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粒子群算法的改进与电力系统无功规划的应用
摘要
电力系统是一个复杂大系统，在规模日益扩大与社会对电能供应的“安全、可靠、
经济、优质、低碳”等多项质量指标不断提出更高要求的背景下，为确保电力系统运行控制目标的实现，需要面对各种复杂优化问题。采用传统的优化模型以及常规优化方法求解存在很大难度。根据现代电力系统的特点和发展趋势，深入研究电力系统现代应用技术的特性，发展和完善现代电力系统优化模型和实用算法是当前电力系统研究和工程实践的重要课题之一。
本文旨在介绍在现代电力系统优化中所面临的若干问题及其实用算法。主要内容涉及基于PSO算法的优化求解技术，从群智能的本质特征出发，分析粒子群算法的学习模式的构造及关键要素。改进设计高效PSO算法，将改进算法与电力系统具体问题相结合并求解，提出更有效的实用方案。
本文结合粒子群算法在电力系统无功规划中的应用提出改进的PSO算法，并将两者比较，做算例分析。
根据现代电网的特点和无功电源的建设经验，建立以网损最小、静态电压稳定裕度最大为目标的多目标无功优化模型。提出两种求解途径，一种通过不同纲函数归一化映射和加权把问题转化为单目标优化求解。另外，在无法获知各目标偏好因子的情况下，本文介绍了一种以适应值空间（非变量空间）距离为评估依据选取最优解的多目标粒子群算法（MOPSO）。
关键词：电力系统优化；无功优化；粒子群算法；无功补偿配置规划；群体智能
第一章 绪论
随着现代社会对于电能供应的“安全、可靠、环保和经济”等各项指标的高要求，电力系统不断向最优化、智能化、自动化、适应化方向发展。电力系统是由发电、输电、变电、配电和用电等环节组成的电能生产消费系统。其中可分为三个“流”系统：由发电、输电、变电、配电和用电组成的物流系统；由电力系统状态信息采集、传输、分析、保护和调度自动化等组成的信息流系统；由电能交易、市场价格与电价调整的货币流系统。
因为电能无法大量存储，电能的生产、输送、分配、消费都是在同时进行的。在任何时刻，电能的各环节必须保持输入输出的平衡关系，并且需要留有足够的容量和能量的备用。[1]
电力系统的优化是指如何优化地配置系统资源以及系统内设备的运行工况，从而使系统发电所需的总费用和所消耗的总能源耗量达到最小这样一个运筹决策问题。因此，针对电力系统规划、运行中的不同目标，选择不同的控制变量和约束条件，就构成了不同类型的优化问题，因此需要借助优化理论加以解决。[2]
本文主要从无功优化运行的角度研究现代电网的优化问题，根据现代电力系统的特点建立合适的数学模型，结合数学优化理论研究电网有功与无功的优化问题。
电力系统的无功优化主要观察系统的电压水平，它直接反映了无功平衡问题。若系统无功不足，电压水平太低，会导致线路损耗增加，严重时可以导致系统崩溃；而电压大大超过允许范围会导致绝缘老化，影响系统的安全运行。随着电力系统的不断发展，电压等级的升高和对电力系统安全性要求的不断提高，无功的分布是否合理至关重要。
