圆的基本性质(教案)浙教版.doc

圆的基本性质(教案)浙教版
3.1圆（1）
教学目标
1．理解圆、弧、弦等有关概念．
2．学会圆、弧、弦等的表示方法．
3．掌握点和圆的位置关系及其判定方法．
4.进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．
5.用生活和生产中的实例激发学生学习兴趣从而唤起学生尊重知识尊重科学，更加热爱生活.
教学重点
弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系．
教学难点
点和圆的位置关系及判定．
教学方法 操作、讨论、归纳、巩固
教学过程
1．展示幻灯片，教师指出，日常生活和生产中的许多问题都与圆有关．
如（1）一个破残的轮片(课本P62图)，怎样测出它的直径?如何补全？
（2）圆弧形拱桥(课本P63图)，设计时桥拱圈( )的半径该怎样计算?
（3）如何躲避圆弧形暗礁区(课本P60、P74图)，不使船触礁？
（4）自行车轮胎为什么做成圆的而不做成方的？
2．上述这些问题都与圆的问题有关，在小学我们已经认识过圆，回会用圆规画圆，问：圆上的点有什么特性吗？圆、圆心、圆的半径、圆的直径各是怎样定义的？这节课我们用另一种方法来定义圆的有关概念。
(板书)3．1 圆
3． 师生一起用圆规画圆：取一根绳子，把一端固定在
画板上，另一端缚在粉笔上，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，即得一个圆(课本图3—1、3－2)．
归纳：在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆．定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．如图所示．
4圆的有关概念（如图3－3）
（1）连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图BC．经过圆心的弦是直径，图中的AB。直径等于半径的2倍．
（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．小于半圆的弧叫做劣弧，如图中以B、C为端点的劣弧记做“ ”；大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图中的 ．
(3)半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆．例如，图中的⊙O1和⊙O2是等圆．
圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。（学生画同心圆）
(4) 完成P58做一做
由上述问题提出：确定一个圆的两个必备条件是什么？
说明：圆上各点到圆心的距离都相等，并且等于半径的长；反讨来，到圆心的距离等于半径长的点必定在圆上．即可以把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。
注意：说明一个圆时必须说清以谁为定点，以谁为定长。
5．结论：一般地，如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：
d<r P在圆内；d=r P在圆上；d>r P在圆外．
6．例 如图，在A地往北80m的B处有一幢房，西100m的C处有一变电设施，在BC的中点D处有古建筑．因施工需要在A处进行一次爆破，为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内?
分析：爆破影响面大致是圆形，正北方向线与正南方向线垂直．
解：连结AD，由勾股定理得：
BC2＝AC2＋AB2＝1002＋802=16400，
∴BC＝ ＝20 (m)．
∴AD＝ BC＝ ×20 ＝10 (m)．
∵10 <10×7， AB＝80m， AC＝100m，
∴AD<AB<AC
所以爆破影响面的半径应小于10 m．
阅读课本P．80中《生活离不开圆》，
完成P．59课内练习．
视时间完成P60的作业题
教学反思
学生能较好的理解本节教学内容,但对于如何应用学生还是掌握的不怎样的好.
3.1圆（2）
教学目标
①学生经历不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程
②了解不在同一直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三点作圆的方法，了解并辨认三角形的外接圆、三角形的外心等概念
③会画过不在同一条直线上的三点作圆
教学重点、工具
①“不在同一直线上的三个点确定一个圆”来画图
②“不在同一直线上的三个点确定一个圆”来解决实际问题
③尺规
教学难点
对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”中的存在性和唯一性的理解
教学方法：类比 启发
教学辅助：投影片
教学过程
A、车床工人告诉了我们什么？
问题：车间工人能将一个如图所示的破损的圆盘复原，你知道用什么办法吗？
（根据学生的预习情况进行衔接教学）
——指出标题
——指出讨论1：“三个点的位置在什么地 方？”
讨论2：“三个点为什么会不在同 一直线上？”
讨论3：“画一个圆需要知道什么”
上图中的圆心在什么位置？上图的圆的半径有多大？
B、合作学习 P60
探索：为什么一定要三个点？
1：经过一个已知点A能作多少个圆?
结论：经过一个已知点A能作无数个圆!
2：经过两个已知点A,B能作多少个圆？
结论：经过两个已知点A,B能作无数个圆!
讨论1：把这些圆的圆心用光滑线连接是什么图形？
讨论2：这条直线的位置能确定吗？怎样画这条直线？
3：经过三个已知点A、B、C能作多少个圆？
讨论1：怎样找到这个圆的圆心？
讨论2：这个圆的圆心到点A、B、C的距离相等吗？ 为什么？即OA=OB=OC
结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆
C、初步应用：
1：现在你知道了怎样要将一个如图所示的破损的圆盘 复原了吗？
方法:
找圆弧所在圆的圆心,只要在圆弧上任取三点,作其连线段的垂直平分线,其
交点即为圆心。
2：例2 已知△ABC,用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆。
D、概念教学
定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.
举例、1：⊙O是△ABC的外接圆, △ABC是⊙O的内接三角形,点O是△ABC的外心即外接圆的圆心。
2：三角形的外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点.
E、试一试
