大学物理习题及解答(第三版-北京邮电大学出版社).doc

大学物理习题及解答（第三版 北京邮电大学出版社）
习题二
2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为的物体，另一边穿在质量为的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度下滑，求，相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．
解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为，其对于则为牵连加速度，又知对绳子的相对加速度为，故对地加速度，由图(b)可知，为
①
又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力在数值上等于绳的张力，由牛顿定律，有
②
③
联立①、②、③式，得

讨论 (1)若，则表示柱体与绳之间无相对滑动．
(2)若，则，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时, 均作自由落体运动．

题2-1图
2-2 一个质量为的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平线平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
解: 物体置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐标：取方向为轴，平行斜面与轴垂直方向为轴.如图2-2.

题2-2图
方向： ①
方向： ②
时

由①、②式消去，得

2-3 质量为16 kg 的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为＝6 N，＝-7 N，当＝0时，0，＝-2 m·s-1，＝0．求
当＝2 s时质点的 (1)位矢；(2)速度．
解：

(1)

于是质点在时的速度

(2)

2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力(为常数)作用，=0时质点的速度为，证明(1) 时刻的速度为＝；(2) 由0到的时间内经过的距离为
＝()［1-］；(3)停止运动前经过的距离为；(4)证明当时速度减至的，式中m为质点的质量．
答: (1)∵
分离变量，得

即

∴
(2)
(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，
故有
(4)当t=时，其速度为

即速度减至的.
2-5 升降机内有两物体，质量分别为，，且＝2．用细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速＝g上升时，求：(1) 和相对升降机的加速度．(2)在地面上观察，的加速度各为多少?
解: 分别以,为研究对象，其受力图如图(b)所示．
(1)设相对滑轮(即升降机)的加速度为，则对地加速度；因绳不可伸长，故对滑轮的加速度亦为，又在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以在水平方向对地加速度亦为，由牛顿定律，有

题2-5图
联立，解得方向向下
(2) 对地加速度为
方向向上
在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即
∴
，左偏上．
2-6一质量为的质点以与地的仰角=30°的初速从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量．
解: 依题意作出示意图如题2-6图

题2-6图
在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,
而抛物线具有对轴对称性，故末速度与轴夹角亦为，则动量的增量为

由矢量图知，动量增量大小为，方向竖直向下．
2-7 一质量为的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒?
解: 由题知，小球落地时间为．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为，小球上跳速度的大小亦为．设向上为轴正向，则动量的增量
方向竖直向上，
大小
碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．
2-8 作用在质量为10 kg的物体上的力为N，式中的单位是s，(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度m·s-1的物体,回答这两个问题．
解: (1)若物体原来静止，则
,沿轴正向，

若物体原来具有初速，则
于是
,
同理， ,
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．
(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即

亦即
解得，(舍去)
2-9 一质量为的质点在平面上运动，其位置矢量为

求质点的动量及＝0 到时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量．
解: 质点的动量为

将和分别代入上式，得
,,
则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为

2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =()N(为常数)，其中以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．
解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
,得
(2)子弹所受的冲量

将代入，得

(3)由动量定理可求得子弹的质量

2-11 一炮弹质量为，以速率飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为，且一块的质量为另一块质量的倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为
+, -
证明: 设一块为，则另一块为，
及
于是得 ①
又设的速度为, 的速度为，则有
②
③
联立①、③解得
④
将④代入②，并整理得

于是有
将其代入④式，有

又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取

证毕．
2-12 设．(1) 当一质点从原点运动到时，求所作的功．(2)如果质点到处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．
解: (1)由题知，为恒力，
∴

(2)
(3)由动能定理，
2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．
解: 以木板上界面为坐标原点，向内为坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为

题2-13图

第一锤外力的功为
①
式中是铁锤作用于钉上的力，是木板作用于钉上的力，在时，．
设第二锤外力的功为，则同理，有
②
由题意，有
③
即
所以，
于是钉子第二次能进入的深度为

2-14 设已知一质点(质量为)在其保守力场中位矢为点的势能为, 试求质点所受保守力的大小和方向．
解:
方向与位矢的方向相反，即指向力心．
2-15 一根劲度系数为的轻弹簧的下端，挂一根劲度系数为的轻弹簧，的下端
一重物，的质量为，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势
能之比．
解: 弹簧及重物受力如题2-15图所示平衡时，有

