中考数学压轴题及答案(整理版).doc

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2015年全国各地中考数学压轴题精选
1、（黄石市2015年）（本小题满分9分）已知⊙与⊙相交于、两点，点在⊙上，为⊙上一点（不与，，重合），直线与⊙交于另一点。
（1）如图（8），若是⊙的直径，求证：；
（2）如图(9)，若是⊙外一点，求证：；
（3）如图（10），若是⊙内一点，判断（2）中的结论是否成立。

2、（黄石市2015年）（本小题满分10分）已知二次函数
（1）当时，函数值随的增大而减小，求的取值范围。
（2）以抛物线的顶点为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（，两点在抛物线上），请问：△的面积是与无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
（3）若抛物线与轴交点的横坐标均为整数，求整数的值。

3、（2015年广东茂名市）如图，⊙P与轴相切于坐标原点O（0，0），与轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．
（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分）

第3题图
χ

（2）若AC=, D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为，函数的图象经过点，求的值（用含的代数式表示）．

4、庆市潼南县2015年）如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线
交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.

5、苏省宿迁市2015年）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．
（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；
（2）求△AOB的面积；
（3）Q是反比例函数y＝（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．
（第5题）

（第6题）
6、苏省宿迁市2015年）（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．
　（1）求AE的长度；
（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于
点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所
在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

7、（11年广东省）10．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为_________________．
题7图（1）
A1
B
C
D
A
F
E
B
C
D
A
F
E
B
C
D
A
F
E
B1
C1
F1
D1
E1
A1
B1
C1
F1
D1
E1
A2
B2
C2
F2
D2
E2
题7图（2）
题7图（3）

8、{1年广东省）21．如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)
（1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）
（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.

题8图(1)
B
H
F
A（D）
G
C
E
C（E）
B
F
A（D）
题8图(2)

9、11年凉山州）如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。

10、市二○一一年）27．（本题满分12分）情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．
图1 图2
观察图2可知：与BC相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．

问题探究
图3
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

拓展延伸
图4
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

11、市二○一一年）28．（本题满分12分）如图，已知一次函数y = - x +7与正比例函数y = x的图象交于点A，且与x轴交于点B.
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
（备用图）
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

12、{11济宁）如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。
(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
M
A
y
N
B
D
P
x
C
第12题
O
C
(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。

13、市2015年）（本题满分10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：
（1）若测得（如图1），求的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
图1
图2

14、如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

15、题 问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型 设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．
探索研究 ⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．
① 填写下表，画出函数的图象：
x
……

1
2
3
4
……
y
……

……
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．

解决问题⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
16、2015年初中毕业生学业考试(衢州卷)
已知两直线，分别经过点A(1，0)，点B，
并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有
，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线
交于点K，如图所示。
(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
(2)抛物线的对称轴被直线，抛物线，直线和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。
A
B
C
D
K
E
F
O

y
x
(3)当直线绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。

17、（11凉山州）如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。

18、 （题满分14分)平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形。
(1)若抛物线过点C，A，，求此抛物线的解析式；
(2)求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分△的周长；
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标。

19（2015年广东省如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2。动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动。连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒。试解答下列问题：
（1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）。试问x为何值时，△PQW为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
第19题图（2）
A
B
C
D
F
M
N
W
P
Q
第19题图（1）
A
B
M
C
F
D
N
W
P
Q
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值。

20、（2015年桂林市）（本题满分12分）已知二次函数的图象如图.
（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.

21、（达州市2015年） (10分)如图，已知抛物线与轴交于A(1，0)，B（，0）两点，与轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与轴交于点Q，求点D的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

22、如图1，把一个边长为2的正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，点C在y轴的正半轴上，经过B、C、D三点的抛物线c1交x轴于点M、N(M在N的左边).
(1)求抛物线c1的解析式及点M、N的坐标；
(2)如图2，另一个边长为2的正方形的中心G在点M上，、在x轴的负半轴上(在的左边)，点在第三象限，当点G沿着抛物线c1从点M移到点N，正方形随之移动，移动中始终与x轴平行.
①直接写出点C’、D’移动路线形成的抛物线C(C’)、Ｃ（Ｄ’）的函数关系式；
②如图3，当正方形第一次移动到与正方形ABCD有一边在同一直线上时，
求点G的坐标．图3
图2
图1

