二次函数知识点总结及典型例题和练习.pdf

黄冈中学九年级冲刺名校名师卷第 1 页 共 14 页二次函数知识点总结及典型例题和练习（极好）知识点一：二次函数的概念和图像知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果，特别注意特别注意 a 不为零不为零，那么 y 叫做 x 的二)0,(2acbacbxaxy是常数，次函数。叫做二次函数的一般式。)0,(2acbacbxaxy是常数，2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。abx2抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法-五点作图法五点作图法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：cbxaxy2当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由C、M、D 三点可粗略三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【例例 1】已知函数 y=x2-2x-3，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，y=0；y0黄冈中学九年级冲刺名校名师卷第 2 页 共 14 页知识点二：二次函数的解析式知识点二：二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,(2acbacbxaxy是常数，（2）交点式：当抛物线与 x 轴有交点时，即对应的一元二次方程cbxaxy2有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式02cbxax1x2x，二次函数可转化为两根式。如)(212xxxxacbxaxcbxaxy2)(21xxxxay果没有交点，则不能这样表示。（3）顶点式：当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我)0,()(2akhakhxay是常数，们最好设顶点式，这样最简洁。【例例 1】抛物线与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，且过（-1，16），求抛物cbxaxy2线的解析式。【例例 2】如图，抛物线与 x 轴的一个交点 A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包cbxaxy2括这两点），顶点 C 是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则：（1）abc 0 （或或=）（2）a 的取值范围是 【例例 3】下列二次函数中，图象以直线 x=2 为对称轴，且经过点(0，1)的是 ()Ay=(x 2)2+1 By=(x+2)2+1 Cy=(x 2)2 3 Dy=(x+2)2 3黄冈中学九年级冲刺名校名师卷第 3 页 共 14 页知识点三：二次函数的最值知识点三：二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，abx2。abacy442最值如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，21xxxab221xxx若在此范围内，则当 x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在ab2abacy442最值范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当时，21xxx2xx，当时，；如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，cbxaxy222最大1xx cbxaxy121最小则当时，当时，。1xx cbxaxy121最大2xx cbxaxy222最小【例例 1】已知二次函数的图像（0 x3）如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是()A有最小值 0，有最大值 3B有最小值1,有最大值 0C有最小值1,有最大值 3D有最小值1,无最大值【例例 2】某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 l80 元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元设每个房间的房价每天增加 x 元(x 为 10 的正整数倍)（1）设一天订住的房间数为 y，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大?最大利润是多少元?OO-1OxOy1323黄冈中学九年级冲刺名校名师卷第 4 页 共 14 页知识点四、二次函数的性质知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，a0a0 时，抛物线开口向上aa 0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0 时 y 值随 x 值增大而减小的是（）Ay=x2 By=x C y=xDy=341x【例例 6】若二次函数2()1yxm当xl 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（黄冈中学九年级冲刺名校名师卷第 6 页 共 14 页）Am=l Bml Cml Dml知识点五、二次函数图象的平移知识点五、二次函数图象的平移 对于抛物线对于抛物线 y=ax2+bx+c 的平移的平移通常先将一般式转化成顶点式，再遵循左加右减左加右减，上加下减上加下减的的原则2ya xhk化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。沿轴平移：向上（下）平移（m0）个单位，变成cbxaxy2ymcbxaxy2（或）mcbxaxy2mcbxaxy2 当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式：向左（右）平移（m0）个单位，变成cbxaxy2mcbxaxy2（或）cmxbmxay)()(2cmxbmxay)()(2【例例 1】将抛物线2yx 向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是()A2(2)yx B22yx C2(2)yx D22yx【例例 2】将抛物线 y=x22x 向上平移 3 个单位,再向右平移 4 个单位等到的抛物线是_.【例例 3】抛物线2yx可以由抛物线223yx平移得到,则下列平移过程正确的是()A.先向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位 B.先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位C.先向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位 D.先向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位【补】抛物线 y=2x2-3x-7 在 x 轴上截得的线段的长度为_【公式】抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上截得的线段的长度为_知识点六：抛物线知识点六：抛物线中，中，a、b、c 的作用的作用cbxaxy2（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.a2axy a（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，bacbxaxy2abx2黄冈中学九年级冲刺名校名师卷第 7 页 共 14 页故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；0by0ababy（即、异号）时，对称轴在轴右侧.口诀-左同，右异（a、b 同号，对称轴在 y0ababy轴左侧）（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.ccbxaxy2y 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：0 xcy cbxaxy2yc ，抛物线经过原点;,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.0c0cy0cy 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.y0ab【例例 1】如图为抛物线2yaxbxc的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是()Aab=1 Bab=1 Cb2aDac0 Bb0 Cc0 Dabc0【例例 3】如图所示的二次函数2yaxbxc的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240bac；（2）c1；（3）2ab0；（4）a+b+c0。你认为其中错误的有()A2 个B3 个C4 个D1 个【例例 4】如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12，下列结论：ac0；a+b=0；4acb2=4a；a+b+c0.