新课程高中概率学习中主要的困惑与对策--毕业论文.doc

本科毕业论文题 目 新课程高中概率学习中主要的困惑与对策 以人教A版为例 学 院 理工学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2009 级 学 号 2009117044 姓 名 邓 菊 华 指 导 教 师 王 成 满 成 绩 年 月 日目 录摘要 1关键词1Abstract 1Key words 2问题的提出及研究意义21. 问题的提出32.研究意义及目的 4文献综述 4一、概率研究现状 4二、概念的界定4新课程中概率学习的主要困惑与解决对策一、学生的主要困惑 5（一）概念容易混淆的困惑5（二）公式难理解的困惑6（三）在高考和平时训练中的困惑7（四）利用概率知识解决实际生活中问题的困惑8二、解决对策 9（一） 对于容易混淆的概念的相应解决策略 9（二）对于难以理解的公式的相应策略10（三）争对高考和平时训练中学生存在困惑的相应解决对策 10（四）对于利用概率知识解决实际生活中问题的相应策略11根据研究结果对教师提出的教学建议 12参考文献14致谢 15西南大学育才学院2013届数学与应用数学专业本科毕业论文新课程高中概率学习中主要的困惑与策略以人教A版为例摘要：概率统计是研究随机现象统计规律的学科。我国近年来逐步将概率统计的内容列入中小学的教学内容中，并且不断增加相关内容。由于这一学科开展的时间较短，在理论上缺乏研究，在实践上缺乏经验，致使概率的教育研究相对滞后于教学，学生在接受概率知识时存在许多问题，如概率与频率的定义，互斥事件、对立事件、相互对立事件的区分等。为此，本文通过文献分析、课堂观察以及日常作业情况找出学生在高中概率学习中存在的主要困惑，并征对这些困惑提出了相关解决策略，同时为教师提出了一些有关概率知识的教学建议，以期为教师教学与培训、教材的修订提供一定的参考依据。调查结果显示，高中生在概率学习中主要存在如下困惑:1.学生在概率相关概念学习中的困惑，容易混淆概念；2.学生在概率相关公式学习中的困惑，对公式掌握困难；3. 学生在概率知识应用中的困惑，如做题时难以审清题意等；4. 学生在利用概率知识解决实际生活中问题的困惑，如难以将知识应用与实际等。从学生认知结构的角度出发，得出对策如下：1.从学生已有的生活经验引入概率定义，用学生身边的感兴趣的鲜活生动的问题情境作为教学素材，从集合的角度去认识概率有助于解释概念的本质属性及内在联系；2. 对于难以理解的公式，几何概型的教学可采取对比教学，让学生弄清它与古典概型的区别与联系；3. 增加练习强度，加强对重要知识点的理解；4. 实际问题通过分析联想抽象转化，构建数学问题，利用数学知识解决数学问题，从而得到数学问题的解答。关键词:概率 困惑 解决策略 高中Abstract: Probability and statistics to study the statistical laws of random phenomena disciplines. In recent years, China gradually probability statistics included in the primary and secondary teaching content and increasing. Because of this discipline to carry out the shorter, in theory, the lack of research, lack of experience in the practice, resulting in the probability of educational research is lagging behind in teaching students there are many problems in probability knowledge, such as the definition of the probability and frequency, mutual denounced the event, the opposite event, opposing the distinction between events. The survey results show that high school students there is confusion in the probability of learning:. In this paper, through literature analysis, classroom observation as well as the day-to-day operations to identify major