基于PISA的山西数学中考典型题中推理能力探析.pdf

数学之友2023年第1 2 期复基于 PISA的山西数学中考典型题中推理能力探析陈亚楠，王保红（山西省太原师范学院，山西太原，0 3 0 6 1 9）摘要：义务教育2 0 2 2 年版新课标把推理能力作为初中阶段核心素养的主要表现之一，初中阶段数学推理能力会影响高中阶段逻辑推理素养的发展，而中考是评判学生能否进入高中学习的选拔性考试，因此以PISA情境分析维度和问题解决过程中的数学推理为基础,基于PISA2022中提出的理解数学推理的六个关键点，分析山西数学中考典型题中推理能力的具体表现，力求为初中数学教师强化学生的推理能力提供参考.关键词：PISA；中考题；推理能力1问题提出21世纪初由经合组织（OECD）提出的“核心素养”，已经成为当今世界各国课程改革的风向标和主旋律.2 0 1 6 年我国提出了以“全面发展的人”为根本出发点和最终归宿的核心素养体系.深入数学学科，在2 0 1 7 年版的普通高中数学课程标准中凝练出的六大数学核心素养，义务教育数学课程标准（2 0 2 2年版）中提出的数学核心素养的构成及主要表现，均体现着我国教育立足于发展学生核心素养，落实立德树人的价值追求。PISA(Program for International Student Assessment)是OECD发起的国际性教育评估项目，检测年满1 5岁的中学生是否拥有满足社会需要的终身学习能力,每三年一测,每次选择数学素养、阅读素养和科学素养之一来测试.PISA2022I 的测评重点恰好是数学素养.考虑到我国即将完成义务教育的中学生恰好与PISA测试对象年龄相仿，探讨国际上对1 5 岁左右青少年核心素养的发展要求，能更好地促进我国初中学生数学核心素养的培育.落实核心素养，要求基于解决情境中的问题来促进学生数学思维的发展,尤其是推理能力的发展.因此基于PISA的情境分析维度和数学推理的架构,以山西省2 0 2 0 2022年中考数学典型题为例，分析在问题解决过程中如何培养学生的推理能力，为初中数学教学及评价提供参考.基金项目：山西省高等学校教学改革创新项目“PCK视角下职前教师专业能力提升的实践研究”（项目编号：J2020267）；太原师范学院2 0 2 2年度研究生教育创新项目基于PISA的山西省中考数学情境性试题研究”（项目编号：SYYJSYC-2295）.2基于PISA的中考数学试题分析基础2.1PISA2022情境维度PISA关注青少年在真实情境中的问题解决能力,并将情境分为个人情境、社会情境、职业情境以及科学情境四类，个人情境是与学生生活密切相关的，包括成绩、购物等；社会情境是学生所在社区或有关的环境，包括学习环境、生活场景等；职业情境是学生未来工作中可能出现的问题情境；科学情境是与科学背景相关的情境，数学情境也属于科学情境.义务教育数学课程标准中指出试题中应设计合理的生活情境、数学情境和科学情境特别要求数学情境的考核应凸显中考选拔性测试的地位和要求.这与PISA情境分类高度一致，即生活情境（含个人情境、社会情境和职业情境）和科学情境（含数学情境），故以此分析数学中考题中的情境考查.2.2PISA2022问题解决过程中的数学推理“数学的发展主要依赖的是逻辑推理，通过逻辑推理得到数学的结论，也就是数学命题.”2】,可见推理能力是数学思维形成的关键要素PISA2022测评突出问题解决过程中数学推理的核心地位，并将问题解决过程中数学推理能力分为三个层次：数学推理的表达、数学推理的应用、数学推理的解释.包含的具体活动如下图.1 结合最新的义务教育数学课程标准中对初中学2023.12_93数学之友段推理能力的主要表现和内涵，以及学业质量的描述,分析山西省数学中考典型题中推理能力的考查.数学推理的表达数学推理的应用数学推理的解释1.能够选择适当的模型1.能够进行简单的数学运算2.能够确定真实情境中的数学问题2.能够得到简单的数学结论3.能够识别问题情境中的数学结构3.能够选择合适的策略并实施4.能够简化情境问题4.能够使用工具找到解决方案5.能够识别情境所隐藏的限制条件5.能够寻找解决过程中用到的数学6.能够使用适当数学语言皇现问题事实、规则以及算法结构7.