北京市2016届高三数学一轮复习-专题突破训练-圆锥曲线-文.doc

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北京市2016届高三数学文一轮复习专题突破训练
圆锥曲线
一、填空、选择题
1、（2015年北京高考）已知是双曲线（）的一个焦点，则 ．
2、（2014年北京高考）设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为 .
3、（2013年北京高考）若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝________；准线方程为________.
4、（昌平区2015届高三上期末）双曲线的离心率是_________；若抛物线与双曲线有相同的焦点，则_____________.
5、（朝阳区2015届高三一模）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为
A． B． C． D．
6、（东城区2015届高三二模）已知抛物线上一点，则 ，点到抛物线的焦点的距离为 .
7、（房山区2015届高三一模）双曲线的渐近线方程是( )
A． B． C． D．
8、（丰台区2015届高三一模）双曲线的渐近线方程为
9、（丰台区2015届高三二模）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则
(A) (B) (C) 1 (D)
10、（海淀区2015届高三一模）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
（A） （B） 1 （C） （D）
11、（海淀区2015届高三二模）以坐标原点为顶点，为焦点的抛物线的方程为
12、（西城区2015届高三二模）抛物线的准线的方程是____；以的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____.
13、已知抛物线的焦点到其准线的距离是，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则的面积为 （　　）
A．32 B．16 C．8 D．4
14、点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为 （　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
15、已知直线和直线，抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是 （　　）
A． B． C． D．

二、解答题
1、（2015年北京高考）已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若垂直于轴，求直线的斜率；
（Ⅲ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

2、（2014年北京高考）已知椭圆C：.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.

3、（2013年北京高考）直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．
(1)当点B的坐标为(0，1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．

4、（昌平区2015届高三上期末）已知椭圆C：的离心率为，其四个顶点组成的菱形的面积是，O为坐标原点，若点A在直线上，点B在椭圆C上，且.
（I） 求椭圆C的方程；
（II）求线段AB长度的最小值；
（III）试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

5、（朝阳区2015届高三一模）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．过焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点，直线交椭圆于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当四边形为矩形时，求直线的方程．

6、（东城区2015届高三二模）已知椭圆上的左、右顶点分别为，，为左焦点，且，又椭圆过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线,的斜率分别为,，若，证明：,,三点共线．

7、（房山区2015届高三一模）已知椭圆：的离心率为，是椭圆上的任意一点，且点到椭圆左右焦点，的距离和为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）经过点且互相垂直的直线、分别与椭圆交于、和、两点（、、、都不与椭圆的顶点重合），、分别是线段、的中点，为坐标原点，若、分别是直线、的斜率，求证：为定值．

8、（丰台区2015届高三一模）已知椭圆C：的右焦点为F．
（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；
（Ⅱ）直线l：过点F，且与椭圆C交于，两点，如果点关于轴的对称点为，判断直线是否经过轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．

9、（丰台区2015届高三二模）已知椭圆：的右焦点为，上下两个顶点与点恰好是正三角形的三个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过原点O的直线与椭圆交于，两点，如果△为直角三角形，求直线的方程．

10、（海淀区2015届高三一模）已知椭圆过点，且离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆上存在点关于直线对称,求的所有取值构成的集合，并证明对于，的中点恒在一条定直线上.

11、（海淀区2015届高三二模）已知椭圆，点为椭圆的左顶点. 对于正常数，如果存在过点的直线与椭圆交于两点，使得，则称点为椭圆的“分点”.
（Ⅰ）判断点是否为椭圆的“分点”，并说明理由；
（Ⅱ）证明：点不是椭圆的“分点”；
（Ⅲ）如果点为椭圆的“分点”，写出的取值范围. （直接写出结果）

x
y
．
．
M
O
N
B
P
Q
12、（石景山区2015届高三一模）如图，已知椭圆C：的离心率，短轴的右端点为B， M（1，0）为线段OB的中点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任意作一条直线与椭圆C相交于两点P，Q
试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM =∠QNM ？
若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

13、（西城区2015届高三二模）设，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆的左顶点，点为椭圆的上顶点，且.
（Ⅰ）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上一点，且在第一象限内，直线与轴相交于点. 若以为直径的圆经过点，证明：点在直线上.

14、已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，.经过点的直线与椭圆交于，两点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，求线段的长；
（Ⅲ）记与的面积分别为和，求的最大值.