A
B
C
●O
C
A
B
┐
●O
A
B
C
●O
1：画出过以下三角形的顶点的圆，并比较圆心的位置？
2：练一练
a：下列命题不正确的是 ( )
A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆.
C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画圆.
b：三角形的外心具有的性质是 ( )
A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等.
C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.
F、知识小结
1：不在同一直线上的三点确定一个圆。
——你知道是怎样的三点吗？
2：画已知圆或圆弧的圆心是在圆或圆弧上先取三点,连成两条线段,再做两线段的垂直平分线,则其交点即为所求的圆心。
——你会画了吗？
3：三角形的外接圆，圆的内接三角形、外心的概念
——你会辨别吗？
G、作业
1、 书本P62页课内练习
2、 书本P62页作业题
3、 预习P63页3.2圆的轴对称（1）
H、板书设计
定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.
I、教学反思：
本节课学生对“不共线的三点确定一个圆” 掌握很好，学生跟着操作画图，掌握也很好。
3.2 圆的轴对称性(2)
教学目标
1.使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题；
2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育.
教学重点和难点
垂径定理的两个推论是重点；由定理推出推论1是难点.
教学方法：类比 启发
教学辅助：投影片
教学过程：
 一、从学生原有的认知结构提出问题
1.画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.(由学生叙述)
2.教师引导学生写出垂径定理的下述形式：
题设                            结论
指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由①②推出③④⑤.
提问：如果把题设和结论中的5条适当互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题
二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论
1.引导学生观察图形，选①③为题设，可得： 
由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件.
这个命题是否为真命题，需要证明，结合图形请同学叙述已知、求证，教师在黑板上写出.
已知：如图3-15，在⊙O中，直径CD与弦AB(不是直径)相交于E，且E是AB的中点.
求证：CD⊥AB，.
分析：要证明CD⊥AB，即证OE⊥AB，而E是AB的中点，即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知AC＝BC，AD＝BD.
证明：连结OA，OB，则OA＝OB，△AOB为等腰三角形.
因为E是AB中点，所以OE⊥AB，即CD⊥AB，
又因为CD是直径，所以
2.(1)引导学生继续观察、思考，若选②③为题设，可得：
(2)若选①④为题设，可得：
以上两个命题用投影打出，引导学生自己证出
最后，教师指出：如果垂径定理作为原命题，任意交换其中的一个题设和一个结论，即
可得到一个原命题的逆命题，按照这样的方法，可以得到原命题的九个逆命题，然后用投影
打出其它六个命题：                
3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三
个命题，教师板书出垂径定理的推论1.
推论1  (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.
4.垂径定理的推论2.
在图3-15的基础上，再加一条与弦AB平行的弦EF，请同学们观察、猜想，会有什么结论出现：(图7-37)
学生答
接着引导学生证明上述猜想成立.(重点分析思考过程，然后学生口述，教师板书.)
证明：因为EF∥AB，所以直径CD也垂直于弦EF，
最后，猜想得以证明，请学生用文字叙述垂径定理的又一推论：
推论2  圆的两条平行弦所夹的弧相等.
三、应用举例，变式练习
练习按图3-15，填空：在⊙O中
(1)若MN⊥AB，MN为直径；则       ，      ，     ；
(2)若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则      ，      ，     ；
(3)若MN⊥AB，AC＝BC，则       ，     ，     ；
此练习的目的是为了帮助学生掌握垂径定理及推论1的条件和结论.
例3 我国隋代建造的赵州石拱桥(图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.2米，求桥拱的半径.(精确到0.1米)   
首先可借此题向学生介绍“赵州桥”，对学生进行爱国主义教育，(有条件可放录像)同
时也可激发学生学习数学的兴趣.
关于赵州桥的说明：
赵州桥又名“安济桥”，位于河北省赵县城南交河上，是我国现存的著名古代大石拱桥、
隋开皇大业年间(590～608)由李春创建.桥单孔，全长50.82米，桥面宽约10米，跨径约
为37米，弧形平缓，拱圈为28条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，节省材料，
又便于排洪，且增美观在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之
大在当时亦属首创，反映了我国古代劳动人民的智慧与才能.
分析：(1)首先说明跨度、拱高等概念，然后引导学生设法把实际问题转化为数学问题
，并画出几何图形(图7-42)，且一边画图一边解释：桥拱是圆弧形，以O为圆心，R为半径画出一段圆弧AB表示桥拱，弦AB表示桥的跨度，即AB＝37.4米，弧AB的中点C到线段AB的距离为7.2米.这样我们就可以根据实际问题，参照上图写出数学问题的已知和求解.
解题过程，参考课本.
对于此题，学生往往是过弧AB的中点C先作出弓形高CD，即过C作CD⊥AB，垂足为D，如果是这样的话，可引导学生根据垂径定理，首先证明直线CD经过圆心O，仍然可利用勾股定理，求出半径R.
说明：此题的解题思路是，经过圆心作弦的垂线，说明它平分弦且平分弦所对的弧也
可以经过弧的中点作弦的垂线，说明它平分弦且经过圆心.解决这类问题时，只要抓住弦长