23、（本题满分12分）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。
E
G
Q
P
O
y
x
C
B
A
（1）求直线AC的解析式；
（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等
腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标；
（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，
线段EG的长度是否发生改变，请说明理由。

24、．如图1，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（0，10），（8，4），顶点C，D在第一象限.点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向运动，同时，点Q从点E（4，0）出发，沿x轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动.设运动时间为t(s). （1）求正方形ABCD的边长.
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t(s)之间的函数图像为抛物线的一部分（如图2所示），求P，Q两点的运动速度.
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t(s)的函数解析式及面积S取最大值时点P的坐标.
（4）若点P,Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小.当点P沿着这两边运动时，能使∠OPQ＝90°吗？若能，直接写出这样的点P的个数；若不能，直接写不能.

O
Q
E
P
B
C
D
A
x
y
（第22题）
图 1
O
10
20
28
t
S
图 2

25. 已知，以AC为边在外作等腰，其中。
(1)如图1，若，，四边形ABCD是平行四边形，则______；
(2)如图2，若，是等边三角形，，。求BD的长；
(3)如图3，若为锐角，作于H。当时，是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。

27、

26.（本题满分12分）如图，Rt△AOB中，∠A＝90°，以O为坐标原点建立直角坐标系，使点A在x轴正半轴上，OA＝2，AB＝8，点C为AB边的中点，抛物线的顶点是原点O，且经过C点．
（1）填空：直线OC的解析式为 ；
抛物线的解析式为 ；
（2） 现将该抛物线沿着线段OC移动，使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C），抛物线与y轴的交点为D，与AB边的交点为E；
B
O
A
C
x
y
①是否存在这样的点D，使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理由；
B
O
A
C
x
y
②设△BOE的面积为S，求S的取值范围．

备用图

27.（本题满分12分）等腰直角△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．
⑴ 当△ABC的边(BC边除外)与圆第一次相切时，点B移动了多少距离？
⑵ 若在△ABC移动的同时，⊙O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？
⑶ 在⑵的条件下，是否存在某一时刻，△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由．
A
B
C
O

28、(扬州市2015年) （本题满分12分）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线表示________槽中水的深度与注水时间的关系，线段表示_______槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点的纵坐标表示的实际意义是________________________________；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；
甲槽
乙槽
图1
y（厘米）
19
14
12
2
O
4
6
B
C
D
A
E
x（分钟）
图2
（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写出结果）

29、（本题满分12分）在中，是边的中点，交于点．动点从点出发沿射线以每秒厘米的速度运动．同时，动点从点出发沿射线运动，且始终保持设运动时间为秒（）．
（1）与相似吗？以图１为例说明理由；
（2）若厘米．
①求动点的运动速度；
②设的面积为（平方厘米），求与的函数关系式；
（3）探求三者之间的数量关系，以图１为例说明理由．
A
B
P
N
Q
C
M
A
B
C
N
M
图1
图2（备用图）

1、 答案：（9分）证明：（1）如图（一），连接， ∵为⊙的直径
∴ ∴为⊙的直径 ∴在上 又，
为的中点 ∴△是以为底边的等腰三角形 ∴ （3分）
（2）如图（二），连接，并延长交⊙与点，连
∵四边形内接于⊙ ∴ 又∵
∴ ∴ 又为⊙的直径
∴ ∴ （3分）
（3）如图（三），连接，并延长交⊙与点，连
∵ 又 ∴ ∴
又 ∴ （3分）
2、答案：解：（1）∵ ∴由题意得， （3分）
（2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，设抛物线的对称轴与交于点，则。设 ∴
又
∴ ∴
∴， ∴定值 （3分）
（3）令，即时，有

