年上海春季高考数学试卷.pdf

12015 年上海市普通高等学校春季招生统一考试2015 年上海市普通高等学校春季招生统一考试（暨上海市普通高中学业水平考试）（暨上海市普通高中学业水平考试）数学试卷数学试卷考生注意：1本试卷两考合一，春季高考=学业水平考+附加题；春季高考，共 36 道试题，满分 150 分考试时间 130 分钟（学业水平考，共 29 题，满分 120 分考试时间 90 分钟；附加题共 7 题，满分 30 分考试时间 40 分钟）2本试卷分设试卷和答题纸试卷包括试题与答题要求作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名第 I 卷第 I 卷一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 36 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得得 3 分，否则一律得零分分，否则一律得零分1设全集若，则 1,2,3U 1,2AUA2计算：（为虚数单位）1iii3函数的最小正周期为 sin(2)4yx4计算：223lim2nnnn5以点为圆心、1 为半径的圆的标准方程为 (2,6)6已知向量，若，则 (1,3)a r(,1)bmrabrrm 7函数的值域是 224,0,2yxxx8若线性方程组的增广矩阵为、解为，则 0201ab21xyab9方程的解为 lg(21)lg1xx10在的二项展开式中，常数项的值为 921xx11用数字 1、2、3、4、5 组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （结果用数值表示）12已知点，直线，两个动圆均过且与 相切，其圆心分别为、若动点(1,0)A:1l x Al1C2CM满足，则的轨迹方程为 22122C MC CC Auuuu ruuuu ruuu rM二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 12 题，满分题，满分 36 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得答案的小方格涂黑，选对得 3 分，否则一律得零分分，否则一律得零分13若，则下列不等式恒成立的是（）0ab （A）（B）（C）（D）11abab 22ab33ab214函数的反函数为（）21yxx （A）（B）（C）（D）1yx x1yx x 0yx x0yx x15不等式的解集为（）2301xx （A）（B）（C）（D）3,42,32,1,32,1316下列函数中，是奇函数且在单调递增的为（）0,（A）（B）（C）（D）2yx13yx1yx12yx17直线的倾斜角为 ()3450 xy （A）（B）（C）（D）3arctan43arctan44arctan34arctan318底面半径为 1、母线长为 2 的圆锥的体积是 （）（A）（B）（C）（D）23233319以点和为焦点、长轴长为 8 的椭圆方程为（）3,03,0 （A）（B）（C）（D）2211625xy221167xy2212516xy221716xy20在复平面上，满足（为虚数单位）的复数所对应的点的轨迹为（）1zziiz （A）椭圆 （B）圆 （C）线段 （D）直线21若无穷等差数列的首项，公差，的前项和为，则（）na10a 0d nannS （A）单调递减 （B）单调递增 （C）有最大值 （D）有最小值nSnSnSnS22已知，.若，则（）0a 0b 4ab （A）有最小值 （B）有最小值 22abab （C）有最大值 （D）有最大值11ab1ab23组合数恒等于（）12*22,mmmnnnCCCnmmNnN （A）（B）（C）（D）2mnC12mnC1mnC11mnC24设集合，21|10Px xax 22|20Px xax21|0Qx xxb，其中下列说法正确的是（）22|20Qx xxb,a bR （A）对任意，是的子集；对任意，不是的子集a1P2Pb1Q2Q （B）对任意，是的子集；存在，使得是的子集a1P2Pb1Q2Q （C）存在，使得不是的子集；对任意，不是的子集a1P2Pb1Q2Q （D）存在，使得不是的子集；存在，使得是的子集a1P2Pb1Q2Q3三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 8 题，满分题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤25（本题满分（本题满分 8 分）分）如图，在正四棱柱中，和平面1111ABCDABC D1AB 1D BABCD所成角的大小为，求该四棱柱的表面积3 2arctan426（本题满分本题满分 8 分）分）已知是实数，函数是奇函数，求在上的最小值及取到最小是时的值.a24()xaxf xx()f x0,x27（本题满（本题满分分 8 分）分）某船在海平面处测得灯塔在北偏东方向，与相距 6.0 海里.船由向正北方向航行 8.1 海里AB30AA达到处，这时灯塔与船相距多少海里（精确到 0.1 海里）？在船的什么方向（精确到）？