无功和电压的控制问题基本基本可以分为两类：一类是稳态优化，通过合理配置和调度无功电源，实现无功平衡，提高系统的电压、降低网损；另一类是在扰动情况下的电压稳定性问题。在本文的研究内容中，只讨论稳态的无功优化问题，不涉及暂态稳定问题。稳态无功优化根据所研究时间的长短，又可细分为无功电源配置规划、无功优化运行和短期无功计划。无功规划优化一般以所研究电网长期的发展规划为依据，在满足各种典型负荷方式安全约束的前提，确定无功补偿的最佳地点、容量以及不同负荷水平下无功调节设备的最佳运行状态，达到有效降低系统网损、提高电压质量并节约无功电源建设投资的目的。无功优化运行是在现有无功补偿设备配置的基础上，根据系统负荷变化，确定无功电源的调节以及投切方案，以达到有功网损最小的目的，属于经典无功优化的范畴，即只针对某一个时间断面的系统运行状态进行优化计算，整个系统的负荷是确定并唯一的，不涉及运行状态之间的耦合。短期无功计划问题是在一个时间段内，以短期负荷预测数据为基础，根据机组启停计划，调整发电机的无功出力，并实现有动作次数限制的无功设备的协调分配，从而使由系统有功损耗和设备调节损耗组成的运行费用最小。短期无功计划是在一个连续时间段内进行，优化计算涉及到多个时间断面的多个运行状态，各个时间段面的运行状态之间存在着相互制约的耦合关系。就无功优化的理论而言，短期无功计划也可归属于无功优化运行问题[1-4]。
文献[4]将自适应PSO算法应用于IEEE30节点系统的无功优化问题中，通过在优化过程中自动调节PSO算法的有关参数，克服了标准PSO算法需多次试算确定参数以及局部极值能力有所增强的缺点，但该文只对简单电力系统的情形作了测试。文献[5]则在考虑电压安全评估的前提下，将无功电压控制问题视为混合整数非线性优化问题加以处理，并扩展PSO算法使其能解决连续和离散变量混合并存的无功电压控制问题。该文通过确定发电机自动电压调节器的运行值、变压器负荷抽头位置改变量和无功补偿器的数量等控制变量来决定实时无功电压控制策略，同时将该方法应用于日本某实际电力系统的无功电压控制中，并与Tabu Search（TS）和枚举方法的结果进行了对比分析，取得了较好的效果。
第二章 标准粒子群算法原理及模型
2.1 粒子群算法的模型
群智能概念最早是由美国学者Hackwood和Beni等在分子自动机系统中提出。[6]
，依靠网格空间中相邻个体之间的相互作用实现自组织。1999年，意大利学者Bonabeau等在其著作[7]中对群智能进行了详细的阐述，给出了群智能的一种定义：任何一种受昆虫群体或其它动物社会行为机制启发而设计出的算法或分布式解决问题的策略均属于群智能范畴。[2]
1995年，美国的Kennnedy和Eberhart提出“微粒群优化算法”(Particle Swarm Optimization,PSO)。在早期的简单模型，即Boid（Bird-oid）模型中是为了模拟鸟群的觅食行为而设计的，它也是粒子群优化算法的直接来源：
每一个鸟的个体用直角坐标系上的点表示，随机地给它们赋一个初速度和初位置，程序运行的每一步都按照“最近邻速度匹配”规则，很快就会使得所有点的速度变得一样。因为这个模拟太简单而且远离真实情况，于是在速度项中增加了一个随机变量，即在迭代的每一步，除了满足“最近邻速度匹配”之外，每一步速度还要添加一个随机变化的量，这样使得整个模拟看起来更为真实。
Heppner设计了一个“谷地模型”来模拟鸟群的觅食行为。假设在平面上存在一个“谷地”，即食物所在地，鸟群开始时随机地分散在平面上，为了寻觅食物所在地，它们按照如下规则运动：
首先假设谷地的位置坐标为，单个鸟的位置和速度坐标分别为和(x,y)，用当前位置到谷地的距离s：

