2017年高考理科数学全国卷3试题及答案.doc

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则中元素的个数(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
2.设复数满足，则 (　　)
A. B. C. D.2
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是 (　　)
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4.的展开式中的系数为 (　　)
A.80 B.40 C.40 D.80
5.已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为 (　　)
A. B. C. D.
6.设函数，则下列结论错误的是 (　　)
A.的一个周期为
B.的图像关于直线对称
C.的一个零点为
D.在(,π)单调递减
7.执行下面的程序框图，为使输出的值小于91，则输入的正整数的最小值为(　　)

A.5 B.4 C.3 D.2
8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 (　　)
A. B. C. D.
9.等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则前6项的和为 (　　)
A. B. C.3 D.8
10.已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 (　　)
A. B. C. D.
11.已知函数有唯一零点，则 (　　)
A. B. C. D.1
12.在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值为 (　　)
A.3 B.2 C. D.2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，满足约束条件则的最小值为　　　　.
14.设等比数列满足，则　　　　.
15.设函数则满足的的取值范围是　　　　.
16.为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线与成角时，与成角；
②当直线与成角时，与成角；
③直线与所成角的最小值为；
④直线与所成角的最大值为.
其中正确的是　　　　.（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
的内角的对边分别为，已知，,.
（1）求；
（2）设为边上一点，且,求的面积.
18.（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？
19.（12分）
如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，

（1）证明：平面平面；
（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.
20.（12分）
已知抛物线C：，过点（2，0）的直线交与两点，圆是以线段为直径的圆.
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
（1）证明：坐标原点在圆上；
（2）设圆过点（4，2），求直线与圆的方程.
21.（12分）
已知函数.
（1）若，求的值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线.
（1）写出的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设： ，为与的交点，求的极径.
23.[选修45：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集非空，求的取值范围.

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）
理科数学答案解析
1．【答案】B
【解析】A表示圆上的点的集合，B表示直线上的点的集合，直线与圆有两个交点，所以中元素的个数为2.
2.【答案】C
【解析】，所以.
3.【答案】A
【解析】根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少，所以A错误.
4．【答案】C
【解析】当第一个括号内取时，第二个括号内要取含的项，即，当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含的项，即，所以的系数为.
5．【答案】B
【解析】根据双曲线C的渐近线方程为，可知 ①，又椭圆的焦点坐标为（3，0）和（，0）,所以 ②，根据①②可知,所以选B.
6．【答案】D
【解析】根据函数解析式可知函数的最小正周期为,所以函数的一个周期为，A正确；当，所以，所以B正确；，当时，，所以，所以C正确；函数在（，）上单调递减；（，）上单调递增，故D不正确.所以选D.
7．【答案】D
【解析】,90＜91，输出，此时，不满足，所以输入的正整数的最小值为2，故选D.
8．【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为，则，所以，圆柱的体积，故选B.
9．【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，又，所以，又则，所以，所以的前6项的和，故选A.
10．【答案】A
以线段为直径的圆的方程为，由原点到直线的距离，得，所以C的离心率.
11．【答案】C
【解析】由，得，所以，即为图像的对称轴.由题意有唯一零点，所以的零点只能为，即，解得.故选C.
12．【答案】A
【解析】以A为坐标原点，所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），可得直线的方程为，点C到直线的距离为，圆C：，因为在圆C上，所以P（，），，，所以，，选A.

13．【答案】
【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线，平移直线，当直线经过点（1，1）时，取得最小值，最小值为.

14．【答案】
【解析】设等比数列的公比为，则，，两式相除，得，解得，所以.
15．【答案】
【解析】当，恒成立，当，即时，，当，即时，，则不等式恒成立.当时，，所以.综上所述，的取值范围是（，）.
16．【答案】②③
【解析】由题意知，三条直线两两相互垂直，画出图形如图.不妨设图中所示正方体的棱长为1，则，斜边以直线为旋转轴旋转，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆.
以为坐标原点，以的方向为轴正方向，方向为轴正方向，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系.
则（1，0，0），（0，0，1），
直线的单位方向向量
点起始坐标为（0，1，0），
直线的单位方向向量
设点在运动过程中的坐标，
其中为与的夹角，.
那么在运动过程中的向量.
设直线与所成的夹角为

故所以③正确，④错误.
设直线与所成的夹角为，则

当与成角时，，

因为
所以
所以
因为
所以，此时与成角.
所以②正确，①错误.

三、解答题
17.【答案】解：
（1）由已知得所以.
在中，由余弦定理得即.
解得（舍去），
（2）由题设可得所以.
故面积与面积的比值为
又的面积为所以的面积为.
【解析】（1））先求出角,再根据余弦定理求出即可；（2）根据，，的面积之间的关系求解即可.
18.【答案】解：
（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，
，.
因此的分布列为

0.2
0.4
0.4
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑
当时，
若最高气温不低于25，则
若最高气温位于区间，则
若最高气温低于20，则
因此
当时，
若最高气温不低于20，则
若最高气温低于20，则
因此
所以时，的数学期望达到最大值，最大值为520元.
【解析】（1）根据表格提供的数据进行分类求解即可；（2)根据分布列得到关于利润的函数表达式，进而求解最值.
19.解：
（1）由题设可得，从而.
又是直角三角形，所以.
取的中点，连接则
又由于是正三角形，故.
所以为二面角的平面角.
在中，.
又，所以，故.
所以平面平面.
（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则.
由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得，故

设是平面的法向量，则
即
可取.
设是平面的法向量，则同理可得.
则.
所以二面角的余弦值为.

【解析】（1）通过题目中的边角关系证明线线垂直，进而得二面角的平面角为，最后利用勾股定理的逆定理得，从而得证；（2）根据（1）中得到的垂直关系，建立空间直角坐标系计算即可.
20.【答案】
解：（1）设
由可得.
又故.
因此的斜率与的斜率之积为，所以.
故坐标原点在圆上.
（2）由（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此,故，
即
由（1）可得，
所以，解得.
当时，直线l的方程为，圆心的坐标为（3，1），圆的半径为，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
【解析】（1）设出的方程，通过联立方程，证明直线与的斜率之积为即可；
（2）根据（1）的结论及点的坐标即可求解直线与圆的方程.
21.【答案】解：（1）的定义域为.
①若，因为，所以不满足题意；
②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故是在的唯一最小值点.
由于，所以当且仅当时，.
故.
（2）由（1）知当时，.
令得，从而

故
而，所以的最小值为3.
【解析】（1）通过求函数的导数，对函数的单调性进行研究，求解函数最小值点即可；（2)将问题转化为“和”式不等式，根据数列求和公式求解即可.
22.【答案】（1）消去参数得的普通方程；消去参数得的普通方程.
设,由题设得，消去k得.
所以的普通方程为.
（2）的极坐标方程为.
联立得.
故，从而.
代入得，所以交点的极径为.
【解析】（1）先将两条直线的参数方程化为普通方程，联立，消去即可得所求曲线的普通方程；（2）先将（1）中求得的曲线的普通方程化为极坐标方程，再与的极坐标方程联立，求出的极径即可.
23.【答案】解：（1）
当时，无解；
当时，由得，，解得
当时，由解得.
所以的解集为.
（2）由得，而

且当时，.
故的取值范围为.
【解析】（1）直接分段讨论即可解决问题；
（2）先分离出参数，再将问题转化为最值问题，进而求解参数的取值范围.