能够理解并解释情景化语言和数6.能够处理数字、统计学数据、方学表征的符号化之间的关系程、代数等信息8.能够用表格或其他技术描述情境7.能够制作数学图表图形，并建构问题中的数学关系数学信息9.能够创建解决问题的指令8.能够总结和归纳问题的一般性9.能够反思和证明数学结果10.能够探究数学规律的重要性3基于PISA的山西数学中考典型题目的分析解决情境问题的每一个环节都需要运用推理能力,连接并形成一个整体.PISA2022基于数学素养给出理解数学推理的六个关键点 3 ，下面以此选取山西省2 0 2 0 2 0 2 2 年数学中考题中的典型题目进行分析.3.1数量、数系及其代数性质数量是由数系概念和基本代数性质共同体现的,这一整体构成了数学素养的根本初中阶段对数的要求是能通过运算和推理得到具有一般性的结论,在运算过程中培养学生的推理能力.山西省2 0 2 1年第1 9 题体现该关键点，如下.近日，教育部印发了关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国 印章篆刻比赛四类（依次记为A,B,C,D).为了解同学们参与这四类比赛的意向,某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如图所示的统计图和统计表（均不完整）.请根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）参与调查的总人数为中C的百分比m为；（2）请补全统计图；（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行,求表示类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行,说明理由。2023年第1 2 期“中华经典读写讲大赛”参赛意向调查问卷请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后（“V,非常感谢您的合作.A.“诵读中国经典诵读（1.能够解释图形和图表呈现的信息B.“诗教中国 诗词讲解(2.能够根据上下文评价数学结果C.“笔墨中国 汉字书写(3.能够结合实际背景阐述数学结论4.能够判断数学结论在实际问题中的合理性5.能够根据数学结果对实际生活做调整和应用6.能够解释数学结果在实际生活中成立与否的缘由7.能够理解数学结论在实际生活中的限制8.能够使用数学思维提出解决方案人,统计表的过程中培养学生的推理能力.山西省2 0 2 0 年中考第1 2 题体现该关键点，如下.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成,第1 个图案有4 个三角形,第2个图案有7 个三角形,第3 个图案有1 0 个三角形按此规律摆下去，第n个图案有_个三角形.）内打）D.“印记中国 印章篆刻（）人数10084806040200A.诵读中国B.诗教中国C.笔墨中国D.印记中国该题凸显了生活情境中的个人情境（参加比赛意向调查），利用问卷进行数据收集并分析数据.考查学生利用统计图表中数据对应关系，求解各项参赛人数和总人数，发展学生的推理能力.在数学推理的表达上要求学生能识别情境中的数学关系并简化情境背后隐藏的条件，具体表现为能识别数学变量“参赛意向人数”与“所占百分比”在统计图表中的含义和对应关系.在数学推理的应用上要求学生能够用统计图表中的信息进行运算，具体表现为能求出总人数（1 2 0人），根据“笔墨中国”汉字书写的人数求得的值（5 0%），根据所占的百分比求得的“诗教中国”的参赛人数(3 6 人).在数学推理的解释上要求学生能解释统计图表所呈现的信息,理解扇形统计图数据的含义,具体表现为能补全统计图，能解释扇形统计图反映数据的合理性及其原因（由于有意向参赛的人数占总人数的百分比之和大于1,所以不可用).3.2感知抽象和符号表征的力量数学是一门具有高度抽象性和形式化特点的学科.初中阶段要求学生能从问题中抽象出变量并用数学符号表达变量之间的关系.