15、已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点的距离为，过焦点F作直线，交椭圆于两点．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆上有一点，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线的斜率．

参考答案
一、填空、选择题
1、【答案】
【解析】
试题分析：由题意知，，所以.
2、【答案】
【解析】由题意知：，所以，又因为双曲线的焦点在x轴上，所以C的方程为.
3、2　x＝－1　[解析] ∵抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，∴＝1，解得p＝2，∴准线方程为x＝－1.
4、;
5、C
6、，
7、A
8、
9、C
10、C
11、
12、，
13、 【答案】A
解：由题意知，所以抛物线方程为，焦点,准线方程，即,设, 过A做垂直于准线于M,由抛物线的定义可知,所以,即,所以，整理得，即，所以，所以,选A.
14、 【答案】B
解：抛物线的准线为，根据抛物线的对应可知，到该抛物线焦点的距离等于到该准线的距离，即，所以，即点的横坐标为3，选B.
15、【答案】B
解：因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。所以设到准线的距离为,则。到直线的距离为，
所以,其中为焦点到直线的距离，所以，所以距离之和最小值是2，选B.

二、解答题
1、【答案】（1）；（2）1；（3）直线BM与直线DE平行.
【解析】
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a，b，c的值，再利用计算离心率；第二问，由直线AB的特殊位置，设出A，B点坐标，设出直线AE的方程，由于直线AE与x=3相交于M点，所以得到M点坐标，利用点B、点M的坐标，求直线BM的斜率；第三问，分直线AB的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB和直线AE的方程，将椭圆方程与直线AB的方程联立，消参，得到和，代入到中，只需计算出等于0即可证明，即两直线平行.
试题解析：（Ⅰ）椭圆C的标准方程为.
所以，，.
所以椭圆C的离心率.
（Ⅱ）因为AB过点且垂直于x轴，所以可设，.
直线AE的方程为.
令，得.
所以直线BM的斜率.
（Ⅲ）直线BM与直线DE平行.证明如下：
当直线AB的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知.
又因为直线DE的斜率，所以.
当直线AB的斜率存在时，设其方程为.
设，，则直线AE的方程为.
令，得点.
由，得.
所以，.

2、解：（Ⅰ）由题意，椭圆的标准方程为．
所以，，从而．
因此，．故椭圆的离心率．
（Ⅱ）设点，的坐标分别为，，其中．
因为，
所以，
即，解得．
又，所以

．
因为，且当时等号成立，所以．
故线段长度的最小值为．
3、解：(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．
所以可设A，代入椭圆方程得＋＝1，即t＝±.
所以|AC|＝2 .
(2)证明：假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.
由消y并整理得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则
＝－，＝k·＋m＝.
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为－.
因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．
所以OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．
4、解：（I）由题意，解得.
故椭圆C的标准方程为. ……………3分
（II）设点A，B的坐标分别为，其中，
因为，所以，即， ……………4分
解得，又，
所以
=
=
==，……………5分

因为，当且仅当时等号成立，所以，
故线段AB长度的最小值为. ……………7分
（III）直线AB与圆相切. ……………8分
证明如下：
设点A,B的坐标分别为，，其中.
因为，所以，即，解得. ……………9分
直线AB的方程为，
即， ……………10分
圆心O到直线AB的距离, ……………11分
由，，
故 ，
所以 直线AB与圆相切. ……………13分
5、解：（Ⅰ）由题意可得
解得，.
故椭圆的方程为． ……… 5分
（Ⅱ）由题意可知直线斜率存在，设其方程为，点，，，，
由得，
所以．
因为，
所以中点．
因此直线方程为．
由解得，．
因为四边形为矩形，所以，
即．
所以．
所以．
　解得．故直线的方程为． ……… 14分
6、解：（Ⅰ）由已知可得，，又，
解得.
故所求椭圆的方程为． …………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.设，，
所以.
因为在椭圆上，
所以，即.
所以.
又因为，
所以. （1）
由已知点在圆上，为圆的直径，
所以.
所以. （2）
由(1)（2）可得．
因为直线，有共同点，
所以，，三点共线． …………………………14分
7、解：（Ⅰ）∵点到椭圆左右焦点的距离和为4.
∴，.
又，∴，.
∴椭圆的标准方程为： …………………5分
（Ⅱ）∵直线、经过点且互相垂直，又、、、都不与椭圆的顶点重合
∴设：，：；点、、、
由
∵点在椭圆内，∴△
∴，
∴，
∴
同理
∴ …………………14分
8、解: （Ⅰ）因为椭圆C：
所以焦点，离心率 ……………………4分
（Ⅱ）直线l：过点F，所以，所以l：．
由，得（依题意 ）．
设 ，，
则， ．
因为点关于轴的对称点为，则．
所以，直线的方程可以设为，
令，

