2019高考试题汇编理科数学---概率统计.pdf

1/10（20192019 全国全国 1 1 理）理）6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有个阳爻的概率是（）3A.B.C.D.516113221321116答案：A解答：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有种，在个位置上恰有个是阳爻的情况有种，所以626336C.36620526416CP（20192019 全国全国 1 1 理）理）15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场0.6取胜的概率为，且各场比赛相互独立，则甲队以获胜的概率是0.54:1 .答案：0.18解答：甲队要以，则甲队在前 4 场比赛中输一场，第 5 场甲获胜，由于在前 4 场比赛中甲有 2 个主场 2 个客场，4:1于是分两种情况：.1221220.6 0.4 0.50.60.60.5 0.5 0.60.18CC（20192019 全国全国 1 1 理）理）21为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治1愈则乙药得 1 分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为1和，一轮实验中甲药的得分记为X（1）求的分布列；X（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予 4 分，表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲药(0,1,8)ipi i比乙药更有效”的概率，则，其中，00p 81p 11iiiipapbpcp(1,2,7)i(1)aP X，假设，(0)bP X(1)cP X0.50.8 2/10（i）证明：为等比数列；1(0,1,2,7)iippi（ii）求，并根据的值解释这种实验方案的合理性4p4p答案：（1）略；（2）略解答：（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：、110得 分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则；1(1)(1)P X得分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则；1(1)(1)P X 得分时是都治愈或都未治愈，则0(0)(1)(1)P X则的分布列为：X（2）（i）因为，0.50.8则，(1)0.4aP X(0)0.5bP X(1)0.1cP X可得，则，110.40.50.1iiiipppp110.50.40.1iiippp则，则，110.4()0.1()iiiipppp114iiiipppp所以为等比数列1(0,1,2,7)iippi（ii）的首项为，那么可得：1(0,1,2,7)iippi101ppp，78714ppp，67614ppp，2114ppp以上 7 个式子相加，得到，76811(444)ppp则，则，886781111 441(1444)1 43pppp18341p 再把后面三个式子相加，得，23411(444)ppp 3/10则4423411844141311(1444)334141257ppp表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多 4 只，且甲药的累计得分为 4”，因为，4p0.50.8，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多 4 只，且甲药的累计得分为 4”这种情况的概率是非常小的，而的确非常小，说明这种实验方案是合理的41257p(2019 全国全国 2 理理)5.演讲比赛共有 9 位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分。7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是（）A中位数 B.平均数 C.方差 D极差答案：A解答：由吧，于共 9 个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第 5 个，假设为，去掉一头一尾的最a低和最高分后，中位数还是，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都会改变。a(2019 全国全国 2 理理)18.11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得10:102 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时0.5甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结0.410:10X束.（1）求；(2)P X（2）求事件“且甲获胜”的概率.4X 答案：（1）；（2）0.50.06解析：（1）时，有两种可能：2X 甲连赢两局结束比赛，此时；10.5 0.40.2P 乙连赢两局结束比赛，此时，20.5 0.60.3P；12(2)0.5P XPP（2）且甲获胜，即只有第二局乙获胜，其他都是甲获胜，4X 此时.0.5 0.6 0.5 0.40.06P（2019 全国全国 3 理）理）3.西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.B.C.D.5.06.07.08.0答案：C解答：4/107.0100608090（2019 全国全国 3 理）理）17.为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将 200 只小鼠随机分成两组，每组 100 只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体BA,AB积相同，摩尔溶度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据实验数据分别得到如下直方图：记为事件“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到的估计值为 0.70.C)(CP（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；ba,（2）分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.答案：见解析解答:（1）依题意得，解得.12.015.015.005.07.015.02.0aba1.035.0ba（2）05.4705.061.052.043.032.0215.0 7.5815.072.063.0515.041.0305.0得到甲离子残留百分比的平均值为 4.05,，乙离子残留百分比的平均值为 5.7.（2019 北京理）北京理）17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：交付金额（元）支付方式（0,1000（1000,2000大于 2000仅使用 A18 人9 人3 人仅使用 B10 人14 人1 人 5/10（）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 A 的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由【答案】()；25()见解析；()见解析.【解析】【分析】()由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；()首先确定 X 可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可.