. 设()和()是两个四元齐次线性方程组，()的系数矩阵为 2 3 -1 01 2 1 -1 ，()的一个基础解系为(2,-1,a+2,1)T，(-1,2,4,a+8)T。已知()和()有公共非零解，求a，并求出它们的全部公共解。解：()的解为，代入()中得：若时，此时公共解只有0解，不合题意。可以取任意值。即时，非0公共解是()的全部解。7. 设()和()都是3元非齐次线性方程组,()有通解，,h1=(1,1,0)T,h2=(1,2,1)T；()有通解x2+ch, x2=(0,1,2)T,h=(1,1,2)T.求()和()的公共解.解：()的通解是：()的通解是：，所以公共解是8.解：，代入方程组2得：m=2,n=4,t=612