confusion for students in high school probability learning and levy proposed to solve these puzzles strategy about probability knowledge for teachers teaching recommended to provide a reference for the teaching and training, textbook revision.The survey results show, mainly high school students in the probability learning puzzled as follows: 1. Confusion of the students in the probability concept learning, and confusing concept; 2 . the confusion of the students in the learning of probability related formula, the formula mastered difficult ;students confused, as do the questions difficult trial cleared the meaning of the questions in the application of probabilistic knowledge; 4 students confused probability knowledge to solve real-life problems, such as the difficulty of knowledge application and practical.Starting from the point of view of the students cognitive structure obtained countermeasures are as follows: 1. Introduction of probability defined life experiences from the students, with students around interested vivid problem situations as teaching material from the collection point to get to know probability help to explain the concept of the nature of property and internal relations; difficult to understand the formula geometric probability model of teaching can be taken to comparative teaching students to find out its differences and relations with Classical Type; 3. increase exercise intensity to strengthen the understanding of the important points; 4. practical problems by analyzing Lenovo abstract transformation construct mathematical problems using mathematical knowledge to solve mathematical problems, to get answers to mathematical problems.Key words: statistics， confused ，Solving strategy ，senior high school问题的提出和研究意义1. 问题的提出在自然界与人类的社会活动中会出现各种各样的现象，既有确定现象，也有随机现象。随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象的学科，他为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决方法。著名的数学家拉普拉斯说：“生活中最重要的问题，其绝大多数实质上是概率问题”，概率论“是生活真正对的领路人。如果没有概率的某种估计，我们寸步难移，无所作为”。或许上面的话看起来有些夸大，但随机现象在生活中随处可见。