、弦心距、弓形高及半径之间的关系，已知其中的两个量，可以求出其它两个未知量，这种
思考方法今后要经常用到.
四、师生共同小结
问：这节课我们学习了哪些主要内容?
在学生回答的基础上，用投影出示垂径定理及其推论的基本图形，如图3-15.
指出：若垂径定理或推论中的某一个成立，则
(1)  △CAB，△OAB，△DAB都是等腰三角形，弦AB是它们公共的底边，直径CD是它们的顶角平分线和底边的垂直平分线.
(2)  △ACD和△BCD是全等的直角三角形，直径CD是它们公共的斜边，AE，BE分别是斜边上的高，AO，BO分别是斜边上的中线在这两个三角形中可以运用直角三角形的一系列性质.
通过应用题的学习，培养把实际问题抽象成数学问题的意识，从而提高转化能力和计算能力.
 六、布置作业
板书设计：
定理1 ： 例3
解：
定理2 ：
练习 练习
教学反思：
本节课学生对定理都能很好的落实，亮点在于练习设计有针对性，本节例题学生掌握很好。
3.2 圆的轴对称性（1）
学目标
1．使学生理解圆的轴对称性．
2．掌握垂径定理．
3．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．
教学重点
垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用．
教学难点
垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点．
教学关键
理解圆的轴对称性．
教学环节的设计
这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是：
复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功；
目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知．
教学方法：类比 启发
教学辅助：多媒体
教学过程：
一、复习提问，创设情境
1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念；
A
B
C
D
O
E
２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作）
二、引入新课，揭示课题
1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论：
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．
强调：
（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；
（2）圆的对称轴有无数条．
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）
设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备．
三、讲解新课，探求新知
先按课本进行合作学习
1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD；
2．作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E．
提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？
⌒
⌒
⌒
⌒
在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念）
①EA=EB；② AC=BC，AD=BD．
理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，
⌒
⌒
⌒
⌒
∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合．
∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．
然后把此结论归纳成命题的形式：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
垂径定理的几何语言
⌒
⌒
⌒
⌒
∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）
∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．
⌒
四、应用新知，体验成功
例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念)
作法：
⒈连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD，　交弧AB于点E.
⌒
点E就是所求弧AB的中点．
变式一： 求弧AB的四等分点．
思路：先将弧AB平分，再用同样方法将弧AE、弧BE平分．
（图略）
有一位同学这样画，错在哪里？
1．作AB的垂直平分线CD
2．作AT、BT的垂直平分线EF、GH（图略）
⌒
教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．
变式二：你能确定弧AB的圆心吗？
方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．
O
A
B
C
例2 一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC ．
思路：
先作出圆心O到水面的距离OC，即画 OC⊥AB，∴AC=BC=8，
在Rt△OCB中，
∴圆心O到水面的距离OC为6．
补充例题 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．
思路：
作OM⊥AB，垂足为M， ∴CM=DM
∵OA=OB ， ∴AM=BM ， ∴AC=BD．
概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．
小结：
1．画弦心距是圆中常见的辅助线；
2．半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长．
注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个．
五、目标训练,及时反馈
1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ．
答案：24
⌒
⌒
2．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．BD=BC