CBB1C1B1D1CDABA1428（本题满分本题满分 12 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分分 已知点、依次为双曲线的左、右焦点，1F2F2222:10,0 xyCabab126FF 10,Bb.20,Bb（1）若，以为方向向量的直线 经过，求到 的距离；5a(3,4)d u rl1B2Fl（2）若在双曲线上存在点，使得，求的取值范围.CP122PBPB uuu r uuu rb29（本题满分本题满分 12 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分.已知函数.2()22,xf xxR（1）解不等式：；()2f x（2）数列满足，为的前项和.对，恒成立，na*()naf nnNnS nan4n 12nnSka 求实数的取值范围.k5xyABODC1111第 II 卷第 II 卷一、选择题（本大题满分一、选择题（本大题满分 9 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 3 分，否则一律得分，否则一律得 0 分分1对于集合，“”是“”的()AB、ABABAB (A)充分非必要条件 （B）必要非充分条件 (C)充要条件 （D）既非充分又非必要条件2对于任意实数、，均成立，则实数的取值范围是（）ab2()abkabk (A)（B）(C)（D）4,04,0(0，(40，,+)3已知数列满足（），那么（）na413nnnnaaaanN (A)是等差数列 （B）是等差数列 (C)是等差数列（D）是等差数列 na21na2na3na二、填空题（本大题满分二、填空题（本大题满分 9 分）本大题共有分）本大题共有 3 小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 3 分，否则一律得分，否则一律得 0 分分4关于的实系数一元二次方程的两个虚数根为、，若、在复平面上对应的点是x220 xpx1z2z1z2z 经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 5已知圆心为 O，半径为 1 的圆上有三点 A、B、C，若，则 7580OAOBOC BC 6函数与的图像拼成如图所示的“Z”字形折线段，不含，()f x()g xABOCD(0,1)A(1,1)B(0,0)O ，五个点，若的图像关于原点对称的图形即为的图像，则其中一个函数的(1,1)C (0,1)D()f x()g x 解析式可以为 6三三、解答题（本大题满分解答题（本大题满分 12 分）解答本题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤分）解答本题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤7 对于函数、，若存在函数，使得，则称是的()f x()g x()h x()()()f xg xh x()f x()g x“关联函数”。()h x（1）已知，是否存在定义域为的函数，使得是的()sinf xx()cosg xxR()h x()f x()g x “关联函数”？若存在，写出的解析式；若不存在，说明理由；()h x()h x（2）已知函数、的定义域为，当，（）时，()f x()g x1,+)1xnn，nN ，若存在函数及，使得是的“关联函数”，1()2sin1nxf xn1()h x2()h x()f x()g x1()h x 且是的“关联函数”，求方程的解()g x()f x2()h x()0g x 7参考答案（简略版）参考答案（简略版）第 I 卷第 I 卷一、填空题（第 1 题至第 12 题）1、2、3、4、5、6、31i1222(2)(6)1xy37、8、9、10、11、12、3,4228436221yx二、选择题（第 13 题至第 24 题）13、D 14、A 15、D 16、B 17、A 18、D19、B 20、D 21、C 22、A 23、A 24、B三、解答题（第 25 题至第 29 题）25、解：382hS26、解：min0()(2)4af xf27、解：由余弦定理得海里；再由正弦定理得南偏东约4.2x 46o28、解：（1）；18243605bxyd（2）设，代入化简可得(,)P x y22221122()03922ybbb29、解：（1）；4x（2）当时，；4n 121292252222222nnnnnnnaSnk 通过数列单调性定义，可得右式当时有最小值，6n 25142514k8第 II 卷第 II 卷一、选择题（第 1 题至第 3 题）1、C 2、B 3、D二、填空题（第 4 题至第 6 题）4、5、6、答案不唯一，等2 23,10()1,01xxf xx 1,10(),01xf xxx 三、解答题（第 7 题）解：（1）不存在；若，当时，而的定义域不是，sincos()xx h xcos0 x()tanh xxtan xR 而当时，等式不可能成立cos0 x sin11x 或（2）由题意，易证与同解而由，可得，经过讨论，解得()g x()f x12sin1=0nxn11sin2nxn2x