概率是研究随机现象规律科学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。描述确定性现象的数学有助于培养人们的确定性思维，而统计与概率可以给人们提供另一种有效而且非常适用的思维方式找出客观事物的统计规律性与随机现象的客观规律性。因此，统计与概率的知识已成为一个公民的必备常识。在我国的历史上，概率的内容曾经三次进入中学课程，但都未能进行有效的教学活动，而这次新课程改革中，明确的在义务教育数学课程标准以及高中数学课程标准中将概率列为必学内容，并且概率内容的教学横跨各个学段，但教育进入中小学的现状显示：教师的知识储备跟不上课程改革的步伐。对很多中学教师而言，大学学过概率统计的内容，对概率不太陌生，但是面对中学生这一群体，在中学的课堂讲授概率，缺乏相应的教学经验积累，同时也存在对概率一些概念的错误认识，学生在学习这部分内容时普遍感到难学。因此在学习新课程中概率的内容会存在很多的困惑，学生在学习中存在困惑是学习活动的必然现象，它必然引起学习的错误。困惑的产生必然有其内在的原因，因此对困惑种类的辨别、剖析和更正、在失败中吸取经验不教训，也应该成为教育和学习过程中一个不可忽视的，甚至不可代替的方面。但如果这些困难不及时解决，可能会使概率部分知识的发展速度缓慢，教师不能很好地进行教学，学生也不能很好地掌握等。了解学生在概率方面可能存在的困惑及解决策略，有助于教师制定恰当的教学策略和合理安排教学时间，有助于学生对概率知识的学习与掌握，进而为教师的有效教学提供参考依据。所以这项研究是必要的。2.研究的目的及意义我们国家刚刚在新课程中引进了概率的内容，其相应的教学研究工作还未能及时跟上，教材的多样化为我们的教学提供多种教学参考的同时也需要我们对概率教学及学生的概率学习进行合理的研究，而基于心理学研究基础对学生认知的研究工作则更多是参考国外的研究结论。因此为了更好地组织概率内容的教学，丰富这一领域的研究成果，结合新课程中概率教学的现状以及现有概率研究成果，选择了本研究课题。研究新课程标准中概率学习存在的主要困惑与解决策略，有助于学生的学习和教师的教学工作顺利进行。对新课程中概率学习存在的主要困惑和解决对策的研究，有助于教师制定恰当的教学策略和合理安排教学时间，同时希望能为新课程的推广，实施以及一些前线教师提供可参考的有价值的建议，并为学生学习概率部分的知识提供一些指导。文献综述一概率研究现状我国过去的概率统计在中小学一直没有得到足够的重视，教学相对落后，对概率统计的研究也较少，随着新课程的进行，对概率统计的教学要逐渐提高，各类考试对这部分内容考查的力度加大，人们对这部分的研究越来越深，越来越重视，从对教学指导性文件的研究到对教材的研究，并且对教学实践的研究日益引起人们的注意。通过收集文献发现，尽管国内关于概率这一块的研究逐渐多起来，但大部分都停留在概率教学和课程设置方面，如西北师范大学罗海的教育硕士学位论文“大纲和标准下的高中概率统计教材比较研究”，首都师范大学尹明霞的教育硕士学位论文“高中数学新课程概率教学研究” 北京农学院学报第6卷第1期中的“讲授概率定义时应注意的几个问题”等。虽然已有部分对具体的学生学习的研究，如2012年第5期的统计科学与实践中的“浅谈人们的概率统计问题”，但成文的研究很少。，尤其是在高中生概率学习困惑及解决策略方面。并且对概率统计学习的研究结论比较分散，缺乏系统性的研究。二概念的界定“困惑”，一词在现代汉语词典中：解释为“感觉疑难，不知道该怎么办”。本文所说的“新课程概率学习中主要的困惑”指在在新课程概率学习中学生感觉困难和疑难或不知怎么办的问题。“策略”一词原指大规模军事行动的计划和指挥，在一般意义上，指为达到某种目的使用的手段或方法。在教育学中常与方法、步骤同义。这里的“解决策略”是指通过分析产生困惑的原因，进而寻求解决新课程概率学习中出现的问题或困难的方法手段。新课程概率学习中主要的困惑与对策一、学生的主要困惑：（一）概念容易混淆的困惑。学生在学习概率这部分知识，通常对概念的涵义理解不清以致混淆概念。概率这部分容易混淆概念主要有以下几点：必然事件、不可能事件及不确定事件，频率和概率概念混淆。1、对必然事件、不可能事件及不确定事的困惑。对必然事件、不可能事件及不确定事件理解不透，如判断以下两个事件（1）“明天太阳从西边升起;”(2)“纸放到火上不被点燃”。 很多学生很容易把（1）、（2）错解为不确定事件，他们认为（1）、（2）两事件都属于不可能事件，因此为不确定事件，事实上不可能事件指该事件一定不发生，不可能事件属于确定事件，而不确定事件是指有可能发生，也有可能不发生的事件。解答此类题时很容易把“不可能”与“不确定”区分不清，从而产生困惑。频率和概率概念的混淆，如要判断“某彩票的中奖率是0.03，所以100张一定会有3张中奖”的说法是否正确时，很多同学常常把频率等同于概率，因此判断此说法是正确的。