在抽象问题和符号表征类占调查人数别的百分比A70%60B24类别CD20%30%m94_数学之友2数学之友第1 个第2 个该题凸显的情境是科学情境中的数学情境（看图找规律）.主要考查探究图形的变化规律以及函数的应用,学生在利用代数式表达三角形个数的过程中，发展推理能力.在数学推理的表达上要求学生能识别并理解图案的变化规律,找到探求规律的方法并翻译为数学语言，具体表现为理解数学变量“第n个图案”与“三角形的个数”的含义,尝试借助坐标探求图案的变化规律在数学推理的应用上要求学生能创建恰当的数学解决策略并通过实施得出结论，具体表现为将第n个图像与图案中对应的三角形个数在坐标系中标记,借助坐标系用一次函数描述图案的变化规律(y=3n+1).在数学推理的解释上要求能使用数学思维和计算思维进行预测，体会用数学知识解决问题的便利性,具体表现为借助坐标系更直观的预测变化规律，进而用一次函数能表示图案变化规律（“第n个图案”与“三角形的个数”之间的关系).3.3认识数学结构及其规则数学结构可以是一个具体的代数式、几何图形，也可以是一种抽象的模型结构.初中阶段要求能从问题结构的不同角度用不同方式思考和推导，在这一过程中培养学生的推理能力.山西省2 0 2 0 年中考第15题体现该关键点，如下.如图(1),在RtA B C 中，ZACB=90,AC=3,BC=4,CD工AB,垂足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F，则DF的长为BBEEDHAC(1)该题凸显的情境是科学情境中的数学情境（数学知识），检测学生对知识的把握.主要考查学生如何在三角形中添加辅助线，构造相似三角形.学生在几何命题的推导和证明过程中，发展推理能力.在数学推理的表达上要求学生能识别问题情境的数学结构，找到解决问题的方法，具体表现为能用三角形的性质和三角函数解决问题,找到求DF的两种方法,直接求DF或利用DC和CF的长求DF.2023年第1 2 期在数学推理的应用上要求学生能使用不同的方式解决问题，具体表现为能添加不同的辅助线，有两种辅助线的构造方式：一种是过点F,作FH垂直于第3 个第4 个BGEDACH(2)AC,垂足为点H,利用两次相似三角形，AFHA E C 与CHFC D A,求出FH和DC得到CF,最终求出DF,如图（2）;另一种是作BD中点G,由中位线定理,知道 EG-_CD,利用相似三角形 ABG A FD,如图（3）.此外该题还可以用面积法求解；在数学推理的解释上要求学生能理解使用不同的方法会有不同推理过程，具体表现为通过“一题多解”的解题策略,培养学生的发散思维。3.4认识数量之间的函数关系数量之间的关系有方程、图表等多种表达形式，函数是表达数量关系最常用的一种方式初中阶段要求借助问题情境理解函数的实际意义，在理解函数变量关系时培养学生的推理能力.山西省2 0 2 2 年中考第1 2 题体现该关键点，如下.根据物理学知识,在压力不变的情况下,某物体承受的压强P(Pa)是它的受力面积S（m）的反比例函数，其函数图象如图所示.当S=0.25m时，该物体承受的压强P的值为P/PaA4 000F13000200010000.10.20.30.40.5 s/m该题凸显的情境是科学情境（物理学压强的变化）,该情境属于跨学科的学习活动，学科之间知识的互通有利于增强学生用知识解决问题的能力.主要考查反比例函数的应用,学生在应用反比例函数的过程中,发展推理能力.D在数学推理的表达上要求学生能理解符号语言在函数中的表征性质,具体表现为通过反比例函数图CA(3)Pa.象更直观地感受物体受力面积与压强的变化，根据数100据信息确立压强和受力面积的函数关系式P=S在数学推理的应用上要求学生能根据反比例函数关系式进行数学运算，具体表现为能求出给定面积（S=0.25m）时物体所受到的压强值P=400.在数学推理的解释上要求学生能理解数学知识在实际生活的延展性，具体表现为感受数学知识与其他学科知识在解决实际问题过程中发挥的作用和意义.2023.12_95数学之友3.5借助于数学模型作为观察现实世界的镜头数学模型是现实世界理想化状态的假设，数学模型建立起数学问题和真实情境之间的联系.初中阶段要求借助模型简化问题情境，在利用模型进行推理的过程中培养学生的推理能力 4 .