(2-1)
来衡量当前位置和速度的“好坏程度”，离谷地的距离越近，则越“好”，反之越“坏”。假设每一个鸟具有记忆能力，能够记住曾经达到的最好位置，记作pBest，并记a为系统规定的速度调节常数，rand为一个[0,1]间的随机数，设定速度项按照下述规则变化：
如果则，如果，则
如果则，如果，则
然后假设群体之间可以以某种方式通讯，每个个体能够知道并记住到当前为止整个群体的最好位置，记为gBest，记b为系统规定的速度调节常数，Rand为一个[0,1]间的随机数，则速度项在经过以上调整后，还必须按照下述规则变化：
如果则，如果则
如果则，如果则
在计算机上模拟的结果显示：当a/b较大时，所有的个体很快地聚集到“谷地”上；反之，微粒缓慢地摇摆着聚集到“谷地”的四周。通过这个简单的模拟，发现群体能很快地找到一个简单函数（2-1）的最优点。受该模型启发，Kennedy和Eberhart设计出了一种演化优化算法，并通过不断的试验和试错，最后将此算法的基本型固定为：
(2-2)

其中，为非负常数，是粒子跟踪自己历史最优值的系数，用来表示粒子自身的认识系粒子对群体知识系数，表示粒子对整个群体经验的学习；k是迭代次数。
假若在D 维搜索空间中，m 个微粒组成一个种群， 表示第i个微粒的位置，为；表示第i个微粒的速度，记为；微粒个体经历的最好位置记为；整个种群经历的最好位置。则微粒的速度和位置根据如下公式变化[8]：
(2-3)
其中上标t表示迭代搜索次数；为惯性权重；为加速常数，分别产生在[0,1]范围内均匀分布的随机数。
2.2 算法的收敛性
根据文献[2]里的设定，由于微粒各位之间没有什么耦合关系，为了便于讨论只考虑一维的情况下，为了进一步降低分析的复杂性。设种群的规模为1。则全局最优和个体最优可写成统一的形式P。令，及。则式(2-3)简化为

(2-4)

表达成矩阵形式为：
(2-5)
其中：，。
系数矩阵M的特征多项式。根据矩阵的基本知识，迭代收敛的充要条件是系数矩阵的谱半径小于1，即
(2-6)
经过分类讨论，推导得到算法的充要条件：

2.3 粒子群算法的改进
通过文献[2]可以看出在搜索速度和算法实现方面PSO算法有较强的优越性。然而，标准的PSO算法在实际应用中也常存在未成熟收敛或不收敛的问题，根据前面对 PSO 算法收敛性的分析，如果算法参数配置不合理，PSO系统就会发散，如惯性权重 ω>1 时，无论加速常数如何设置，算法都无法收敛；在算法参数配置合理的前提下，种群中的微粒快速向最优解所在的区域收缩，随着优化的进行，微粒个体很快趋同，失去了种群的多样性，导致未成熟收敛（即早熟），体现在实际问题上，就是过快的收敛速度使得搜索精度不高。
以标准版的 PSO 为基础，各种改进的 PSO 算法以及变体不断被提出，这些改进算法基本上分为两类：一类是侧重于算法参数选择或其修改策略，另一类则通过扩展PSO 系统中微粒个体的社会认知过程，对 PSO 系统的认知机理进行更加全面的研究。以下是几种比较普遍的改进算法。
2.3.1 惯性权重的改进
PSO算法是搜索算法。这样，合理的选择惯性权重就尤为重要。通过合理选择惯性权重，可以实现全局搜索和局部搜索的平衡，以较快的速度获得系统最优解。较大的惯性权重可以实现对系统的开发，在优化初期对整个搜索区域全局搜索。较小的惯性权重可以在优化后期实现对局部发精致搜索。因此，惯性权重由大变小可以用来提高PSO算法的搜索效率和收敛精度。具体的改进措施有：

(2-7)

其中，t为迭代次数。为最大迭代次数。、分别为最大、最小惯性权重。
或者
(2-8)

其中，为权重的初始值。为正的系数，调整惯性权重的变化幅度和速度。
2.3.2 引进收敛因子的PSO算法
文献[9]为了保护算法收敛，引入收敛因子，微粒的速度和位置如下变化：

(2-9)
其中，收敛因子K为

2.3.3引入遗传操作的PSO算法
利用 PSO 算法与 GA 算法进化原理上的差异性，将 GA 算法中的一些遗传算子引入 PSO 算法，其中交叉算子和变异算子的引入在处理某些实际问题上具有一定的意义。引入遗传算子的 PSO 算法公式见文献。[10]
加入交叉和变异算子的 PSO 算法与标准 PSO 的根本区别在于，种群中的微粒在用公式(2-1)进行更新后，再进行交叉或变异操作。从理论上讲，交叉算子可以加强对不同微粒所在区域的搜索，而变异算子可以使微粒跳出当前的搜索区域，探索未知的搜索空间，增强全局搜索能力，但这些能力的获取均是以牺牲标准 PSO 算法的搜索速度为代价的。
2.3.4 引入领域模型的PSO算法
前面几种改进算法大多着眼于对标准版算法的参数选择或某个参数的动态修改策略上，引入领域模型的PSO算法则从系统的认知方法方面扩展经典PSO算法。在粒子个体的社会认知过程中，个体在吸收全社会信息和自身信息的基础上，还向邻居粒子中的最好个体Pn (记为(pn1,pn2,…,pnD))学习，这种思想的加入，完善了标准版PSO算法的社会认知理论。与之相应地，从算法的原理上讲，就是原来的算法更新策略上加入领域搜索的策略。基于适应度/距离比(FDR-PSO)的粒子群算法就是这类算法中比较典型的一种，其状态更新策略为:
(2-10)

