山东省烟台市2020届高三上学期期中考试数学试题.doc

烟台市2020届高三上学期期中考试
高三数学
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰。超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分。在每小题给出的四个选项中，第1~10题只有一项符合题目要求，第11~13题有多项符合题目要求。全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
1.设全集U是实数集R，
A. B. C. D.
2.已知等差数列中，
A. B.0 C. D.
3.已知
A. B. C. D.
4.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重士斤，斩末一尺，重四斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重10斤；在细的一端截下1尺，重4斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该问题中的金杖由粗到细是均匀变化的，则其重量为
A.5.5斤 B.8.5斤 C.35斤 D.40斤
5.设正实数分别满足的大小关系为
A. B. C. D.
6.在中，BD为AC边上的中线，E为BD的三等分点且
A. B. C. D.
7.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，若，则实数a的数值范围
A. B. C. D.
8.已知函数的在处的切线与函数的图象相切，则实数
A. B. C. D.
9.已知函数的周期为，将其图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，现将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为，若，则
A. B. C. D.
10.已知函数与函数的图象在区间上恰有两对关于轴对称的点，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
11.下列结论正确的是
A.若，则一定有
B.若，且，则
C.设是等差数列，若
D.若，则
12.已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是
A. B. C. D.
13.已知函数是R上的奇函数，对任意，都有成立，当时，都有，则下列结论正确的有
A.
B.直线是函数图象的一条对称轴
C.函数在上有5个零点
D.函数在上为减函数
二、填空题，本大题共有4个小题，每小题4分，共16分。
14.已知，，则向量的夹角为
15.已知的最小值为
16.已知函数内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为
17.已知函数，对于任意的，存在，使，则实数的取值范围为_________；若不等式有且仅有一个整数解，则实数的取值范围为_________.
三、解答题：本大题共6个小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（13分）已知为公差不为0的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.

19. （13分）已知的内角A,B,C所对的边分别为.
（1）求角C；
（2）若AC边上的高长为，求.

20. （13分）已知函数.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在R上单调递增，求实数的取值范围.

21. （13分）
随着创新驱动发展战略的不断深入实施，高新技术企业在科技创新和经济发展中的带动作用日益凸显，某能源科学技术开发中心拟投资开发某新新能源产品，估计能获得25~900万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励议案；奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（即：设奖励方案函数模拟为时，则公司对函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立.）
（1）现有两个奖励函数模型：（I）；（II）.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
（2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数的取值范围.

22. （15分）若各项均为正数的数列的前n项和满足，且.
（1）判断数列是否为等差数列？并说明理由；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，求数列的前n项和.

23. （15分）
已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围.

高三数学参考答案及评分标准
一、选择题
CBDCC AABBA 11.AC 12.CD 13.ABD
二、填空题
14. 15.6 16. 17.
三、解答题
18.（1）成等比数列，所以…………………………………………1分
即因为，所以，…………3分
所以……………………………………………5分
（2）由题意得：，…………………………………………………………6分
…………………………………………………………8分
所以……………………13分
19.（1）因为，所以由正弦定理得：
，…………………………………………………………2分
所以，
即
即，…………………………………………………………4分
因为，所以……………………………6分
（2）由题意可得：……………………………8分
在中，由余弦定理可得：
……………………11分
由余弦定理，可得………………13分
20.（1），…………………………………………………1分
………………………………………………………………3分
所以切线方程为……………………………………………………………4分
（2），由已知得：恒成立……………………………5分
令…………………………………………………6分
①时，在R上单调递增，且，无最小值，不合题意；…………………………………………………………………………………8分
②当时，令得：
时，单调递减；……………………………………9分
时，单调递增.……………………………………10分

.……………………………………………………………12分
综上所述：……………………………………………………………………13分
21.（1）对于函数（I）：因为，即函数（I）不符合条件③，所以函数不符合公司奖励方案函数模型的要求；………………………………2分
对于函数（II）：当时，是增函数，
且，所以恒成立……………4分
设，因为，
所以当，
所以恒成立.所以函数（II）模型符合公司要求………………………………6分
（2）因为，所以函数满足条件①，…………………………………………7分
由函数满足条件②得：，………………………9分
由函数满足条件③得：恒成立，………………10分
即恒成立，因为
当且仅当时等号成立，所以
综上所述，实数的取值范围是.…………………………………………13分
22.（1）因为，当……………1分
两式相减：…………………2分
因为，所以，
所以，当时，是公差的等差数列.……………………………………3分
因为.…………………………………………4分
当时，，所以，因为，
所以，数列不是等差数列.…………………………………………………………6分
（2）由（1）知：数列从第二项开始是等差数列，当时，
所以数列的通项公式………………………………9分
（3）……………………………………………………10分
当时 ①
②

……………………14分
当时，，满足上式，所以………………………………15分
23.（1）由题意得：………………………………………………………1分
……………………………………………………2分
令
①当时，恒成立，则上单调递减……………………………………………………………………………………………3分②当轴有两个不同的交点，且，又因为
时，单调递增；
当单调递减.……………5分
③当时，，函数轴有两个不同的交点，且，又因为
时，单调递减，时，
单调递增；时，单调递减.……………………7分
综上所述：当时，上单调递减.
当单调递减；时，单调递减.
当时，时，单调递减，
时，时，单调递减.………8分
（2）由（1）知：有两个极值点为方程的两根，…………………………………………………………9分

.

所以
上恒成立.…………………………………………………11分
令…………………………………12分
令………………………………13分
上单调递减，且上恒成立，即上为减函数，所以……………………………………………………………………14分
.……………………………………………………………15分