5椭圆离心率的值及取值范围.docx

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椭圆离心率的值及取值范围
【题1】 如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（　　）
A． B.
C. D.
B 解析：∵ a=2b, 故选B.
【题2】 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 (　　)
A．(0,1) B.
C. D.
C　
【题3】 椭圆x2＋4y2＝1的离心率为
(　　)．
A. B. C. D.
解析　将椭圆方程x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋＝1，则a2＝1，b2＝，即a＝1，c＝
＝，故离心率e＝＝.
答案　A
【题4】 过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为
(　　)．
A. B.
C. D.
解析　记|F1F2|＝2c，则由题设条件，知|PF1|＝，|PF2|＝，则椭圆的离心率e＝＝
＝＝，故选B.
答案　B
【题5】 如图所示，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为(　　)．

A. B. C. D.
解析　由条件知，F1(－2，0)，B(0，1)，∴b＝1，c＝2，
∴a＝＝，
∴e＝＝＝.
答案　D
【题6】 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析：在△ABF中，由余弦定理得
|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，
所以|AF|2＝100＋64－128＝36，得|AF|＝6，
从而|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，则AF⊥BF.
所以c＝|OF|＝|AB|＝5，
利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，
则 |BF′|＝|AF|＝6，所以2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7.
因此椭圆的离心率e＝＝.
答案：B
【题7】 设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为 (　　)
A. B. C. D.
解析：由题意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2＝2c，所以3a＝4c，所以e＝.
答案：C
【题8】 已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆＋＝1的离心率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.

解析：由已知得解得 所以e＝＝，故选C.
答案：C
【题9】 椭圆＋＝1的离心率为(　　)
A. B. C. D.
D【解析】 由题意a＝4，c2＝8，∴c＝2，所以离心率为e＝＝＝.
【题10】 椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则m的值为(　　)
A．2或 B．2 C．4或 D.
C【解析】 (1)当焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝>0，所以c2＝1－>0，所以m>1，且e＝＝＝，解得m＝4.
(2)当焦点在y轴上时，a2＝>0，b2＝1，所以c2＝－1>0，所以0<m<1，且e＝＝＝，解得m＝.故选C.
【题11】 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A.　　　　 B．
C. D．
【解析】　由题意知，2a＋2c＝2×2b，即a＋c＝2b.
∴a2＋2ac＋c2＝4b2，又∵b2＝a2－c2，
∴3a2－2ac－5c2＝0，
∴5e2＋2e－3＝0
解得e＝或－1(舍去)．
【答案】　B
【题12】 若椭圆的两个焦点F1，F2与短轴的一个端点B构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D．
【解析】　由△BF1F2是正三角形得，＝tan 60°＝.
∴b＝c.
∴e＝＝＝＝.
【答案】　A
【题13】 若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
[答案]　D
[解析]　△ABF1为等边三角形，
∴2b＝a，∴c2＝a2－b2＝3b2
∴e＝＝＝＝.
【题14】 椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
[答案]　A
[解析]　由题意知b＝c，∴a＝c，∴e＝＝.
【题15】 椭圆＋＝1和＋＝k(k>0)具有(　　)
A．相同的长轴　　　　　 B．相同的焦点
C．相同的顶点 D．相同的离心率
[答案]　D
[解析]　椭圆＋＝1和＋＝k(k>0)中，不妨设a>b，椭圆＋＝1的离心率e1＝，椭圆＋＝1(k>0)的离心率e2＝＝
【题16】 已知P是以F1、F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，若·＝0，tan∠PF1F2＝，则椭圆的离心率为(　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
[答案]　D
[解析]　由·＝0知∠F1PF2为直角，
设|PF1|＝x，由tan∠PF1F2＝知，|PF2|＝2x，
∴a＝x，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2得c＝x，
∴e＝＝.
【题17】 如图F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为(　　)

A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.－1
[答案]　D
[解析]　连结AF1，由圆的性质知，∠F1AF2＝90°，
又∵△F2AB是等边三角形，
∴∠AF2F1＝30°，
∴AF1＝c，AF2＝c，
∴e＝＝＝＝－1.故选D.
【题18】 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于(　　)
A. B.
C. D.
解析　依题意2a＝4b，即a＝2b，又a2＝b2＋c2，
∴a2＝a2＋c2，即a2＝c2，∴＝，
∴e＝＝.
答案　D
【题19】 若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为(　　)
A. B.或18
C．18 D.或6
解析　当焦点在x轴上时，a2＝16，b2＝m，∴c2＝a2－b2＝16－m，∴e2＝＝＝2，∴m＝，当焦点在y轴上时，同理可求得m＝18.
综上知m的值为或18.
答案　B

【题20】 椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为(　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
[答案]　A
[解析]　由题意知b＝c，∴a＝c，∴e＝＝.
【题21】 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　

如图，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由tan30°＝＝＝，得x＝c，而由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x，∴a＝x＝c.
∴e＝＝＝，故选D.
【题22】 中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2,0)的椭圆方程是(　　)
A.＋y2＝1 B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋＝1 D．＋y2＝1或＋＝1
【解析】　若焦点在x轴上，则a＝2.
又e＝，∴c＝.
∴b2＝a2－c2＝1.
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，则b＝2.
又e＝，∴＝1－＝.
∴a2＝4b2＝16.
∴椭圆的方程为＋＝1.
【答案】　D
【题23】 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D.＋＝1
[答案]　C
[解析]　∵长轴长2a＝12，∴a＝6，又e＝∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝32，∵焦点不定，
∴方程为＋＝1或＋＝1.
【题24】 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为
(　　)．
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析　因为＝，且c＝，所以a＝，b＝＝1.所以椭圆C的方程为＋y2
＝1.
答案　A

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