其中，c3为加速常数；r3为区间[0,1]的随机数；pnd为领域中最好个体向量的d维分量。
在FDR-PSO算法中，邻域粒子Pn的选择要满足两个基本原则，即与被更新的个体相邻，且适应度高于其它的邻居个体。根据这两个原则，邻居粒子的选择策略：
(2-11)

其中，Neigh为被更新个体的领域；Pj为邻域中的第j个个体。
第三章 无功规划的数学模型
电力系统无功规划配置的目标是，在满足系统负荷需求、电压水平要求的前提下，通过充分发挥现有的各种调压措施的作用，寻求合理的无功补偿配置方案，使国民经济总支出为最省。这样的目标是站在国民经济评价的角度，考虑系统的优化问题，而不是从某个局部的利益主体出发追求利润的最大化。优化模型包括目标函数、系统潮流约束、控制变量约束和状态变量约束。
3.1 目标函数
为了使无功规划配置后系统的年总支出最少。在目标函数中考虑以下费用：
1、新增无功补偿设备投资年等值费用
2、为补偿电力网有功损耗而增加的发电设备投资的年等值费用
3、电力网年有功电能损耗
则目标函数为：

(3-1)

其中：
为无功补偿节点的个数。
为节点j处无功补偿设备的单位容量投资年费用系数。
无功补偿节点j处的无功补偿容量。
为补偿电力网有功损耗而增加发电设备的单位容量年费用系数。
为系统在最大负荷方式下的有功网损。
为年最大负荷损耗时间。
为单位电能损耗的费用系数。
3.2 功率约束条件
在无功优化模型中，考虑各节点有功和无功平衡约束，即

(3-2)

将，用节点电压量表示，得

(3-3)

式中，N为电网节点数，节点i的发电机有功功率，负荷的无功功率，为节点i处发电机注入的无功，负荷无功以及容性无功补偿容量。
3.2.1 控制变量约束
在实际系统中，为了保证发电机的发电运行效率，发电机机端电压应在规定的范围内运行。对于一个具体的变电所，由于受安装条件空间、投入资金及其它因素的影响，一般规定增设的无功补偿装置容量不能超过某个定值，为此，模型中需要考虑对补偿装置安装容量的上下限约束。变压器的分接头档数亦有上下限值。所以，控制变量的约束如下：

(3-4)

式中，、、为发电机节点电压及其上、下限值
、、为无功补偿节点无功补偿量及其上下限值
、、为变压器上下限值
3.2.2 状态变量约束
电力系统无功规划配置问题的状态变量主要包括发电机节点的无功出力，负荷节点电压值，支路输送的无功功率。在电网运行时，为了确保供电质量和电力网络的安全，上述变量必须在规定的限值内变化，称之为安全运行约束条件，相应的数学表达式为：

(3-5)

、、为发电机无功出力及其上、下限值。
、、负荷节点电压及其上、下限。
、、支路无功功率及其上下限值。
为支路数。
对支路输送无功功率的约束。如果用支路电流来表示：【133】
(3-6)
式中，、分别为K支路的电流值及其上限：

(3-7)

式中，和分别为k支路电压和有功功率；负号表示反向传输功率。
另外，电力系统的主要无功电源——并联电容器补偿装置，有40%~50%的容量被安装在各级变电所内。【134】电容器组接入系统后，其容抗与系统的感抗即构成具有某一固有频率的电容电感谐振回路，当系统运行方式或电网结构变化使系统感抗随之变化时，或当投切电容器组容抗随之变化时，该固有频率也相应变化。如果该固有频率与高次谐波中的某次谐波频率接近或吻合，则将在电感（系统感抗）、电容（补偿装置）并联回路里引起该次谐波的电流电压放大，甚至谐振，导致电气设备承受过电压和过电流，直到设备损坏，造成停电事故。为此，在无功规划配置时，应考虑补偿后谐波放大的情况。为此，在运行状态约束中，应加入谐波电压畸变率（THD）这一指标，以反映谐波的影响。节点 j 在最大负荷水平下的节点电压有效值和电压总谐波畸变率分别为：

(3-8)

式中，分别为基波电压有效值和K次谐波电压有效值，h为谐波的最高次数。
为使各节点的电压总谐波畸变率控制在规定限值之内，模型中应加入节点THD的上限约束，即满足
(3-9)
式中，为电压总谐波畸变率的最大允许值，各个国家对不同电压等级下的总谐波畸变率都做了明确的限值规定。
参考文献
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