题2-15图

又

所以静止时两弹簧伸长量之比为

弹性势能之比为

2-16 (1)试计算月球和地球对物体的引力相抵消的一点，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×1024kg，地球中心到月球中心的距离3.84×108m，月球质量7.35×1022kg，月球半径1.74×106m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在点的势能为多少?
解: (1)设在距月球中心为处，由万有引力定律，有

经整理，得

=

则点处至月球表面的距离为

(2)质量为的物体在点的引力势能为

2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为和的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为，自然长度等于水平距离，与桌面间的摩擦系数为，最初静止于点，＝＝，绳已拉直，现令滑块落下,求它下落到处时的速率．
解: 取点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有

式中为弹簧在点时比原长的伸长量，则

联立上述两式，得

题2-17图
2-18 如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初速度＝3m·s-1从斜面点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．
解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原
长处为弹性势能零点。则由功能原理，有

式中，，再代入有关数据，解得

题2-18图
再次运用功能原理，求木块弹回的高度

代入有关数据，得 ,
则木块弹回高度

题2-19图
2-19 质量为的大木块具有半径为的四分之一弧形槽，如题2-19图所示．质量为的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．
解: 从上下滑的过程中，机械能守恒，以，，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有

又下滑过程，动量守恒，以,为系统则在脱离瞬间，水平方向有

联立，以上两式，得

2-20 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直．
证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有

即 ①

题2-20图(a) 题2-20图(b)
又碰撞过程中，动量守恒，即有

亦即 ②
由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以为斜边，故知与是互相垂直的．
2-21 一质量为的质点位于()处，速度为, 质点受到一个沿负方向的力的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩．
解: 由题知，质点的位矢为

作用在质点上的力为

所以，质点对原点的角动量为

作用在质点上的力的力矩为

2-22 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为＝8.75×1010m 时的速率是＝5.46×104m·s-1，它离太阳最远时的速率是＝9.08×102m·s-1这时它离太阳的距离多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)
解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有

∴
2-23 物体质量为3kg，=0时位于, ，如一恒力作用在物体上,求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对轴角动量的变化．
解: (1)
(2)解(一)

即 ,

即 ,
∴

∴
解(二) ∵
∴

题2-24图
2-24 平板中央开一小孔，质量为的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为时重物达到平衡．今在的下方再挂一质量为的物体，如题2-24图．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度和半径为多少?
解: 在只挂重物时，小球作圆周运动的向心力为，即
①
挂上后，则有
②
重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．
即
③
联立①、②、③得

2-25 飞轮的质量＝60kg，半径＝0.25m，绕其水平中心轴转动，转速为900rev·min-1．现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力，可使飞轮减速．已知闸杆的尺寸如题2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．试求：
(1)设＝100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转?
(2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力?
解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))．图中、是正压力，、是摩擦力，和是杆在点转轴处所受支承力，是轮的重力，是轮在轴处所受支承力．

题2-25图（a）

题2-25图(b)
杆处于静止状态，所以对点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有

对飞轮，按转动定律有，式中负号表示与角速度方向相反．
∵
∴
又∵
∴ ①
以等代入上式，得

由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为

这段时间内飞轮的角位移为

可知在这段时间里，飞轮转了转．
(2)，要求飞轮转速在内减少一半，可知

用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为

2-26 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴转动．设大小圆柱体的半径分别为和，质量分别为和．绕在两柱体上的细绳分别与物体和相连，和则挂在圆柱体的两侧，如题2-26图所示．设＝0.20m, ＝0.10m，＝4 kg，＝10 kg，＝＝2 kg，且开始时，离地均为＝2m．求：
(1)柱体转动时的角加速度；
(2)两侧细绳的张力．
解: 设,和β分别为,和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b)．

题2-26(a)图 题2-26(b)图
(1) ,和柱体的运动方程如下：
①
②
③
式中
而
由上式求得

(2)由①式

由②式

2-27 计算题2-27图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为，半径为，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设＝50kg，＝200 kg,M＝15 kg, ＝0.1 m
解: 分别以,滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对,运用牛顿定律，有
①
②
对滑轮运用转动定律，有
③
又， ④
联立以上4个方程，得

题2-27(a)图 题2-27(b)图

题2-28图
2-28 如题2-28图所示，一匀质细杆质量为，长为，可绕过一端的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求：
(1)初始时刻的角加速度；
(2)杆转过角时的角速度.
解: (1)由转动定律，有

∴
(2)由机械能守恒定律，有

∴

题2-29图
2-29 如题2-29图所示，质量为，长为的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上．现有一质量为的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度30°处．
(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速的值；
(2)相撞时小球受到多大的冲量?
解: (1)设小球的初速度为，棒经小球碰撞后得到的初角速度为，而小球的速度变为，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：
①
②
上两式中，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度，按机械能守恒定律可列式：
③
由③式得