因为彩票的中奖概率是0.03，所以100张一定有3张中奖，但实际上，这一判断是错误的，错解认为概率是一定的，事件就是必然的。实际上此事件是不确定的，因为，买100张彩票有3张中奖是随机事件，不是必然事件。因此，解答此类问题时，一定要理解概率的定义。实际上，“必然事件”是指一定要发生的事件；“不可能事件”是指该事件一定不发生；“不确定事件”是指事件有可能发生，也有可能不发生。事件A发生的频率，A发生的概率=频率的稳定值。2. 互斥事件、对立事件及相互独立事件概念混淆的困惑。 学生容易将对互斥事件、对立事件及相互独立事件概念混淆，如在问题中遇到含互斥事件、相互独立事件时，有些同学把同时发生的事件当成互斥事件来考虑，如例：甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次两人恰好命中两次的概率是多少？学生将两人都恰好中两次理解为“甲恰好中两次”与“乙恰好中两次”的和。因此解为设“甲恰好中两次”为事件A，“ 乙恰好中两次”为事件B，则两人恰好投中两次为事件A+B，则 P（A+B）=0.80.2+0.70.3=0.825，而实际上本题应该为“相互独立事件同时发生的概率” 设“甲恰好中两次”为事件A，“ 乙恰好中两次”为事件B，且A,B相互独立，则两人恰好投中两次为事件AB，因此P(AB)= 0.80.20.70.30.169。同样在问题中遇到含互斥事件、对立事件时，学生很容易把互斥事件与对立事件等价，如:掷一颗骸子，其样本空间为=1, 2 ,3 ,4，5，6，若令A为出现1点的事件：A=1,B为出现5点的事件:B=5,学生常常把事件A,B当做是对立的，实际上这两个事件是互斥的，但却不对立，因为1+5。3. 分析推测事件发生的可能性的大小的困惑。事件发生的不确定性和可能性在学生生活和经验积累中有所感受，但往往是感性的、模糊的、无意识的，在概率学习中学生对大概率事件与小概率事件的含义模糊。很多同学常常把大概率事件理解为一定要发生的事件，而小概率事件理解为不会发生的事件。其正确理解为：大概率事件不是一定要发生的事件，小概率事件不是不会发生的事件，只是大概率事件发生的可能性很大而小概率事件发生的可能性很小。（二）公式难以理解的困惑概率这部分基本的公式较多，有些公式的意义学生很难理解，以致在做题过程中记错公式，混用公式，概率一章包括四个基本公式，两个推广公式。其中互斥事件概率加法公式，对立事件概率和公式，相互独立事件乘法公式、古典概型与几何概型为教学的重难点。1. 概率的加法公式应用的困惑。部分学生对概率加法公式容易误用，如：设事件A和B及AB的概率分别为0.4,0.3,0.1，求事件A与B至少有一个发生的概率，很多同学在思考此问题时会误以为A与B至少有一个发生就是说A发生或B发生因此其概率P(AB)=P(A)+P(B)=0.4+0.3=0.7，但实际上这个解答是错误的，因为事件A和B不是互斥事件，他们可能会同时发生，这样就多加了一次他们同时发生时的概率，正确解答应该是P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 0.4+0.3-0.1=0.6。2. 对古典概型与几何概型公式的困惑。对古典概型与几何概型的区分理解，很多同学在利用概率解决问题时常常把公式用错或混用（该用几何概型用成古典概型，而该用古典概型的又用了几何概型）或者不知怎么利用古典概型和几何概型的公式。这就是对其公式应用理解的问题，因为对公式没有理解，所以容易记错或者记混公式，以致公式的错误应用。（三）在高考和学生平时训练中的困惑在高中数学的教学内容中，概率统计问题是新教材中新开辟的知识领域，在近两年的高考中占有不小的比重。经总结主要存在以下困惑：1. 在审题时存在的困惑 由于问题陈述中有一定的复杂性，导致学生对题目的理解错误，未能识别题目的基本特征，抓住解决问题的切入点，是学生学习本章内容普遍存在的问题。如: 例1甲、乙两个排球队进行比赛，已知每局甲获胜的概率为0.6,比赛采用五局三胜制.（1）在前两局中乙队以2:0领先的条件下,求甲、乙各自获胜的概率；（2）求甲队获胜的概率。 在遇到这类问题时，学生很容易将第一问中前两局乙队以2：0领先，误认为前两局乙胜的概率为0.42，而错解为甲获胜的概率为0.420.63。2. 正确理解求等可能事件概率的“等可能性”的困惑学生无法正确理解等可能事件的概率的意义，加上排列组合知识迁移比较困难，造成困惑。如：例2，已知8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将这8支球队分为A,B两组，每组4支。求（1）A,B两组中有一组恰有两支弱队的概率；（2）A组中至少有两支弱队的概。