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2017年高考理科数学全国卷3试题及答案.doc

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资源描述

1、绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则中元素的个数()A.3B.2C.1D.02.设复数满足,则 ()A.B.C.D.23.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,

2、波动性更小,变化比较平稳4.的展开式中的系数为()A.80B.40C.40D.805.已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则的方程为()A.B.C.D.6.设函数,则下列结论错误的是()A.的一个周期为B.的图像关于直线对称C.的一个零点为D.在(,)单调递减7.执行下面的程序框图,为使输出的值小于91,则输入的正整数的最小值为()A.5B.4C.3D.28.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.B.C.D.9.等差数列的首项为1,公差不为0.若成等比数列,则前6项的和为()A.B.C.3D.810.已知椭圆C:的左、右顶点分别为

3、,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为()A.B.C.D.11.已知函数有唯一零点,则()A.B.C.D.112.在矩形中,动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为()A.3B.2C.D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若,满足约束条件则的最小值为.14.设等比数列满足,则.15.设函数则满足的的取值范围是.16.为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直,斜边以直线为旋转轴旋转,有下列结论:当直线与成角时,与成角;当直线与成角时,与成角;直线与所成角的最小值为;直线与所成角的最大值为.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解

4、答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)的内角的对边分别为,已知,,.(1)求;(2)设为边上一点,且,求的面积.18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了

5、确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为多少时,的数学期望达到最大值?19.(12分)如图,四面体中,是正三角形,是直角三角形,(1)证明:平面平面;(2)过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值.20.(12分)已知抛物线

6、C:,过点(2,0)的直线交与两点,圆是以线段为直径的圆.毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _(1)证明:坐标原点在圆上;(2)设圆过点(4,2),求直线与圆的方程.21.(12分)已知函数.(1)若,求的值;(2)设为整数,且对于任意正整数,求的最小值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).设与的交点为,当变化时,的轨迹为曲线.(1)写出的普通方程;(2)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设: ,为与的交点,求的

7、极径.23.选修45:不等式选讲(10分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若不等式的解集非空,求的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)理科数学答案解析1【答案】B【解析】A表示圆上的点的集合,B表示直线上的点的集合,直线与圆有两个交点,所以中元素的个数为2.2.【答案】C【解析】,所以.3.【答案】A【解析】根据折线图可知,2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少,所以A错误.4【答案】C【解析】当第一个括号内取时,第二个括号内要取含的项,即,当第一个括号内取y时,第二个括号内要取含的项,即,所以的系数为.5【答案】B【解析】根据双曲线C

8、的渐近线方程为,可知 ,又椭圆的焦点坐标为(3,0)和(,0),所以 ,根据可知,所以选B.6【答案】D【解析】根据函数解析式可知函数的最小正周期为,所以函数的一个周期为,A正确;当,所以,所以B正确;,当时,所以,所以C正确;函数在(,)上单调递减;(,)上单调递增,故D不正确.所以选D.7【答案】D【解析】,9091,输出,此时,不满足,所以输入的正整数的最小值为2,故选D.8【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为,则,所以,圆柱的体积,故选B.9【答案】A【解析】设等差数列的公差为,因为成等比数列,所以,即,又,所以,又则,所以,所以的前6项的和,故选A.10【答案】A以线段为直径的圆的方

9、程为,由原点到直线的距离,得,所以C的离心率.11【答案】C【解析】由,得,所以,即为图像的对称轴.由题意有唯一零点,所以的零点只能为,即,解得.故选C.12【答案】A【解析】以A为坐标原点,所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线的方程为,点C到直线的距离为,圆C:,因为在圆C上,所以P(,),所以,选A.13【答案】【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线,平移直线,当直线经过点(1,1)时,取得最小值,最小值为.14【答案】【解析】设等比数列的公比为,则,两式相除,得,解得,所以.15【答案