()由题意结合概率的定义给出结论即可.【详解】()由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：人，则：1003025540该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率.4021005p()由题意可知，仅使用 A 支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占，金额大于 1000 的人数占，3525仅使用 B 支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占，金额大于 1000 的人数占，2535且 X 可能的取值为 0,1,2.，32605525p X 22321315525p X32625525p X X的分布列为：X012 p X6251325625 6/10其数学期望：.61360121252525E X ()我们不认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化.理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率。学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关.（2019 天津理）天津理）16.设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校23情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（）用表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；XX（）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰M好多 2”，求事件发生的概率.M【答案】（）见解析；（）20243【解析】【分析】()由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；()由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】()因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7:30 之前到校的概率均为，23故，从面.23,3XB33210,1,2,333kkkP XkCk 所以，随机变量的分布列为：XX0123 7/10P1272949827随机变量的数学期望.X2()323E X ()设乙同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数为，则.Y23,3YB且.3,12,0MXYXY由题意知事件与互斥，3,1XY2,0XY且事件与，事件与均相互独立，3X 1Y 2X 0Y 从而由()知：()3,12,0P MPXYXY3,12,0P XYP XY(3)(1)(2)(0)P XP YP XP Y.824120279927243【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(2019 江苏江苏)5.已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是_.【答案】53【解析】【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.8/10【详解】由题意，该组数据的平均数为，67889 1086 所以该组数据的方差是.22222215(68)(78)(88)(88)(98)(108)63【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.(2019 江苏江苏)6.从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是_.【答案】710【解析】【分析】先求事件的总数，再求选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿服务，共有种情况.2510C 若选出的 2 名学生恰有 1 名女生，有种情况，11326C C 若选出的 2 名学生都是女生，有种情况，221C 所以所求的概率为.6 171010【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.(2019 江苏江苏)25.在平面直角坐标系 xOy 中，设点集，(0,0),(1,0),(2,0),(,0)nAn令.从集合 Mn中任取两个不(0,1),(,1),(0,2),(1,2),(2,2),(,2),.nnBnCnnNnnnnMABC同的点，用随机变量 X 表示它们之间的距离.（1）当 n=1 时，求 X 的概率分布；（2）对给定的正整数 n（n3），求概率 P（Xn）（用 n 表示）.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)由题意首先确定 X 可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；(2)将原问题转化为对立事件的问题求解的值，据此分类讨论.，.，.P Xnbd0,1bd，.四种情况确定满足的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定0,2bd1,2bdXXn 9/10的值.P Xn【详解】（1）当时，X 的所有可能取值是1n 12 25，X 的概率分布为，22667744(1),(2)C15C15P XP X22662222(2),(5)C15C15P XP X（2）设和是从中取出的两个点()A a b，()B cd，nM因为，所以仅需考虑的情况()1()P XnP Xn Xn若，则，不存在的取法；bdABnXn若，则，所以当且仅当，此时01bd，22()11ABacn Xn21ABn或，有 2 种取法；0 acn，0anc，若，则，因为当时，所以当且02bd，22()44ABacn3n 2(1)4nnXn仅当，此时或，有 2 种取法；24ABn0 acn，0anc，若，则，所以当且仅当，此时12bd，22()11ABacn Xn21ABn或，有 2 种取法0 acn，0anc，综上，当时，X 的所有可能取值是和，且Xn21n+24n 2222242442(1),(4)CCnnP XnP Xn因此，222246()1(1)(4)1CnP XnP XnP Xn 【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力（2019 浙江）浙江）7.设，则随机变量的分布列是：01aX 10/10则当在内增大时（）a0,1A.增大B.减小 D X D XC.先增大后减小D.先减小后增大 D X D X【答案】D【解析】【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与aa期望的关系，将方差表示为的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基a础知识、运算求解能力的考查.【详解】方法 1：由分布列得，则1()3aE X，则当在内增大时，2222111111211()01333333926aaaD Xaaa(0,1)先减小后增大.()D X方法 2：则 222221(1)222213()()03399924aaaaD XE XE Xa故选 D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.