2019考研数学一真题及答案解析参考.pdf

http:/承载梦想承载梦想 启航为来启航为来 只为一次考上研只为一次考上研启航考研 http:/ 2019 年考研数学一真题年考研数学一真题一、选择题，一、选择题，18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.下列每题给出的四个选项中，只有一个下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的选项是符合题目要求的.1.当时，若与是同阶无穷小，则0 xxxtankxkA.1.B.2.C.3.D.4.2.设函数则是的,0,ln,0,)(xxxxxxxf0 x)(xfA.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是 nuA.B.1nnnunnnu1)1(1C.D.111nnnuu1221nnnuu4.设函数，如果对上半平面（）内的任意有向光滑封闭曲线都2),(yxyxQ0yC有，那么函数可取为CdyyxQdxyxP0),(),(),(yxPA.B.32yxy321yxyC.D.yx11yx15.设是 3 阶实对称矩阵，是 3 阶单位矩阵.若，且，则二次型AEEAA224A的规范形为AxxTA.B.232221yyy232221yyyC.D.232221yyy232221yyy6.如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 http:/承载梦想承载梦想 启航为来启航为来 只为一次考上研只为一次考上研启航考研 http:/)3,2,1(321idzayaxaiiii组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则AA,A.3)(,2)(ArArB.2)(,2)(ArArC.2)(,1)(ArArD.1)(,1)(ArAr7.设为随机事件，则的充分必要条件是BA,)()(BPAPA.).()()(BPAPBAPB.).()()(BPAPABPC.).()(ABPBAPD.).()(BAPABP8.设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，则XY),(2N1YXPA.与无关，而与有关.2B.与有关，而与无关.2C.与都有关.2,D.与都无关.2,2、填空题：填空题：914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.9.设函数可导，则=.)(uf,)sin(sinxyxyfzyzcosyxzcosx1110.微分方程满足条件的特解 .0222yyy1)0(yy11.幂级数在内的和函数 .nnnxn0)!2()1()0，（)(xS http:/承载梦想承载梦想 启航为来启航为来 只为一次考上研只为一次考上研启航考研 http:/ 12.设为曲面的上侧，则=.)0(44222zzyxdxdyzxz224413.设为 3 阶矩阵.若 线性无关，且，则），（321A21，2132线性方程组的通解为 .0 xA14.设随机变量的概率密度为 为的分布函数，X，其他，020,2)(xxxf）（xFX为的数学期望，则 .XX1XXFP）（3、解答题：解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分 10 分）设函数是微分方程满足条件的特解.)(xy22xexyy0)0(y（1）求；)(xy（2）求曲线的凹凸区间及拐点.)(xyy 16.（本题满分 10 分）设为实数，函数在点（3，4）处的方向导数中，沿方向ba,222byaxz的方向导数最大，最大值为 10.jil43（1）求；ba,（2）求曲面（）的面积.222byaxz0z17.求曲线与 x 轴之间图形的面积.)0(sinxxeyx18.设，n=（0，1，2）dxxxann1021（1）证明数列单调减少，且（n=2，3）na221nnanna（2）求.1limnnnaa http:/承载梦想承载梦想 启航为来启航为来 只为一次考上研只为一次考上研启航考研 http:/ 19.设是锥面与平面围成的锥体，求的形)10()1(2222zzyx0z心坐标.20.设向量组，为的一个基，TTTa)3,1(,)2,3,1(,)1,2,1(3213R在这个基下的坐标为.T)1,1,1(Tcb)1,(（1）求.cba,（2）证明，为的一个基，并求到的过度矩阵.32,aa3R,32aa321,aaa21.已知矩阵与相似20022122xAyB00010012（1）求.yx,（2）求可可逆矩阵，使得P.1BAPP22.