学生在分析此题第（1）问概率P等于多少时，部分学生对要不要乘2表示疑惑，争论不休，不少学生将排列组合中的“平均分堆”的想法带入到本体的解法中，从而将问题复杂化。3. 解决相似问题中存在的困惑1）不放回抽样、放回抽样的困惑。学生在遇到关于放回与不放回抽样问题时，将放回与不放回抽取每件产品每次被抽到的概率，相等与不相等弄混淆，如例3，若某批产品中有m件次品，n件正品，（1）采取不放回抽样方式；（2）采取有放回抽样方式，从中抽取t件产品（tm + n）。问正好有k件次品的概率分别是多少？对于(1)有些同学会把每次抽取次品的概率误认为是而错解，实际正确解答却应为:解：（1）从m + n件产品中抽取出t件产品的所有基本事件的个数为，恰有k件次品对应事件个数为，有等可能性事件概率公式有P=(2)有放回抽样时，每件次品抽到的概率均为，抽到的次品数为独立重复实验事件，由其概率公式得其概率为P=（）（）2)如何确定随机变量服从二项分布或几何分布的困惑 例4 某植物种子在一定条件下发芽成功的概率为1/2，一研究小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），若一次实验种子发芽成功就停止实验，否则将继续下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求此组所做种子发芽实验次数的概率分布列和期望。 很多学生未能掌握几何分布中试验次数n的取值为1,2,3与此题的不超过5次是有不同的，因此在做此题时，往往认为服从几何分布，因而P（=5）=1/25 . 例5从分别写有1,2,3,4,5,6,7,8,9的九张卡片中,任意抽取两张,当两张卡片上的数字之和能被3整除时,就说这次试验成功.求在15次试验中成功次数的数学期望. 由于此题综合了求等可能性事件概率和发现B（n，p），E=np来解，不少学生做此题时未能及时发现每次试验成功的概率相等，服从二项分布造成解题烦琐。 （四）利用概率知识解决实际生活中问题的困惑数学源于生活，寓于现实，用于现实，应用数学知识改造客观世界是数学教学的出发点，学数学要引进相关的生活问题，学用结合，学以致用，培养学生的数学意识和能力。概率问题在生活中极为普遍，但怎样利用概率知识解决现实生活的的相关问题成为了学生的一大困惑。1. 在实际应用中，遇到讨论情况较多的问题，学生常会因复杂而产生困惑。如例6某单位10个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.4相互独立）。求：至少有3人同时上网的概率？很多学生在遇到此问题时看到至少有3人，就迷糊了，他们想到共有10人，至少又人的话，就会讨论有3人，有4人，有5人，有10人的情况要讨论8次，非常复杂，在计算过程中也很容易由于考虑遗漏而出现错误。2. 几何概型在实际生活中的应用（如会面问题），学生常常因为样本空间是无限的而束手无策，如例7：两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去求两人会面的概率。学生平时见到的大多数是样本数是有限的问题，在遇到此类样本空间是无限的问题时难以找到切入点，对解此类问题无从下手。3. 大概率于小概率事件在生活中的应用，很多学生经常误认为大概率事件是一定要发生的事件，而小概率事件理解为不会发生的事件。如例8： 某地区牛患某种病的概率为0.25，且每头牛患病与否是彼此独立的，今研制一种预防药，任选12头牛做实验，结果这12头牛服用这种药后均为患病，问此药是否有效？很多学生容易误解成因为服用这种药的牛都未患病，所以此药有效。而事实有时却不是，这对学生的学习很可能造成困惑。二、解决策略：（一） 对于容易混淆的概念的相关解决策略从学生已有的生活经验引入概率定义。概率统计是研究随机现象统计规律的学科，因为学生对定义理解困难，所以从学生熟悉的生活经验引入定义学生更容易掌握。如课本中讲概率定义时，通过学生生活中感兴趣的实验“抛硬币实验” 不惜时间让学生亲身经历，引导学生自己总结、分析，试着用自己的语言表述，说明“频率”与“概率”的关系，进而引入概率的定义。这样引出新概念容易被学生原认知结构所同化。对于互斥、对立、相互独立事件，可以引导学生用表示集合的一种方法Venn图来表示事件之间的关系，这样可以加深对各种事件的区分理解。 采用数形结合的方法，把他们分别看成数的集合与点的集合，这样从集合的角度去认识概率有助于解释概念的本质属性及内在联系。有针对性的提供一些带有情感色彩的问题，让学生在交流、讨论甚至争议中澄清认识，体验客观事件发生的可能性与个人的愿望无关。对于互斥事件对立事件及相互独立事件，我们首先要明确其定义，再找出它们的区别与联系，从而区分理解记忆才能更好地掌握。