．
所以直线过轴上定点． ……………………14分
9、解：（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，则．
因为上下两个顶点与恰好是正三角形的三个顶点，
所以，．
所以椭圆C的标准方程为． ……………………4分
（Ⅱ）依题意，当△为直角三角形时，显然直线斜率存在，
可设直线方程为，设，．
（ⅰ）当时，，．
，消得．
所以，．

．
解得． ……………………9分
此时直线的方程为．
（ⅱ）当与不垂直时，根据椭圆的对称性，不妨设．
也就是点既在椭圆上，又在以为直径的圆上．
所以，解得，．
所以．
此时直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或． ……………………14分
10、解：（Ⅰ）因为 椭圆过点，
所以 . ………………1分
因为 ，
所以 .
所以 椭圆的方程为 ………………3分
（Ⅱ）方法一：
依题意得.
因为 椭圆上存在点关于直线对称，
所以 直线与直线垂直，且线段的中点在直线上.
设直线的方程为.
由得 . ………………5分
由，
得.（*）
因为 ， ………………7分
所以 的中点坐标为.
又线段的中点在直线上，
所以 .
所以 . ………………9分
代入（*），得或.
所以 . ………………11分
因为 ，
所以 对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上.
………………13分
方法二：
因为 点在直线上，且关于直线对称，
所以 ，且.
设（），的中点为.
则. ………………6分
又在椭圆上，
所以 .
所以 .
化简，得 .
所以 . ………………9分
又因为 的中点在直线上，
所以 .
所以 .
由可得.
所以 ，或，即，或.
所以 . ………………12分
所以 对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上.
………………13分
11、（Ⅰ）解：点是椭圆的“分点”，理由如下： ………………1分
当直线的方程为时，由可得.（不妨假设点在轴的上方）
所以 ，.
所以，即点是椭圆的“分点”. ………………4分
（Ⅱ）证明：假设点为椭圆的“分点”，则存在过点的直线与椭圆交于两点，使得.
显然直线不与轴垂直，设，.
由得 .
所以 ， ① . ② ………………6分
因为 ，
所以 ，即. ………………8分
由②可知，所以. ③
将③代入①中得 , ④
将③代入②中得, ⑤
将④代入⑤中得 ，无解.
所以 点不是椭圆的“分点”. ………………10分
（Ⅲ）的取值范围为. ………………14分
12、（Ⅰ）由题意知, …………………1分
由， …………………3分
椭圆方程为． …………………4分
（Ⅱ）若存在满足条件的点N，坐标为（t，0），其中t为常数.
由题意直线PQ的斜率不为0，
直线PQ的方程可设为：, …………………5分
设,
联立，消去x 得：, …………………7分
恒成立，所以 ……8分
由知： …………………9分
，
即，即， …………………10分
展开整理得，
即 …………………12分
即，又不恒为0，.故满足条件的点N存在，坐标为……14分
13、（Ⅰ）解：设，
由题意，得，且， ………………2分
解得，，. ………………4分
所以椭圆的方程为. ………………5分
（Ⅱ）解：由题意，得，所以椭圆的方程为，
则，，. 设，
由题意，知，则直线的斜率， ………………6分
直线的斜率，
所以直线的方程为，
当时，，即点，
所以直线的斜率为， ………………8分
因为以为直径的圆经过点，
所以.
所以， ………………10分
化简，得，
又因为为椭圆上一点，且在第一象限内，
所以，，，
由，解得，， ………………12分
所以，
即点在直线上. ………………14分
14、解：（I）因为为椭圆的焦点,所以又
所以所以椭圆方程为 ………………3分
（Ⅱ）因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,
所以直线方程为,和椭圆方程联立得到
,消掉,得到 ………………5分
所以
所以 ………………7分
（Ⅲ）当直线无斜率时,直线方程为,
此时, 面积相等， ………………8分
当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,
设
和椭圆方程联立得到,消掉得
显然，方程有根，且 ………………10分
此时
………………12分
因为,上式，（时等号成立）
所以的最大值为 ………………14分
15、解: （Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为，…………………… 1分
则 ，． …………………………………………2分
所以　， …………………………………3分
所以　椭圆方程为． …………………………………………4分
（Ⅱ）若直线轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线对称，此时点C坐标为．因为 ，所以点C在椭圆外，所以直线与轴不垂直． …………………………………………6分
于是，设直线的方程为，点，， …7分
则 整理得， … 8分
， ………………………………………… 9分
所以　． ……………………………………… 10分
因为 四边形为平行四边形，
所以 ， ……………………………………… 11分
所以 点的坐标为， ……………………………12分
所以 ， ……………………………13分
解得，
所以．　　　　　　　　　　　　………………………………14分

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