设随机变量与相互独立，服从参数为 1 的指数分布，的概率分布为XYXY令),10(,11,1ppYPpYPXYZ（1）求的概率密度.z（2）为何值时，与不相关.pXZ（3）与是否相互独立?XZ23.（本题满分 11 分）设总体的概率密度为X,0,2)(),(222Axxuxexf其中是已知参数，是未知参数，是常数，来自总体的简0AnXXX，21X单随机样本.（1）求；A http:/承载梦想承载梦想 启航为来启航为来 只为一次考上研只为一次考上研启航考研 http:/（2）求的最大似然估计量22019 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析（数学一）数学试题解析（数学一）1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yxxycoscos10.23xe11.xcos12.33213.为任意常数.，T)1,2,1(kk14.3215.解：（1），又，)()()(2222cxecdxeeexyxxdxxxdx0)0(y故，因此0c.)(221xxexy（2），22221221221)1(xxxexexey，222221221321221)3()3()1(2xxxxexxexxxexxey 令得0 y3,0 xx)3,(3)0,3(0)3,0(3),3(y 000y凸拐点凹拐点凸拐点凹所以，曲线的凹区间为和，凸区间为和)(xyy)0,3(),3()3,(,拐点为，.)3,0()0,0()3,3(23e)3,3(23e http:/承载梦想承载梦想 启航为来启航为来 只为一次考上研只为一次考上研启航考研 http:/ 16.解：（1），)2,2(byaxz grad)8,6()4,3(bazgrad由题设可得，即，又，4836baba 108622bazgrad所以，.1ba（2）=dxdyyzxzSyx22222)()(1dxdyyxyx22222)2()2(1=dxdyyxyx22222441dd202024120232)41(1212.31317.18.http:/承载梦想承载梦想 启航为来启航为来 只为一次考上研只为一次考上研启航考研 http:/ http:/承载梦想承载梦想 启航为来启航为来 只为一次考上研只为一次考上研启航考研 http:/ 19.由对称性，2,0yx=1021021010)1()1(dzzdzzzdxdydzdxdyzdzdvzdvzzzDD.4131121)1()1(102102dzzdzzz20.（1）即，123=bc11112311231bca 解得.322abc（2），所以，则23111111=331011231001，233r，可为的一个基.23，3R 12323=P，则.1231231101=0121002P，21.（1）与相似，则，即，解得AB()()tr Atr BAB41482xyxy 32xy（2）的特征值与对应的特征向量分别为A，；，；，.1=211=202=122=103=231=24 http:/承载梦想承载梦想 启航为来启航为来 只为一次考上研只为一次考上研启航考研 http:/ 所以存在，使得.1123=P,111212P AP 的特征值与对应的特征向量分别为B，；，；，.1=211=00 2=121=303=230=01 所以存在，使得.2123=P,122212PAP 所以，即112211=PAPP AP 1112112BP P APPPAP其中.112111212004PPP 22.解：（I）的分布函数Z ,1,11F zP XYzP XYz YP XYz YpP Xzp P Xz 从而当时，；当时，0z zF zpe0z 1111zzF zppep e 则的概率密度为.Z,01,0zzpezf zp ez（II）由条件可得，又 22E XZE X E ZE XE YEX E YD X E Y，从而当时，即不相关.1,1 2D XE Yp 12p,0Cov X Z,X Z（III）由上知当时，相关，从而不独立；当时，12p,X Z12p 121111111111,2222222222112P XZP XXYP XXP XXFe http:/承载梦想承载梦想 启航为来启航为来 只为一次考上研只为一次考上研启航考研 http:/ 而，显12112P Xe 121111112222222P ZP XP Xe 然，即不独立.从而不独立.1111,2222P XZP XP Z,X Z,X Z23.解：（I）由，令，则，2221xAedx2xt202212tAedtA从而.2A（II）构造似然函数，当22112212,1,2,0,niinxinAexinL x xxLL其他,1,2,ixinL时，取对数得，求导并令其22211lnlnln22niinLnAx为零，可得，解得的最大似然估计量为22241ln1022niidLnxd 2.211niixn