答案：C
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ）
A．3 B．6cm C． cm D．9cm
答案：A
注：圆内过定点M的弦中，最长的弦是过定点M的直径，最短的弦是过定点M与OM垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目．
4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3<OM<5 D．4<OM<5
答案：A
5． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为 ．
答案：2或24
注：要分两种情况讨论：（1）弦AB、CD在圆心O的两侧；（2）弦AB、CD在圆心O的同侧．
六、总结回顾，反思内化
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
3．解题的主要方法：
（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；
（2）半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长．
七、布置作业， 巩固新知
P65作业题1~6，第7题选做．
板书设计：
垂径定理 例1 例2
解： 解：
练习 练习
教学反思：
本节课学生对垂径定理都很好的掌握，亮点在于练习设计有梯度，本节例题学生掌握很好。
3.3圆心角（1）
教学目标:
1. 经历探索圆心角定理的过程;
2. 掌握圆心角定理
教学重点：圆心角定理
教学难点: 圆心角定理的形成过程
教学方法：讲练法
教学辅助：多媒体
教学过程：
一. 创设情景:
1、顶点在圆心的角,叫圆心角
2、圆的旋转不变性：
圆绕圆心旋转任意角α，都能够与原来的圆重合。
3、圆心到弦的距离，叫弦心距
4、P69 合作学习
结论：圆心角定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
另外，对于等圆的情况 ，因为两个等圆可叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题，命题成立。
5、n度的弧的定义
6、探究活动 P70
二、新课讲解
1、例1 教学 P69
结合图形说出 因为。。。所以。。
2、运用上面的结论来解决下面的问题:
已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：
如果∠AOB=∠COD，那么
_________,________,_________。
二. 巩固新知:
P70课内练习1,2，3
P71 T1--3
四.小结: 通过这节课的学习，你学到了什么知识？
1. 圆心角定理
2.运用关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题
五.布置作业:见作业本
板书设计：
概念 例1
解：
练习 练习
教学反思：
本节课由于多媒体的演示，学生对对定理的理解很好。课堂气氛活跃。
3.3圆心角（2）
教学目标:
3. 经历探索圆心角定理的逆定理的过程;
4. 掌握”在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质;
5. 会运用关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题..
教学重点与难点:
教学难点: 关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的性质
教学难点:例2(1)题,例3涉及四边形,圆等较多知识点,且思路不易形成,是本节的教学难点
教学方法：讲练法
教学辅助：投影片
教学过程：
三. 复习旧知,创设情景:
1. 圆具有什么性质?
2. 如图,已知:⊙O上有两点A、B,连结OA、OB,作∠AOB的角平分线交⊙O于点C,连结AC、BC.图中有哪些量是相等的?
C
B
A
O