由①式
④
由②式
⑤
所以

求得

(2)相碰时小球受到的冲量为

由①式求得

负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．

题2-30图
2-30 一个质量为M、半径为并以角速度转动着的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为的碎片从轮的边缘上飞出，见题2-30图．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．
(1)问它能升高多少?
(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能．
解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度

设碎片上升高度时的速度为，则有

令，可求出上升最大高度为

(2)圆盘的转动惯量，碎片抛出后圆盘的转动惯量，碎片脱离前，盘的角动量为，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即

式中为破盘的角速度．于是

得(角速度不变)
圆盘余下部分的角动量为

转动动能为

题2-31图

2-31 一质量为、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动．另一质量为的子弹以速度射入轮缘(如题2-31图所示方向)．
(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?
(2)用,和表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比．
解: (1)射入的过程对轴的角动量守恒

∴
(2)
2-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N·m-1；定滑轮的转动惯量是0.5kg·m2，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长．
解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有

又
故有

题2-32图 题2-33图
2-33 空心圆环可绕竖直轴自由转动，如题2-33图所示，其转动惯量为，环半径为，初始角速度为．质量为的小球，原来静置于点，由于微小的干扰，小球向下滑动．设圆环内壁是光滑的，问小球滑到点与点时，小球相对于环的速率各为多少?
解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至点时，有
①
该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为，以点为重力势能零点，则有
②
联立①、②两式，得

(2)当小球滑至点时，∵ ∴
故由机械能守恒，有

∴
请读者求出上述两种情况下，小球对地速度．
习题八

8-1 电量都是 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解: 如题8-1图示
(1) 以 处点电荷为研究对象，由力平衡知： 为负电荷

解得
(2)与三角形边长无关．
题8-1图 题8-2图

8-2 两小球的质量都是 ，都用长为 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2 ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．
解: 如题8-2图示

解得
8-3 根据点电荷场强公式 ，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?
解: 仅对点电荷成立，当 时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．
8-4 在真空中有 ， 两平行板，相对距离为 ，板面积为 ，其带电量分别为+ 和- ．则这两板之间有相互作用力 ，有人说 = ,又有人说，因为 = , ，所以 = ．试问这两种说法对吗?为什么? 到底应等于多少?
解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为 ，另一板受它的作用力 ，这是两板间相互作用的电场力．
8-5 一电偶极子的电矩为 ，场点到偶极子中心O点的距离为 ,矢量 与 的夹角为 ,(见题8-5图)，且 ．试证P点的场强 在 方向上的分量 和垂直于 的分量 分别为
= , =
证: 如题8-5所示，将 分解为与 平行的分量 和垂直于 的分量 ．
∵
∴ 场点 在 方向场强分量

垂直于 方向，即 方向场强分量

题8-5图 题8-6图
8-6 长 =15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度 =5.0x10-9C•m-1的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B端相距 =5.0cm处 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距 =5.0cm 处 点的场强．
解： 如题8-6图所示
(1)在带电直线上取线元 ，其上电量 在 点产生场强为

用 ， , 代入得
方向水平向右
(2)同理 方向如题8-6图所示
由于对称性 ，即 只有 分量，
∵

以 , , 代入得
，方向沿 轴正向
8-7 一个半径为 的均匀带电半圆环，电荷线密度为 ,求环心处 点的场强．
解: 如8-7图在圆上取

题8-7图
，它在 点产生场强大小为
方向沿半径向外
则

积分

∴ ，方向沿 轴正向．
8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为 ，总电量为 ．(1)求这正方形轴线上离中心为 处的场强 ；(2)证明：在 处，它相当于点电荷 产生的场强 ．
解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷 在 点产生物强 方向如图，大小为

∵

∴
在垂直于平面上的分量
∴

题8-8图
由于对称性， 点场强沿 方向，大小为

∵
∴ 方向沿
8-9 (1)点电荷 位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷 的电场中取半径为R的圆平面． 在该平面轴线上的 点处，求：通过圆平面的电通量．( )
解: (1)由高斯定理
立方体六个面，当 在立方体中心时，每个面上电通量相等
∴ 各面电通量 ．
(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长 的立方体，使 处于边长 的立方体中心，则边长 的正方形上电通量
对于边长 的正方形，如果它不包含 所在的顶点，则 ，
如果它包含 所在顶点则 ．
如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图