A和B互斥是指A和B不能同时发生，是相对同一次试验来说的，即是在同一次试验中的概念；A和B对立是指若事件A发生则B一定不发生，若事件A不发生则事件B一定发生；A、B相互独立是指无论A发生与否，B发生的概率都相同，即事件A（或B）是否发生对事件B(或A)发生没有影响，相互独立事件是对两次不同的试验来说的，是指两次不同试验下的两个事件的概率互不影响。由此可见，在相同条件下重复进行 某种实验时，他们都是独立的。两个事件互斥只表明只表明这两个事件不同时发生，及至多只能发生一个，但可以不发生，而对立事件对立则表明他们有且只有一个发生。互斥事件与相互独立事件的区别在于：互斥是在同一事件下，相互独立时在不同时间下，一般情况下，相互独立与互斥不能同时存在，若A,B中有一个概率为灵，则A与B相互独立与互斥同时存在。相互独立事件同时发生的事件为AB，要用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)计算。而互斥事件是不能同时发生的。（二）对于难以理解的公式的相关解决策略对于概率的加法公式，对任意两个事件A、B有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),只有 当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；学生很容易误认为对任何两个事件A、B有P(AB)= P(A)+ P(B)。如运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由随机事件的概率公式分别求它们的概率，然后计算。我们可以引导学生用画Venn图来表示，分析两个事件的关系，如两个事件互斥那么Venn 图中就无公共部分,否则就不一定。若有公共部分，则用公式P(AB)= P(A)+ P(B)就多加了一次A、B的公共部分，即需减去多加的部分，因此要用公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)。这样有助于学生对概率加法公式的了解与掌握。对于几何概型与古典概型可采取对比的方法，弄清他们之间的区别与联系。（1）从它们的特征来对比，典概型有两个特征：样本空间是有限的；各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同。而几何概型其样本空间是一个包含无限个点的区域，样本点是区域中的一个点，样本点落在这两区域上的概率相等，而与形状和位置都无关”。 （2）从它们的定义来对比，古典概型：设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)定义为 ，而几何概型：若记事件A=任取一个样本点，它落在区域g，则A的概率定义为P(A)=，这样定义的概率称为几何概率。（三）争对高考和平时训练中学生存在困惑的相应解决对策:可以增加练习强度，加强对重要知识点的理解，使学生巩固深化的概率知识。具体分析如下：1在求对立事件、互斥事件、独立事件的概率审题时应重视：1） 简化意识：如第（1）问求乙胜的概率时，考虑到无平局的情况，利用了“甲胜与乙胜为对立事件”使问题简化； （2） 转化意识：如第（2）问将“甲胜”转化为甲胜乙的比为3：0，3：1或3：注意每种情况下最后一局应甲胜而结束，进而再利用独立事件或互斥事件概率公式计算； （3） 归纳意识：善于归纳解题方法，求较复杂概率问题时，通常有两种方法，一是求此事件的对立事件的概率，二是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，再利用概率加法公式求其值。2.对于理解求等可能性事件概率的“等可能性”：(1)学会将此类问题归结于等可能事件的概率问题；（2）学会从不同的背景材料中抽象出两个问题（）一个基本事件所对应的具体的意义；（）弄清所有基本事件的个数n和事件A包含的基本事件的个数m，从而P=n/m。3.（1）对于有放回和无放回困惑，学生不仅要抓住两种抽样的关键特征：每件产品每次被抽到的概率，对不放回抽样方式是不等的，对放回抽样方式是相等的，而且懂得如何正确判断出所求事件的概率属于等可能事件、独立重复试验、互斥事件发生一个的概率的哪种类型，又能准确综合运用上述三种概率的求法。 （2）对于二项分布和几何分布的确定，要深刻理解服从二项分布、几何分布的随机变量的特征，实行“对号入座”； 进行适度地训练，巩固和加强记忆。 如例5，造成错误的原因是未能掌握几何分布中,实验次数n的取值为1,2,3与此题的不超过5次是有不同的.故此题中看似服从几何分布,但实际上是有区别的. （四）对于利用概率知识解决实际生活中问题的相应策略这一部分可以让学生建立有效的学习讨论小组，将实际问题通过分析联想抽象转化，构建数学问题，利用数学知识解决数学问题，从而得到数学问题的解答。培养学生的发散思维，和解决问题的能力。1. 