由题意，为完全平方数，令
即
∵为整数， ∴的奇偶性相同
∴或解得或综合得
3、解：本大题共2小题，每小题8分，共16分）
（1）解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中，，1分
在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB
∴Rt△AOC∽Rt△ABO， ∴，即， ··3分
∴ ， ∴···4分
解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径， ∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4， ······1分
过C作CE⊥OA于点E，则：，
即，∴，·····2分
∴ ∴
设经过A、C两点的直线解析式为：．把点A（5，0）、
代入上式得： ， 解得：，
∴ ， ∴点 ．·4分
（2）点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点， ∴，∴∠3=∠4，又∵OP=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，
∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，
∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上； 由上可知，经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点，圆心，由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB=，在Rt△ABO中，，OD=，∴，点在函数的图象上，∴， ∴．
4、解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为，·
把点A（0，4）代入上式得：，
，
∴抛物线的对称轴是：．
（2）由已知，可求得P（6，4）． ·
提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，
又知点P的坐标中，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，
即P（6，4）．
（注：如果考生直接写出答案P（６，４），给满分2分，但考生答案错误，解答过程分析合理可酌情给1分）
⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为，此时点N（，
过点N作NG∥轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：；把代入得：，则G，此时：NG=-（），
=． ∴
∴当时，△CAN面积的最大值为，由，得：，
∴N（， -3）．
法二：提示：过点N作轴的平行线交轴于点E，作CF⊥EN于点F，则
（再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略）
5、（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）----1分
∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)
∴ 解得：b=-2 c=-3
（2如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0） B(4,5)
∴直线AB的解析式为：y=x+1
∵二次函数 ∴设点E(t， t+1),则F（t，）
-∴EF= =
∴当时，EF的最大值= ∴点E的坐标为（，）
（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ．
可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4）
S = S + S = =
②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)
则有： 解得:,
∴,
ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）
则有： 解得： ，（与点F重合，舍去）∴
综上所述：所有点P的坐标：，（.
能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形． --12分
6、解：（1）点P在线段AB上，理由如下： ∵点O在⊙P上，且∠AOB＝90°
∴AB是⊙P的直径 ∴点P在线段AB上．
（2）过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，由题意可知PP1、PP2
是△AOB的中位线，故S△AOB＝OA×OB＝×2 PP1×PP2
∵P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的任意一点
∴S△AOB＝OA×OB＝×2 PP1×2PP2＝2 PP1×PP2＝12．
（3）如图，连接MN，则MN过点Q，且S△MON＝S△AOB＝12． ∴OA·OB＝OM·ON
∴ ∵∠AON＝∠MOB ∴△AON∽△MOB ∴∠OAN＝∠OMB ∴AN∥MB．
7、解：（1）∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB
∵QE⊥AB，MF⊥BC ∴∠AEQ＝∠MFB＝90°∴四边形ABFM、AEQD都是矩形
∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE 又∵PQ⊥MN ∴∠EQP＝∠FMN
又∵∠QEP＝∠MFN＝90° ∴△PEQ≌△NFM．
（2）∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t ∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2
由勾股定理，得PQ＝＝ ∵△PEQ≌△NFM
∴MN＝PQ＝ 又∵PQ⊥MN
∴S＝＝＝t2－t＋ ∵0≤t≤2
∴当t＝1时，S最小值＝2． 综上：S＝t2－t＋，S的最小值为2．
8、解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝得 AC＝＝ ∵BC＝CD，AE＝AD
∴AE＝AC－AD＝． （2）∠EAG＝36°，理由如下：
∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝ ∴＝ ∴△FAE是黄金三角形
∴∠F＝36°，∠AEF＝72° ∵AE＝AG，FA＝FE ∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE
∴△AEG∽△FEA ∴∠EAG＝∠F＝36°．

9、

答案：

10、（1）、△HAB △HGA；
（2）、由△AGC∽△HAB，得AC/HB=GC/AB，即9/y=x/9，故y=81/x (0<x<)
（3）因为：∠GAH= 45°
①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图（1）：可知CG=x=/2
②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图（2）：由△HGA∽△HAB
知：HB= AB=9，也可知BG=HC，可得：CG=x=18-