复习圆心角定理的内容.
3. 请写出圆心角定理的逆命题,并证明它们的正确性.
(1).逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
(2) 逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距相等。
（3）逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦心距对应弦相等,弦所对的圆心
角相等，所对的弧相等。B
E
D
A
F
C
O

结合图形说出已知和求证并给出简要的证明过程
由此引出新课.
四. 新课讲解
1、运用上面的结论来解决下面的问题:
已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：
（1）如果AB=CD，那么
_____________,________,____________。
（2）如果OE=OF，那么
_____________,________,____________。
（3）如果弧AB=弧CD 那么
______________,__________,____________。
（4）如果∠AOB=∠COD，那么
_________,________,_________。
2.上面的练习说明:
以下的四个量中只要有一个量相等,就可以得到
其余的量相等:
⑴∠AOB=∠COD⑵AB=CD
⑶OE=OF⑷弧AB=弧CD
3一般地，圆有下面的性质
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等。
∠AOB=∠COD

AB=CD

OE=OF

AB=CD
⌒

⌒

Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
4.例题讲解:
例2：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．
⑴ ∠AOB 、∠COB、 ∠AOC分别为多少度？
⑵延长AO，分别交BC于点P，弧BC于点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ是哪一种特殊三角形？
⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。
⑷若⊙O的半径为r,求等边ABC三角形的边长？
⑸若等边三角形ABC的边长r,求⊙O的半径为 多少？
当r = 时求圆的半径?
例3：⑴如图，顺次连结⊙O的两条直径AＣ和BD的端点，所得的四边形是什么特殊四边形？
Ｏ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ａ