10、】【解析】当,恒成立,当,即时,当,即时,则不等式恒成立.当时,所以.综上所述,的取值范围是(,).16【答案】【解析】由题意知,三条直线两两相互垂直,画出图形如图.不妨设图中所示正方体的棱长为1,则,斜边以直线为旋转轴旋转,则点保持不变,点的运动轨迹是以为圆心,为半径的圆.以为坐标原点,以的方向为轴正方向,方向为轴正方向,的方向为轴正方向建立空间直角坐标系.则(1,0,0),(0,0,1),直线的单位方向向量点起始坐标为(0,1,0),直线的单位方向向量设点在运动过程中的坐标,其中为与的夹角,.那么在运动过程中的向量.设直线与所成的夹角为故所以正确,错误.设直线与所成的夹角为,则当与成角时,

11、因为所以所以因为所以,此时与成角.所以正确,错误.三、解答题17.【答案】解:(1)由已知得所以.在中,由余弦定理得即.解得(舍去),(2)由题设可得所以.故面积与面积的比值为又的面积为所以的面积为.【解析】(1)先求出角,再根据余弦定理求出即可;(2)根据,的面积之间的关系求解即可.18.【答案】解:(1)由题意知,所有的可能取值为200,300,500,由表格数据知,.因此的分布列为0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑当时,若最高气温不低于25,则若最高气温位于区间,则若最高气温低于20,则因此当时,若最高气温不低于20,则若最高气

12、温低于20,则因此所以时,的数学期望达到最大值,最大值为520元.【解析】(1)根据表格提供的数据进行分类求解即可;(2)根据分布列得到关于利润的函数表达式,进而求解最值.19.解:(1)由题设可得,从而.又是直角三角形,所以.取的中点,连接则又由于是正三角形,故.所以为二面角的平面角.在中,.又,所以,故.所以平面平面.(2)由题设及(1)知,两两垂直,以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系,则.由题设知,四面体的体积为四面体的体积的,从而到平面的距离为到平面的距离的,即为的中点,得,故设是平面的法向量,则即可取.设是平面的法向量,则同理可得.则.所以二面角的

13、余弦值为.【解析】(1)通过题目中的边角关系证明线线垂直,进而得二面角的平面角为,最后利用勾股定理的逆定理得,从而得证;(2)根据(1)中得到的垂直关系,建立空间直角坐标系计算即可.20.【答案】解:(1)设由可得.又故.因此的斜率与的斜率之积为,所以.故坐标原点在圆上.(2)由(1)可得.故圆心的坐标为,圆的半径.由于圆过点,因此,故,即由(1)可得,所以,解得.当时,直线l的方程为,圆心的坐标为(3,1),圆的半径为,圆的方程为.当时,直线的方程为,圆心的坐标为,圆的半径为,圆的方程为.【解析】(1)设出的方程,通过联立方程,证明直线与的斜率之积为即可;(2)根据(1)的结论及点的坐标即可

14、求解直线与圆的方程.21.【答案】解:(1)的定义域为.若,因为,所以不满足题意;若,由知,当时,;当时,所以在单调递减,在单调递增,故是在的唯一最小值点.由于,所以当且仅当时,.故.(2)由(1)知当时,.令得,从而故而,所以的最小值为3.【解析】(1)通过求函数的导数,对函数的单调性进行研究,求解函数最小值点即可;(2)将问题转化为“和”式不等式,根据数列求和公式求解即可.22.【答案】(1)消去参数得的普通方程;消去参数得的普通方程.设,由题设得,消去k得.所以的普通方程为.(2)的极坐标方程为.联立得.故,从而.代入得,所以交点的极径为.【解析】(1)先将两条直线的参数方程化为普通方程,联立,消去即可得所求曲线的普通方程;(2)先将(1)中求得的曲线的普通方程化为极坐标方程,再与的极坐标方程联立,求出的极径即可.23.【答案】解:(1)当时,无解;当时,由得,解得当时,由解得.所以的解集为.(2)由得,而且当时,.故的取值范围为.【解析】(1)直接分段讨论即可解决问题;(2)先分离出参数,再将问题转化为最值问题,进而求解参数的取值范围.

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