2019年高考试题汇编理科数学--数列.pdf

1/13（20192019 全国全国 1 1 理）理）9.记为等差数列的前项和.已知，则（）nS nan40S 55a A.B.C.D.25nan310nan228nSnn2122nSnn答案：A解析：依题意有，可得，.415146045Sadaad132ad 25nan24nSnn（20192019 全国全国 1 1 理）理）14.记为等比数列的前项和，若，则 .nS nan113a 246aa5S 答案：5S 1213解答：，113a 246aa设等比数列公比为q3 2511()a qa q3q 5S 12132019 全国全国 2 理理)19.已知数列和满足，.na nb11a01b4341nnnbaa4341nnnabb（1）证明：是等比数列，是等差数列；nnba nnba（2）求和的通项公式.na nb答案：（1）见解析（2），.21)21(nann21)21(nbnn解析：(1)将，相加可得，4341nnnbaa4341nnnabbnnnnnnbababa334411整理可得，又，故是首项为，公比为的等比数列.)(2111nnnnbaba111bannba 121将，作差可得，4341nnnbaa4341nnnabb8334411nnnnnnbababa 2/13整理可得，又，故是首项为，公差为的等差数列.211nnnnbaba111bannba 12（2）由是首项为，公比为的等比数列可得；nnba 1211)21(nnnba由是首项为，公差为的等差数列可得；nnba 1212 nbann相加化简得，相减化简得。21)21(nann21)21(nbnn(2019 全国全国 3 理理)5.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则（）na41553134aaa3a A.B.C.D.16842答案：C解答：设该等比数列的首项，公比，由已知得，1aq4211134a qa qa因为且，则可解得，又因为，10a 0q 2q 231(1)15aqqq即可解得，则.11a 2314aa q(2019 全国全国 3 理理)14.记为等差数列的前项和，若，则 .nS nan10a 213aa105SS答案：4解析：设该等差数列的公差为，故，d213aa113ada1120,0daad.1101101551102 292 102452452aaadSdaaSadd（2019 北京理）北京理）10.设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2=3，S5=10，则 a5=_，Sn的最小值为_【答案】(1).0.(2).-10.【解析】【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得的值，进一步研究数列中正项负项的变化规律,得到和的最小值.5a【详解】等差数列中,得,公差,na53510Sa 322,3aa 321daa5320aad 3/13由等差数列的性质得时,时,大于 0,所以的最小值为或,即为.na5n 0na 6n nanS4S5S10【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式等差数列的性质,难度不大,注重重要知识基础知识基本运算能力的考查.（2019 北京理）北京理）20.已知数列an，从中选取第 i1项、第 i2项、第 im项(i1i2im)，若，12miiiaaa则称新数列为an的长度为 m 的递增子列规定：数列an的任意一项都是an的长度为 1 的12miiiaaa，递增子列（）写出数列 1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列；（）已知数列an的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为，长度为 q 的递增子列的末项的最小值为.0ma0na若 pq，求证：0.因为 ckbkck+1，所以，其中 k=1，2，3，m.1kkqkq当 k=1 时，有 q1；当 k=2，3，m 时，有lnlnln1kkqkk设 f（x）=，则ln(1)xxx21 ln()xf xx令，得 x=e.列表如下：()0f x x（1，e）e(e，+)()f x+0f（x）极大值因为，所以ln2ln8ln9ln32663maxln3()(3)3f kf取，当 k=1，2，3，4，5 时，即，33q lnlnkqkkkq经检验知也成立1kqk因此所求 m 的最大值不小于 5若 m6，分别取 k=3，6，得 3q3，且 q56，从而 q15243，且 q15216，11/13所以 q 不存在.因此所求 m 的最大值小于 6.综上，所求 m 的最大值为 5【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力10.设，数列中，,则（）,a bR na21,nnnaa aabbNA.当B.当101,102ba101,104baC.当D.当102,10ba 104,10ba【答案】A【解析】【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项 B：不动点满足时，如图，若，2211042xxx1110,22naaa排除如图，若为不动点则a1212na 选项 C：不动点满足，不动点为，22192024xxxax12令，则，2a 210na 排除选项 D：不动点满足，不动点为，令，则221174024xxx17122x 17122a，排除.1711022na 选项 A：证明：当时，12b 2222132431113117,12224216aaaaaa处理一：可依次迭代到；10a 12/13处理二：当时，则则4n 221112nnnaaa117117171161616log2loglog2nnnnaaa，则.12117(4)16nnan62641021716464 6311114710161616216a 故选 A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可a能取值，利用“排除法”求解.20.设等差数列的前项和为，数列满足：对每nannS34a 43aS nb成等比数列.12,nnnnnnnSb Sb SbN（1）求数列的通项公式；,nnab（2）记 证明：,2nnnaCnbN12+2,.nCCCn nN【答案】（1），；（2）证明见解析.21nan1nbn n【解析】【分析】(1)首先求得数列的首项和公差确定数列的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理 na na计算即可确定数列的通项公式；nb(2)结合(1)的结果对数列的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不 nc等式.【详解】(1)由题意可得：，解得：，111243 2332adadad102ad则数列的通项公式为.na其前 n 项和.02212nnnSn n则成等比数列，即：1,1,12nnnn nb n nbnnb 13/13，21112nnnn nbn nbnnb据此有：，2222121112121nnnnnnnn nbbn nnnnnbn nbb故.22112121(1)(1)(1)(2)nnnn nnbn nnnnnn nn(2)结合(1)中的通项公式可得：，112221211nnnanCnnbn nnnnnn则.12210221212nCCCnnn【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.