其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【例例 5】如图，是二次函数 yax2bxc（a0）的图象的一部分，给出下列命题：a+b+c=0；b2a；ax2+bx+c=0 的两根分别为-3 和 1；a-2b+c0其中正确的命题是 （只要求填写正确命题的序号）黄冈中学九年级冲刺名校名师卷第 8 页 共 14 页【例例 6】如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的 对称轴，则下列关系正确的是（）Amn，kh Bmn，kh Cmn，kh Dmn，kh知识点七：中考二次函数压轴题中常用到的公式知识点七：中考二次函数压轴题中常用到的公式1、两点间距离公式：如图：点 A 坐标为（x1，y1），点 B 坐标为（x2，y2），则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为 （这实际上是根据勾股定理勾股定理得出221221yyxx来的）2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为11()A xy，22()B xy，AB中点P的坐标为()ppxy，由12ppxxxx，得122pxxx，同理122pyyy，所以AB的中点坐标为1212()22xxyy，3、两平行直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么 k1=k2，也就是说当我们知道一条直线的 k 值，就一定能知道与它平行的另一条直线的 k 值。4、两垂直直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么 k1k2=-1，也就是说当我们知道一条直线的 k 值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的 k 值。（对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解不需要理解）以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚四大金刚”【例例 1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴交于 AB 两点，与 y 轴交于点C，点 D 是该抛物线的顶点（1）求直线 AC 的解析式及 BD 两点的坐标；（2）点 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作直线 lAC 交抛物线于点 Q，试探究：随着 P 点的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以点 AP、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线 AC 上找一点 M，使BDM 的周长最小，求出 M 点的坐标1xpx2x12xx 12yy 1y2yPyAPBOyx黄冈中学九年级冲刺名校名师卷第 9 页 共 14 页ADCEBO【例例 2】如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0），C（2，3）两点，与 y 轴交于点 N其顶点为 D（1）求抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2）设点 M（3，m），求使 MN+MD 的值最小时 m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EFBD交抛物线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值【例例 3】如图，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右边），与 y 轴交423412xxy于 C，连接 BC，以 BC 为一边，点 O 为对称中心作菱形 BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0），过 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q。（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD、BC 于点 M、N。试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由。（3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由。黄冈中学九年级冲刺名校名师卷第 10 页 共 14 页ADCEBOADCEBO【练练 习习】1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()A15 m B1625 mC166 m D167 m2、已知函数，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则 k 的值为（）22113513xxyxxA0B1C2D33.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标2yaxbxcayxybxc系中的大致图象是（）.黄冈中学九年级冲刺名校名师卷第 11 页 共 14 页4.如图，已知二次函数的图象经过点（1，0），（1，2），当随 的增大而增大cbxxy2yx时，的取值范围是 x xy O11（1,-2）cbxxy2-1 5.在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与 y 轴的交点旋转 180，所得抛物线的解223yxx析式是（）A B 2(1)2yx 2(1)4yx C D2(1)2yx 2(1)4yx 6.已知二次函数的图像如图，其对称轴，给出下列结果cbxaxy21xacb42，则正确的结论是（）0abc02ba0cba0cbaA B C D 7抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如上表：从上表可知，下列说2yaxbxcxy法中正确的是 （填写序号）抛物线与轴的一个交点为（3,0）；函数的最大值为 6；x2yaxbxc抛物线的对称轴是；在对称轴左侧，随增大而增大12x yx8.如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 的坐标是（2，4），过点 A 作 ABy 轴，垂足为 B，连结 OAx21012y04664黄冈中学九年级冲刺名校名师卷第 12 页 共 14 页(1)求OAB 的面积；(2)若抛物线经过点 A22yxxc 求 c 的值；将抛物线向下平移 m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB 的内部（不包括OAB 的边界），求 m 的取值范围（直接写出答案即可）9、“已知函数的图象经过点 A（c，2），），这个二次函数图象的cbxxy221对称轴是 x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。10、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是直角梯形，BCAD，BAD=90，BC与 y 轴相交于点 M，且 M 是 BC 的中点，A、B、D 三点的坐标分别是 A（-1，0），B(-1，2)，D(3，0)，连接 DM，并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON，若抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点 P使得 PA=PC若存在，求出点 P 的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与 x 轴的另个交点为 E点 Q 是抛物线的对称轴上的个动点，当点 Q 在什么位置时有最大？并求出最大值。QEQC黄冈中学九年级冲刺名校名师卷第 13 页 共 14 页11、如图，抛物线 y=x2+bx2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（一 1，0）21求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；判断ABC 的形状，证明你的结论；点 M(m，0)是 x 轴上的一个动点，当 CM+DM 的值最小时，求 m 的值ABCDOENMxy图黄冈中学九年级冲刺名校名师卷第 14 页 共 14 页12、在平面直角坐标系中，如图 1，将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形 OABC，相邻两边 OA和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上。设抛物线 y=ax2+bx+c(a0)过矩形顶点 B、C.（1）当 n1 时，如果 a=1，试求 b 的值；（2）当 n2 时，如图 2，在矩形 OABC 上方作一边长为 1 的正方形 EFMN，使 EF 在线段 CB 上，如果 M，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使得点 B 落到 x 轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点 O，试求出当 n=3 时 a 的值；直接写出 a 关于 n 的关系式.NMFEyxCBAO图 1图 2图 3yxCBAOCD=1.15厘 厘yxCBAOyxO