11、（1）∵，∴，。∴，。···1分
又∵抛物线过点、、，故设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入，求得。 ∴抛物线的解析式为。···3分
（2）设点的坐标为（，0），过点作轴于点（如图（1））。
∵点的坐标为（，0），点的坐标为（6，0），
∴， ∵，∴。
∴，∴，∴。
∴
·。
∴当时，有最大值4。 此时，点的坐标为（2，0）。
（3）∵点（4，）在抛物线上，
∴当时，， ∴点的坐标是（4，）。
如图（2），当为平行四边形的边时，，
∵（4，），∴（0，），。
∴，。
① 如图（3），当为平行四边形的对角线时，设，则平行四边形的对称中心为
（，0）。∴的坐标为（，4）。把（，4）
代入，得。解得 。
，。
12、.解：情境观察
AD（或A′D），90 问题探究
结论：EP=FQ. 证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.
∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.
∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.
同理AG=FQ. ∴EP=FQ.
拓展延伸 结论： HE=HF.
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.
∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴EP(AG) = EA(AB).
同理△ACG∽△FAQ，∴FP(AG) = FA(AC).
∵AB= k AE，AC= k AF，∴EA(AB) = FA(AC) = k，∴EP(AG) = FP(AG). ∴EP=FQ.
∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF

13、1）根据题意，得3(4)，解得 ，∴A(3，4) . 令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）.
（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4.由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得
2(1)(3+7)×4-2(1)×3×(4-t)- 2(1)t(7-t)- 2(1)t×4=8整理,得t2-8t+12=0,
解之得t1=2,t2=6（舍） 当P在CA上运动，4≤t＜7.
由S△APR= 2(1)×(7-t) ×4=8，得t=3（舍）
∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.
②当P在OC上运动时，0≤t＜4. ∴AP=，AQ=t，PQ=7-t
当AP =AQ时， （4-t）2+32=2(4-t)2,整理得，t2-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)
当AP=PQ时，（4-t）2+32=(7-t)2,整理得，6t=24. ∴t=4(舍去)
当AQ=PQ时，2（4-t）2=(7-t)2 整理得，t2-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍)
当P在CA上运动时，4≤t＜7. 过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.
设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.
由cos∠OAC= AQ(AE) = AO(AC)，得AQ = 3(5)(t-4)．当AP=AQ时，7-t = 3(5)(t-4)，解得t = 8(41).
当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= 2(1)AP 得t-4= 2(1)(7-t)，解得t =5.
当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F AF= 2(1)AQ = 2(1)×3(5)(t-4).
在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ AP(AF) ＝ 5(3)，得AF＝ 5(3)AP
即 2(1)×3(5)(t-4)= 5(3)×(7-t)，解得t= 43(226).
∴综上所述，t=1或 8(41)或5或 43(226) 时，△APQ是等腰三角形.
14、、解：（1）∵y轴和直线l都是⊙C的切线 ∴OA⊥AD BD⊥AD
又∵ OA⊥OB ∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90° ∴四边形OADB是矩形
∵⊙C的半径为2 ∴AD=OB=4 ∵点P在直线l上 ∴点P的坐标为（4，p）
又∵点P也在直线AP上 ∴p=4k+3
（2）连接DN ∵AD是⊙C的直径 ∴ ∠AND=90°
∵ ∠AND=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN ∴∠AND=∠ABD
又∵∠ADN=∠AMN ∴∠ABD=∠AMN ∵∠MAN=∠BAP∴△AMN∽△ABP
(3)存在。
理由：把x=0代入y=kx+3得y=3，即OA=BD=3
AB=∵ S△ABD= AB·DN=AD·DB
∴DN== ∴AN2=AD2-DN2= ∵△AMN∽△ABP
∴ 即 ……8分
当点P在B点上方时，
∵AP2=AD2+PD2 = AD2+(PB-BD)2 =42+(4k+3-3)2 =16(k2+1)
或AP2=AD2+PD2 = AD2+(BD-PB)2 =42+(3-4k-3)2 =16(k2+1)
S△ABP= PB·AD=(4k+3)×4=2(4k+3)
∴
整理得k2-4k-2=0 解得k1 =2+ k2=2- 当点P在B 点下方时，
∵AP2=AD2+PD2 =42+(3-4k-3)2 =16(k2+1)
S△ABP= PB·AD=[-(4k+3)]×4=-2(4k+3)
化简，得k2+1=-（4k+3） 解得k=-2
综合以上所得，当k=2±或k=-2时，△AMN的面积等于 …10分
15、解：（1）设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点，
，， ，(，)
将(，)代入抛物线得，.
（2）解法一：过点作轴于点， 点的横坐标为， (1，)，
. 又 ，易知，又，
△∽△，
设点（，）（），则，，
，即点