当分类讨论较多时，计算事件的概率较复杂时，可转而先求对立事件的概率，然而很多同学却由于思维定势，想不到从事物的反面出发，利用对立事件解决问题，其中，找对立事件也是一难点。对于找对立事件可以让学生理解；至少与至多多的意义，并且理解记忆：(1)事件发生”的对立事件为“至多有m-1个事件发生”(2)m个事件发生” 的对立事件为“至少m+1个事件发生”如例，若设“10人至少有3人上网的事件”为A，计算P(A)可以先计算出其对立事件“10个人最多有2个人上网”，即没有一人上网或只有一个人上网或有两个人上网的情况。P(A)=1- P（）=1-（0.6+0.4*0.6+0.4*0.6）2. 会面问题如例7可以这样解决：首先分析；因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数（甲乙两人各自到达的时刻）组成以7点钟作为计算时间的起点，设甲乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为 :(x,y) | 0x60,0y60,画成图为一正方形会面的充要条件是|xy| 20，即事件A=可以会面所对应的区域是图中的阴影线部分 P（A）=3对大概率与小概率事件，要了解大概率与小概率事件的含义，掌握大概率、小概率事件与必然事件、不可能事件的区别与联系。如例8，先剖析： 由于患病的牛只占25%左右，这12头牛都为患病，未必是此药的作用，分析这个问题的自然想法是：若药无效，随机抽取出12头牛都不患病的可能性有多大，若这件事发生的概率很小，几乎不会发生，那么现在这事儿头牛都为患病，应该是此药的效果，即药有效。先假设药无效，由于每头牛患病与否是彼此独立的，故12头牛都不患病的概率为 (0)=(1-0，25)0.032这个概率很小，该事件几乎不会发生，但现在已确实发生了，故药是有效的，但这个结论有3.2%的可能性是错误的。研究的结论与对教师概率部分的教学提出的建议1. 注重随机观念的渗透。随机事件在现实世界中是普遍存在的，教师应该努力培养学生的随机观念，并让学生知道，研究随机事件掌握其规律进而利用其规律是有实际意义的。概率就是研究和揭示随机现象统计规律的数学工具。教师应举出大量事件，让学生判断，这些事件是确定性事件还是随机事件。教师应该注意，所举的事例一定要在学生的知识范围和生活经验之内。2. 通过实验认识件随机现象感受其发生的可能性大小，形成概率意，在教学中要提供丰富的生活实例，尽量让学生亲自去体验和感受这些不确定的现象，主观感受和认识到这些随机现象的不确定性及其发生的可能性大小及规律可循。带着这些问题去研究频率和概率的关系，形成概率意识。在教学过程中，注意让学生在具体情境下体会概率的意义，例如可以引导学生讨论明天下雨的概率为75%的涵义，让学生知道研究随机现象并不能知道事件是否发生这样一个结果，但我们知道他发生的可能性，75%并不是告诉我们一个结果：明天下雨，而下雨的可能性比较大虽然有可能不下雨，但显然带伞是非常明智的选择。在这一部分过程中尽量消除学生“语言结果”的倾向。3. 课堂教学应把主要精力用于将最基础的东西讲深、讲透。不可否认，教材上的知识都很重要，但其程度是不等同的，教学时需张驰有度。教学时应把最基本的规律向学生讲清楚，过多的内容补充不仅使教学内容繁琐，而且还增加了学生记忆的负担，脱离实际的拔高会伤害学生的自信心。4. 扩散学生的思维，采用多种途径解决问题。无论是哪一部分内容的教学，一些教师在讲授和复习时总是喜欢按照自己的思维方式将题目进行分类并总结出各个类型问题的解法，以致学生的思维僵化、缺乏创造力。在概率教学中我们应尽量利用一题多解来培养学生的求异思维，提高学生概率的求解能力。5. 重视知识的发生过程，淡化纯理论和学生难以接受的东西，各单元在引入知识到形成结论上都有一个共同点，即从生活实例或是学生已有的经验、知识出发，经过简单抽象、概括，再得到一般性的结论。这样做的目的是显而易见的，即尽量克服因追求纯理论上的严密性而使数学显得抽象和枯燥，甚至使学生望而生畏。因此，教学的重点应放在知识形成的思维过程上，通过问题提出的思维过程，把知识的发生、形成、探索过程复现出来，作为学生对知识作深层次的理解和思维方法的借鉴。降低纯理论的难度，转向思想方法的渗透，研究方法的积累，切实搞好基础知识的教学，基本技能的训练和能力的培养。6采用丰富多彩的概率应用题，引导学生展开课题研究，增强学生应用概率解决问题的意识和能力。概率在现实生活中的应用还是很广泛的，比如医学、体彩、摸彩、游戏、金融保险等生活实际或生产实际等各方面。因此，尽管课本中并没有提出研究性的课题，但还是可以结合具体的生活背景组织学生展开课题研究。7. 在教学过程中一定要突出概率与统计的实用性和趣味性，并能及时调整教学实例，综合运用多种手段来授课。增添的新内容使得教材更加贴近生活，使数学和生活融为一体