⑵如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？
如果这根原木长15m，问锯出地木材地体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
解略
分析:教学中应抓好以下几个环节(1)怎样才能使截面尽可能大?应当使截面的各个顶点在圆上,这里用的是合情推理.(2)怎样能使截面成为一个内接于圆o的正方形?应到学回顾第一问的解答,并问在什么条件矩形就成为正方形.
五. 巩固新知:
P73课内练习1,2
四.小结: 通过这节课的学习，你学到了什么知识？
1.圆的性质在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等。
2.运用关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题
五.布置作业:见作业本
板书设计：
例2 例3
解： 解：
练习 练习
教学反思：
由于前节课学生练习充分，本节课学生对应用掌握很好,课上的较顺畅。
3.4圆周角(1)
教学目标:
1. 理解圆周角的概念.
2. 经历探索圆周角定理的过程.
3. 掌握圆周角定理和它的推论.
4. 会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题.
教学重点:圆周角定理
教学难点:圆周角定理的证明要分三种情况讨论,有一定的难度是本节的教学难点.
教法:探索式,启发式,合作学习,直观法
学法:动手实验,合作学习
教学辅助：多媒体
教学过程:
2. 复习旧知,创设情景:
1. 创设情景在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.
1 当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?.
三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC是什么角呢?
2.什么圆心角呢?圆心角与弧的度数相等吗?
二.新课探究:
1..圆周角的定义(用类比的方法得出定义)
顶点在圆上,它的两边分别 与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.(说明相交指的是角边与圆除了顶点外还有公共点)
练习:判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
2.探索圆心与圆周角的位置关系: 一个圆的圆心与圆周角的位置可能有几种关系？
(1)圆心在角的边上;(2)圆心在角的内部 ,(3)圆心在角的外部
在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以转化成这个图形吗？
3. 探索研究：圆周角和圆心角的关系
如果圆周角和圆心角对着同一条弧，那么这两个角存在怎样的关系？
用几何画板演示探讨得到
命题：(圆周角定理)
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
1 (1).首先考虑一种特殊情况：
2 当圆心(o)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AoC的大小关系.
3 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
4 (2).当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
5 (3).当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
证明略(要会分类讨论)
推论:圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
4.巩固练习:
1)如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
2)举出生活中含有圆周角的例子.
5.探索圆周角的一个推论:
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，那么你发现了些什么结论？反之你能得到什么结论?由此你能到什么结论.
圆周角定理的推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
三.例题讲解:
例1.如图；四边形ABCD的四个顶点在⊙O上。
求证；∠B+∠D = 180°
图见书本
证明略;
分析∠B与∠D是什么角?与∠B,∠D所对的弧相同的圆心角是什么角? ∠B与∠D这两个圆心角所对的弧在度数上有什么关系?根据什么?
说明圆的内接四边形的对角互补
四.巩固练习:
P77练习3和作业题1234
五.小结:这节课你有什么收获.
六.布置作业:见作业本和书本
板书设计：
定理 例1
解：
练习 练习
教学反思：
教学时间有些匆促，练习不是很充分，有待于今后教学多加强。
3.4圆周角(2)
教学目标:
1. 经历探索圆周角定理的另一个推论的过程.
2. 掌握圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等”
3. 会运用上述圆周角定理的推论解决简单几何问题.
重点: 圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等”
难点:例3涉及圆内角与圆外角与圆周角的关系,思路较难形成,表述也有一定的困难
例4的辅助线的添法.
教学方法：类比 启发
教学辅助：多媒体
教学过程:
一、旧知回放:
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
2、圆心角与所对的弧的关系
3、圆周角与所对的弧的关系
4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系
圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
二. 课前测验
1.100º的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。
2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。
A

O

C

A

O

C

B

3、如图，在⊙O中，∠BAC=32º，则∠BOC=________。
4、如图，⊙O中，∠ACB = 130º，则∠AOB=______。
5、下列命题中是真命题的是（ ）
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
（B）60º的圆周角所对的弧的度数是30º
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
（D）120º的弧所对的圆周角是60º
三, 问题讨论
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?
问题2、如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?
问题3、如图3，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？
●O
B
C
A
图3
●O
B
A
C
D
E

圆周角定理的推论：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
四.例题教学:
例2: 已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
A
B
C
D
E

以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
求证：⌒　⌒
BD=DE
证明：连结AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
⌒　⌒

·

·
A
P

B
C
O
∴BD=DE（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。
练习:如图，P是△ABC的外接圆上的一点∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等边三角形
例3: 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。
问题:弓形所含的圆周角∠C=50°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区?
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
五:练一练: 1.说出命题’圆的两条平行弦所夹的弧相等”的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗?请说明理由.
A
B
C
D
2.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分∠ABC,且AB∥CD.求证:AB=CD
A
B
D
G
F
C
E
O
六.想一想: 如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是⌒上任意一点,延长AG,与DC的延长线相交于点F,连接AD,GD,CG,找出图中所有和∠ADC相等的角,并说明理由.
拓展练习:
1如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO的中点,DE // AB,求证:EC=2EA.
七:小结: 1、本节课我们学习了哪些知识？
2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？
八、布置作业:见作业本
板书设计：
例2 例3
解： 解：
练习 练习
3．5 弧长及扇形的面积（1）
教学目标
(一)教学知识点
1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；
2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．
(二)能力训练要求
1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．
2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．
(三)情感与价值观要求
1．经历探索弧长及扇形面积计