山西省2 0 2 0 年中考第2 1 题能体现该关键点,如下.如图（1)是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过.图（2)是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称,BC和EF均垂直于地面,扇形的圆心角乙ABC=ZDEF=28,半径BA=ED=60cm,点A与点D在同一水平线上,且它们之间的距离为1 0 cm.B(1)(2)（1）求闸机通道的宽度,即BC与EF之间的距离（参考数据:sin 28 0.4 7,c o s 2 8 0.2 8 8,tan 28 0.53);（2）经调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2 倍，1 8 0 人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口节约3分钟,求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数.该题凸显的情境是科学情境（智能闸机检票人数预测）,对智能设备工作效率的分析，有利于人们明确它的优势并决策是否要取代人力主要考查三角形的实际应用，学生在用代数式推导数学结论的过程中,体会情境中的数学推理能力.在数学推理的表达上要求学生能识别问题情境中的模型，使用合适的数学符号描述问题情境，具体表现为能利用三角函数求A点到BC边垂线的距离（设过点A向BC作垂线，垂足为N,则有AN=ABsin282 8.2 米），同理可知D到EF的垂线距离，求得BC与EF之间的距离（约6 6.4 米).在数学推理的应用上要求学生能创建合适的解题策略,具体表现为能找到速率和时间的关系并列出方程（设人工闸机每分钟检票通过的人数为x，则180180有2x在数学推理的解释上要求学生能阐述数学结论（闸96_数学之友2023年第1 2 期机口通道宽度为6 6.4 米；智能闸机每分钟通过6 0 人）3.6方差是统计的核心差异性(方差)是当今社会的一个重要特征,通过解释数据的差异性能帮助学生理解现象初中阶段要求能借助方差和感受描述事物的不确定性，体会方差是刻画数据波动程度的变量。山西省2 0 2 0 年中考第1 3 题体现该关键点，如下.某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6 次预选赛，其中甲、乙两名运动员较为突出，他们在6 次预选赛中的成绩（单位：秒)如下表由于两名运动员成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的是甲12.0乙12.3该题凸显的情境是生活情境中的个人情境（运动员选拔），单次成绩具有偶然性，只有对多次成绩E分析才能了解事物的整体发展水平.主要考查方差及算术平均数的定义,学生在整理数据并对数据分析的过程中,发展推理能力.在数学推理的表达上要求学生能够确定情境中的变量并简化情境背后的隐藏条件，具体表现为在运动员成绩平均数相同时,用方差判断成绩稳定性.在数学推理的应用上要求学生能进行数学运算，具体表现为知道方差的计算公式s=-(-)*(*)*(-),能够计nV15算方差（S串52=0.2).甲30艺在数学推理的解释上要求学生能理解数学概念在实际生活中的应用，具体表现为能判别运动员的稳定性（由于S甲 S乙，甲运动员稳定性较好）.4结论与启示4.1借助真实情境中的问题,发展学生推理能力中考试题主要受制于学校课程体系，关注数学知识和逻辑，以数学情境为主.而除数学情境外，气候、科技、计算机模拟等与实际生活并非紧密贴近的情境,也能训练学生分析、推断和解释生活中存在的各种问题情境，为成为2 1 世纪公民做好准备.