题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图
(3)∵通过半径为 的圆平面的电通量等于通过半径为 的球冠面的电通量，球冠面积*

∴ [ ]
*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图

8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2× C•m-3求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强．
解: 高斯定理 ,
当 时， ,
时，
∴ ， 方向沿半径向外．
cm时,
∴ 沿半径向外.
8-11 半径为 和 ( ＞ )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量 和- ,试求:(1) ＜ ；(2) ＜ ＜ ；(3) ＞ 处各点的场强．
解: 高斯定理
取同轴圆柱形高斯面，侧面积
则
对(1)
(2)
∴ 沿径向向外
(3)
∴

题8-12图
8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为 和 ，试求空间各处场强．
解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为 与 ，
两面间，
面外，
面外，
：垂直于两平面由 面指为 面．
8-13 半径为 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ,若在球内挖去一块半径为 ＜ 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心 与 点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．
解: 将此带电体看作带正电 的均匀球与带电 的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．
(1) 球在 点产生电场 ，
球在 点产生电场
∴ 点电场 ；
(2) 在 产生电场
球在 产生电场
∴ 点电场

题8-13图(a) 题8-13图(b)
(3)设空腔任一点 相对 的位矢为 ，相对 点位矢为 (如题8-13(b)图)
则 ，
,
∴
∴腔内场强是均匀的．
8-14 一电偶极子由 =1.0×10-6C的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×105N•C-1的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩．
解: ∵ 电偶极子 在外场 中受力矩

∴ 代入数字

8-15 两点电荷 =1.5×10-8C， =3.0×10-8C，相距 =42cm，要把它们之间的距离变为 =25cm，需作多少功?
解:

外力需作的功

题8-16图
8-16 如题8-16图所示，在 ， 两点处放有电量分别为+ ,- 的点电荷， 间距离为2 ，现将另一正试验点电荷 从 点经过半圆弧移到 点，求移动过程中电场力作的功．
解: 如题8-16图示

∴
8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于 ．试求环中心 点处的场强和电势．
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性， 和 段电荷在 点产生的场强互相抵消，取
则 产生 点 如图，由于对称性， 点场强沿 轴负方向

题8-17图

［ ］

(2) 电荷在 点产生电势，以

同理 产生
半圆环产生
∴
8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m•s-1的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量 =9.1×10-31kg，电子电量 =1.60×10-19C)
解: 设均匀带电直线电荷密度为 ，在电子轨道处场强

电子受力大小
∴
得
8-19 空气可以承受的场强的最大值为 =30kV•cm-1，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为 =0.5cm，求此电容器可承受的最高电压．
解: 平行板电容器内部近似为均匀电场
∴
8-20 根据场强 与电势 的关系 ，求下列电场的场强：(1)点电荷 的电场；(2)总电量为 ，半径为 的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子 的 处(见题8-20图)．
解: (1)点电荷 题 8-20 图
∴ 为 方向单位矢量．
(2)总电量 ，半径为 的均匀带电圆环轴上一点电势

∴
(3)偶极子 在 处的一点电势

∴

8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同．
证: 如题8-21图所示，设两导体 、 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为 ， ， ，

题8-21图
(1)则取与平面垂直且底面分别在 、 内部的闭合柱面为高斯面时，有

∴
说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；
(2)在 内部任取一点 ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即

又∵
∴
说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．
8-22 三个平行金属板 ， 和 的面积都是200cm2， 和 相距4.0mm， 与 相距2.0 mm． ， 都接地，如题8-22图所示．如果使 板带正电3.0×10-7C，略去边缘效应，问 板和 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则 板的电势是多少?
解: 如题8-22图示，令 板左侧面电荷面密度为 ，右侧面电荷面密度为

题8-22图
(1)∵ ，即
∴
∴
且 +
得
而
(2)
8-23 两个半径分别为 和 （ ＜ )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+ ，试计算：
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；
(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；
*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．
解: (1)内球带电 ；球壳内表面带电则为 ,外表面带电为 ，且均匀分布，其电势

题8-23图

(2)外壳接地时，外表面电荷 入地，外表面不带电，内表面电荷仍为 ．所以球壳电势由内球 与内表面 产生：

(3)设此时内球壳带电量为 ；则外壳内表面带电量为 ，外壳外表面带电量为 (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且

得
外球壳上电势

8-24 半径为 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为 处有一点电荷+ ，试求：金属球上的感应电荷的电量．
解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为 ，则球接地时电势

8-24图
由电势叠加原理有：

得
8-25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为 ．试求：
(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；
(2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．
解: 由题意知