因此在日常教学过程中，教师应结合学生的认知水平，借用情境问题，激发学生解决问题的兴趣，在解决情境问题的过程中发展学生推理能力.12.012.112.211.811.812.012.111.711.912.1数学之友4.2关注推理的“解释”环节，完善学生推理能力PISA提出问题解决过程中数学推理的“表达”“应用”和“解释”三个环节，这三个环节是推理能力逐步提升的过程,也是解决问题的三个步骤通过对山西省数学中考典型题的分析发现,题目中“解释”环节多为解释图表，阐述结论等浅层解释，仅有2 0 2 1年第1 9 题是阐述结论是否成立的缘由因此在日常教学过程中，教师应有意引导学生解释问题的结果或结论，完善学生推理能力.4.3探索数学试题解决过程,提升学生推理能力数学解题是以“题目”为出发点，寻找解题的思路,促进学生思维发展的一个过程.中考试题能反映学生解题思路的题目较少,教师仅能把握学生基础知识的掌握情况,对学生思维的发展了解较少因此在日2023年第1 2 期常教学过程中，教师可以引导学生树立创造多种解题策略的意识,培养学生对数学概念、性质的表达和应用,从而在解决问题的过程中,提升学生推理能力.参考文献：1 OECD.PISA2022 Mathematics Framework Draft（受到全球新冠疫情的影响，将PISA2021评估推迟至2 0 2 2 年）EB/OL,2022.2 孙晓天，沈杰.义务教育课程标准（2 0 2 2 年版）课例式解读初中数学 M.北京：教育科学出版社,2 0 2 2.3 李娜,赵京波,曹一鸣.基于PISA2021数学素养的数学推理与问题解决J.课程教材教法，2 0 2 0（4）：131-137.4】俞卓君.基于PISA2021分析高考情境题的数学推理能力 J.中学数学杂志,2 0 2 2（1）：4 6-5 1.（上接第9 2 页）境当中,抽象出数学概念、数学体系、数学方法，并让学生在实践中形成思考数学问题的习惯，并通过抽象思维解决相关数学问题.但是，高中数学的具体教学中,教师为了节省课堂教学的时间，会将数学概念或者数学定理直接告诉给学生，而将教学精力置于数学习题的练习与解答,致使学生无法有效理解相关数学知识,并影响到学生自身的抽象能力培养与发展向.鉴于此,高中数学的课堂教学中，数学教师需注重相关概念的讲解，引导学生了解到数学知识的背景,深化对数学思想的感悟，以促使学生在钻研学习中，实现抽象能力的提升。例如，“空间直线与直线间的位置关系”的教学当中,因为这一部分的数学概念相对枯燥、抽象,想要使学生深刻的理解与掌握相关概念，教师可通过直观感知的方法让学生进行自主实践，也就是让学生准备两根笔，将其在空间中任意摆放，对空间直线的关系进行直观感受，并引导学生将抽象概念和生活当中的物体相结合，比如，建筑物、电视塔等,经过边角对比，促使学生充分了解到空间直线存有的位置关系,并促使学生形成相应的抽象能力.因此,高中数学的高效课堂构建中，概念教学的强化，一直是教学的难点.数学思维能力的培养,是一个复杂的教学过程。想要使学生在高中数学的课堂教学中,形成问题解决的能力,并促进学生应用数学知识的意识增强，就需引导学生将数学问题与实际生活相结合.高中阶段的数学教学中，促进学生数学素养的发展应从深化概念教学人手，从概念的理解，运用去深化学生的数学学习过程,提高学生的数学理解能力和运用能力.数学教师在课堂教学时，需注重知识和实际生活的有效联系，促进学生的失学问题的分析能力和解决问题的能力.例如，在“弧度制”的教学当中，数学教师可通过实际生活中“求公路弯道处AB弧的长度”的问题开展本节课内容的讲解，让学生通过实际问题的讲解，了解到弧度制的具体定义，并通过弧度制实现实际问题的解决.通过该教学过程，不仅能够使学生充分认识到弧度制的定义及其应用，而且还能使学生通过数学知识的学习,对相关数学问题进行解决，从而使学生解决实际问题的能力得到有效提升课堂教学改革要真正与学生的实际结合起来，探索出更高效的教学手段，融合现代化的教学思维，真正与时代的发展接轨.作为高中数学教师要结合全新的教学观念，立足新课标，结合以上教学策略，赋予课堂教学改革新的内涵，运用合理有效的教学模式，综合化地研究教学内容，激发学生探索新知的欲望,鼓励学生从不同的角度去进行数学知识的创新，适当地进行教学方案的调整和布置，唤起学生内心的学习意识，从而推动高中数学课堂教学改革的落实.参考文献：1 】张月顺.新课改背景下高中数学高效课堂构建 J.新课程研究：中旬，2 0 1 9,4 9 8（1)：1 3 1 4.2023.12_97